Vidéo de la leçon: Variance de variables aléatoires discrètes Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à calculer la variance de variables aléatoires discrètes. Commençons par rappeler ce qu’est une variable aléatoire discrète.

Une variable aléatoire discrète a un nombre dénombrable de valeurs possibles. La probabilité de chaque valeur est comprise entre zéro et un et la somme de toutes les probabilités est égale à un. Cela peut être résumé comme ceci, où la variable aléatoire discrète a des probabilité égales à 𝑓 de 𝑥 𝑖.

Les problèmes impliquant ce type de variables sont souvent représentés sous forme de tableau. Si une variable aléatoire discrète X a quatre valeurs possibles, 𝑥 un à 𝑥 quatre, où les probabilités de chacune de ces issues sont respectivement égales à 𝑝 un à 𝑝 quatre, alors son espérance ou sa moyenne est égale à la somme de toutes les valeurs 𝑥 i multipliées par leur probabilité. Cela donne la formule générale de l’espérance 𝐸 de 𝑋, qui est égale à la somme des 𝑥 𝑖 fois 𝑝 𝑖, où 𝑖 va de un à 𝑛. Cette espérance ou moyenne peut également être désignée par la lettre grecque 𝜇.

Avant de passer à la variance, il est également important de rappeler que 𝐸 de 𝑋 au carré est égal à la somme des 𝑥 𝑖 au carré fois 𝑝 𝑖, pour 𝑖 de un à 𝑛. Cela revient en fait à considérer une variable aléatoire différente Y, dont les valeurs sont égales au carré des valeurs de la variable aléatoire X ; la probabilité de chaque valeur de la nouvelle variable est alors la même que la probabilité de la valeur correspondante de la variable d’origine. Et on peut suivre le même schéma pour calculer 𝐸 de 𝑋, 𝐸 de 𝑋 au carré, 𝐸 de 𝑋 au cube et ainsi de suite. Nous allons maintenant donner la définition de la variance et une formule permettant de la calculer.

La variance d’une variable aléatoire discrète est une mesure de la dispersion des valeurs de la variable aléatoire discrète par rapport à son espérance. Cette variance est souvent notée Var de 𝑋 ou 𝜎 au carré, où 𝜎 représente l’écart-type de la variable aléatoire discrète. Plusieurs formules permettent de calculer cette variance. Dans cette vidéo, nous allons nous concentrer sur la formule selon laquelle la variance de 𝑋 est égale à 𝐸 de 𝑋 au carré moins 𝐸 de 𝑋 le tout au carré. On parle parfois de la moyenne des carrés moins le carré de la moyenne pour cette formule, où 𝐸 de 𝑋 représente la moyenne 𝜇. Nous allons maintenant étudier un exemple où nous devons utiliser cette formule pour calculer la variance.

Soit 𝑋 une variable aléatoire discrète qui peut prendre les valeurs deux, trois, cinq et huit. Sachant que la probabilité de 𝑋 égale deux est égale à un sur 24, la probabilité de 𝑋 égale trois est égale à cinq sur 12, la probabilité de 𝑋 égale cinq est égale à trois sur 8 et que la probabilité de 𝑋 égale huit est égale à un sur 6, calculez la variance de 𝑋. Arrondissez votre réponse au centième près.

Commençons par construire un tableau avec deux lignes. La ligne du haut représente les valeurs de la variable aléatoire discrète X, dans ce cas, deux, trois, cinq et huit. Et la ligne du bas contient leurs probabilités correspondantes. Nous devons calculer la variance de 𝑋 et nous savons qu’elle est égale à 𝐸 de 𝑋 au carré moins 𝐸 de 𝑋, le tout au carré. Nous pouvons donc commencer par calculer l’espérance ou la moyenne de 𝑋. 𝐸 de 𝑋 est égale à la somme de i égale un à n des 𝑥 𝑖 fois 𝑝 𝑖. Dans cette question, 𝑛 est égal à quatre car il y a quatre valeurs possibles de X. 𝐸 de 𝑋 est donc égal à deux fois un sur 24 plus trois fois cinq sur 12 plus cinq fois trois sur huit plus huit fois un sur six. Ce qui fait 109 sur 24.

