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Supposons que 𝑥 et 𝑦 sont indépendants, que la variance de 𝑥 est de 24 et que la variance de 𝑦 est de 30. Déterminez la variance de sept 𝑥 plus neuf 𝑦.
On nous a donné des informations sur deux variables aléatoires indépendantes 𝑥 et 𝑦. Nous savons que la variance de 𝑥 est de 24 et la variance de 𝑦 est égale à 30. Nous cherchons à déterminer la variance de sept 𝑥 plus neuf 𝑦. Nous commençons donc par rappeler que pour deux variables aléatoires indépendantes 𝐴 et 𝐵, la variance de leur somme est la somme de leurs variances. Ainsi la variance de 𝐴 plus 𝐵 est la variance de 𝐴 plus la variance de 𝐵.
Mais nous savons aussi que la variance d’un multiple d’une variable aléatoire 𝑥 - appelons cela 𝑎 de 𝑥 - est égale à 𝑎 au carré fois la variance de 𝑥. Donc ce que nous allons faire c’est décomposer notre variance, la variance de sept 𝑥 plus neuf 𝑦, en la somme des deux variances, pour avoir donc la variance de sept 𝑥 plus la variance de neuf 𝑦.
Ensuite, nous savons que la variance de sept 𝑥 est sept au carré la variance de 𝑥. Et la variance de neuf 𝑦 est neuf au carré la variance de 𝑦. Mais nous avons déjà vu que la variance de 𝑥 est 24 et la variance de 𝑦 est 30. Ainsi la variance de sept 𝑥 plus neuf 𝑦 est de sept au carré fois 24 plus neuf au carré fois 30, soit 3606. La variance de sept 𝑥 plus neuf 𝑦 est de 3606.