Nous allons maintenant rappeler comment calculer 𝐸 de 𝑋 au carré. Pour calculer 𝐸 de 𝑋 au carré, il suffit de mettre au carré chacune des valeurs de X, puis de les multiplier par leurs probabilités correspondantes. On additionne ensuite chacune de ces valeurs. 𝐸 de 𝑋 au carré est donc égale à ceci. Et cela nous donne un résultat de 575 sur 24. La moyenne des carrés, 𝐸 de 𝑋 au carré, est égale à 575 sur 24. Nous pouvons maintenant remplacer ces deux valeurs pour calculer la variance. La variance de 𝑋 est égale à 575 sur 24 moins 109 sur 24 au carré. Ce qui fait 1 919 sur 576. Mais nous devons donner notre réponse au centième près. Par conséquent, la variance de la variable aléatoire discrète 𝑋 est égale à 3,33.

Nous allons maintenant présenter quelques formules à connaître pour calculer la moyenne et la variance de fonctions affines de variables aléatoires discrètes. Nous allons voir comment calculer l’espérance et la variance des fonctions affines suivantes : 𝑋 plus 𝑎, 𝑋 moins 𝑎 et 𝑎𝑋, où 𝑎 est une valeur constante, ou un scalaire. Nous allons étudier ces scénarios à l’aide d’un exemple concret. Supposons que la variable aléatoire discrète 𝑋 représente la hauteur entre le sol et le sommet de la tête d’une personne. Un groupe de trois personnes est alors étudié. La moyenne, ou l’espérance, de leur hauteur par rapport au sol est représentée en pointillés.

Supposons maintenant que les trois personnes se tiennent sur une plateforme de 20 centimètres de haut. Puisqu’ils se tiennent tous sur la plateforme, la valeur de X a augmenté de 20 centimètres pour chaque personne. Et donc la moyenne a également augmenté de 20 centimètres. Les nouvelles valeurs de 𝑋 ne varient cependant pas plus ou moins que les anciennes, puisque les distances par rapport à la hauteur moyenne sont les mêmes que précédemment. Cela signifie que 𝐸 de 𝑋 plus 𝑎 est égale à 𝐸 de 𝑋 plus la constante 𝑎, tandis que la variance de 𝑋 plus 𝑎 sera la même que la variance de 𝑋. Ajouter une constante positive augmente la moyenne mais n’affecte pas la variance.

Considérons maintenant un scénario similaire où les trois personnes se tiennent cette fois dans un fossé de 10 centimètres de profondeur. Cette fois, chaque valeur de 𝑋 a diminué de 10 centimètres. Par conséquent, la moyenne de 𝑋 a également diminué de 10 centimètres. Encore une fois cependant, la dispersion des valeurs de 𝑋 n’est pas affectée. Nous pouvons donc conclure que 𝐸 de 𝑋 moins 𝑎 est égale à 𝐸 de 𝑋 moins la constante 𝑎 et que la variance de 𝑋 moins 𝑎 est égale à la variance de 𝑋.

Le troisième scénario est un peu plus complexe et nécessite un peu de créativité. Par souci de simplicité, nous allons supposer ici que 𝑎 est égal à deux et que chacune des personnes représentées dans le premier schéma a un jumeau. Si les personnes étudiées sont de très bons acrobates et peuvent réaliser ces figures, on peut définir la variable 𝑌 comme la hauteur entre le sommet de la figure des jumeaux et le sol. Cela signifie que 𝑌 est égal à deux 𝑋, où 𝑋 est la taille de l’un des jumeaux. La moyenne des valeurs de 𝑌 doit donc être le double de la moyenne des valeurs 𝑋. Cela nous amène à la formule générale 𝐸 de 𝑎𝑋 égale 𝑎 fois 𝐸 de 𝑋. On peut également dire que 𝐸 de 𝑎 au carré 𝑋 au carré est égal à 𝑎 au carré fois 𝐸 de 𝑋 au carré.

Nous pouvons maintenant utiliser ces deux équations pour nous aider à établir la formule de la variance de 𝑎𝑋. On définit 𝑌 égal à 𝑎𝑋 et on désigne 𝐸 de 𝑋 par 𝜇. On sait que la variance de 𝑋 est égale à 𝐸 de 𝑋 au carré moins 𝜇 au carré. On sait de plus que 𝐸 de 𝑌 doit être égal à 𝑎 𝜇. La variance de 𝑌 est égale à 𝐸 de 𝑌 au carré moins 𝐸 de 𝑌, le tout au carré. Le membre de droite simplifie par 𝐸 de 𝑎 au carré 𝑋 au carré moins 𝑎𝜇 au carré. Cela devient alors 𝑎 au carré fois 𝐸 de 𝑋 au carré moins 𝑎 au carré fois 𝜇 au carré.

On peut alors factoriser par 𝑎 au carré, ce qui nous donne 𝑎 au carré fois 𝐸 de 𝑋 au carré moins 𝜇 au carré. Mais l’expression entre parenthèses est égale à la variance de 𝑋. La variance de 𝑌 est donc égale à 𝑎 au carré fois la variance de 𝑋. Cela nous amène à la formule générale selon laquelle la variance de 𝑎𝑋 est égale à 𝑎 au carré fois la variance de 𝑋. Avant de passer au prochain exemple, nous allons donner deux formules supplémentaires pouvant être utilisées lorsqu’il y a deux variables aléatoires discrètes. Si 𝑋 et 𝑌 sont deux variables aléatoires discrètes indépendantes, alors 𝐸 de 𝑋 plus 𝑌 est égale à 𝐸 de 𝑋 plus 𝐸 de 𝑌 et la variance de 𝑋 plus 𝑌 est égale à la variance de 𝑋 plus la variance de 𝑌.

Nous allons maintenant voir un exemple où nous devons combiner plusieurs de ces formules.

Soient 𝑋 et 𝑌 des variables indépendantes telles que la variance de 𝑋 est égale à 24 et la variance de 𝑌 est égale à 30. Calculez la variance de sept 𝑋 plus neuf 𝑌.

Cette question nous donne des informations sur la variance de deux variables aléatoires indépendantes 𝑋 et 𝑌. Nous pouvons répondre à cette question en rappelant deux formules clés. Tout d’abord, la variance de 𝑋 plus 𝑌 est égale à la variance de 𝑋 plus la variance de 𝑌. Cette formule est vraie à condition que 𝑋 et 𝑌 soient indépendantes. La variance de la somme est égale à la somme des variances. Ensuite, la variance de 𝑎𝑋 est égale à 𝑎 au carré fois la variance de 𝑋, où 𝑎 est une constante.

En utilisant la première formule, on peut reformuler la variance de sept 𝑋 plus neuf 𝑌, comme la variance de sept 𝑋 plus la variance de neuf 𝑌. Chacun des termes du membre droit peut ensuite être reformulé à l’aide de la deuxième formule. La variance de sept 𝑋 est égale à sept au carré fois la variance de 𝑋 et la variance de neuf 𝑌 est égale à neuf eu carré fois la variance de 𝑌. En substituant les valeurs de la variance de 𝑋 et de 𝑌, on a 49 fois 24 plus 81 fois 30. Ce qui fait 3 606. Sachant que la variance de 𝑋 est égale à 24 et la variance de 𝑌 est égale à 30, où 𝑋 et 𝑌 sont indépendantes, la variance de sept 𝑋 plus neuf 𝑌 est égale à 3 606.

Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Nous avons vu dans cette vidéo que la variance d’une variable aléatoire discrète est une mesure de la dispersion des valeurs de la variable aléatoire discrète par rapport à son espérance et qu’elle est notée Var de 𝑋 ou 𝜎 au carré. On peut calculer la variance de 𝑋 en utilisant cette formule. Qui est 𝐸 de 𝑋 au carré moins 𝐸 de 𝑋, le tout au carré. On parle parfois de la moyenne des carrés moins le carré de la moyenne. Nous avons également vu que la variance de 𝑋 plus ou moins une constante 𝑎 est égale à la variance de 𝑋. La variance de 𝑎𝑋, où 𝑎 est à nouveau une constante, est égale à 𝑎 au carré fois la variance de 𝑋. Enfin, lorsque 𝑋 et 𝑌 sont des variables aléatoires discrètes indépendantes, la variance de 𝑋 plus 𝑌 est égale à la variance de 𝑋 plus la variance de 𝑌.