Fiche explicative de la leçon: Variance d’une variable aléatoire discrète

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment calculer la variance des variables aléatoires discrètes.

Afin de déterminer la variance d’une variable aléatoire discrète, il est utile de rappeler la définition d’une variable aléatoire discrète.

Définition : Variable aléatoire discrète

Une variable aléatoire discrète est une variable qui ne peut prendre qu’un nombre dénombrable de valeurs numériques. La valeur que prend la variable est déterminée par l’issue d’un phénomène ou d’une expérience aléatoire. Une telle variable est souvent désignée par un majuscule, avec la valeur prise par la variable notée en minuscule.

Afin de représenter une variable aléatoire discrète, nous pouvons utiliser une fonction de distribution de probabilité. C’est une fonction qui associe les valeurs prises par la variable aléatoire discrète à leurs probabilités associées.

Définition : Fonction de distribution de probabilité

Une fonction de distribution de probabilité est une fonction qui génère des probabilités de valeur étant donné une issue de valeur et doit vérifier les propriétés suivantes :

pour toutes les valeurs de que la variable aléatoire peut prendre ;
chaque valeur de doit appartenir à l’intervalle .

On peut représenter une fonction de distribution de probabilité de plusieurs façons, y compris un tableau, sous la forme ou comme une formule qui associe à la valeur .

Définition : Variance d’une variable aléatoire discrète

La variance d’une variable aléatoire discrète est la mesure de la dispersion avec laquelle les valeurs de la variable diffèrent de l’espérance . Ceci est donné par où est l’écart-type de la variable.

Cela peut être calculé en utilisant la formule suivante : où est l’espérance de et représente toutes les valeurs que peut prendre.

La formule de la variance de peut être développer pour donner où et .

Lors du calcul de la variance d’une variable aléatoire discrète, il est plus facile d’utiliser la forme ; cependant, avec l’exemple suivant, on va utiliser à la fois cette forme et la forme pour montrer comment les appliquer.

Exemple 1: Déterminer la variance d’une variable aléatoire discrète à partir d’un tableau

La fonction dans le tableau donné est une fonction de distribution de probabilité d’une variable aléatoire discrète . Déterminez la variance de . Si nécessaire, donner la réponse au centième près.

	3	5	7	8

Réponse

Premièrement, nous devons déterminer la valeur de dans le tableau. Rappelons que pour une variable aléatoire discrète, . Par conséquent, on peut utiliser cette propriété pour déterminer la valeur de :

Comme chaque valeur de doit appartenir à l’intervalle , nous devons vérifier quelle(s) valeur(s) de sont des solutions.

Si , alors en substituant dans l’expression de on obtient ce qui suit.

	3	5	7	8

On remarque que chaque valeur de appartient à l’intervalle ; par conséquent, est une solution.

Si alors en substituant dans l’expression de on obtient ce qui suit.

	3	5	7	8

On peut voir qu’au moins une des valeurs de n’appartient pas à l’intervalle ; par conséquent, n’est pas une solution.

Notez que, dans ce cas, aucune des valeurs n’était dans l’intervalle , mais si au moins l’une de ces valeur n’appartient pas à cet intervalle, alors cette fonction ne peut pas être une fonction de distribution de probabilité.

Maintenant, nous allons trouver la variance en utilisant la formule où et . On utilise donc les valeurs du tableau pour calculer . Notez que correspond à la valeur de qui est associée à la valeur de .

	3	5	7	8

Dans ce cas, pour calculer , il est utile de calculer d’abord et séparément.

Pour ,

Ensuite, on remplace et dans la formule :

Ainsi, la variance est de 4,16 au centième près.

Dans notre exemple précédent, nous avons montré comment trouver la variance en utilisant la formule . Nous allons maintenant voir comment l’utilisation de la forme alternative va nous donner le même résultat.

On va utiliser la valeur que nous avons calculé précédemment, puis calculons et son carré pour chaque valeur de . Pour faire ceci, il est utile d’ajouter des lignes au tableau.

3	5	7	8

Ensuite, on calcule et la variance, notant que correspond à la valeur de dans le tableau :

Ainsi, la variance est de 4,16 au centième près.

Notez que, bien que la méthode utilisée dans l’exemple et cette méthode soient toutes deux valables, la méthode utilisée dans l’exemple est la plus recommandée car il y a moins d’opportunités de commettre des erreurs de calcul.

L’exemple suivant utilise la fonction de distribution de probabilité sous la forme pour la variable aléatoire discrète . Encore une fois, nous devons déterminer la variance ; cependant, cette fois, nous utiliserons uniquement la formule pour faire ceci.

Exemple 2: Déterminer la variance d’une variable aléatoire discrète

Soit une variable aléatoire discrète qui peut prendre les valeurs 2, 3, 5 et 8. Sachant que , , et , déterminez la variance de . Donnez la réponse au centième près

Réponse

Afin de calculer la variance de la variable aléatoire discrète, nous pouvons utiliser la formule

Il est utile de calculer et séparément d’abord lors du calcul de .

Pour ,

Ensuite, on remplace et dans la formule :

Ainsi, la variance est de 3,33 au centième près.

Dans l’exemple suivant, nous allons trouver la variance de lorsqu’on a une fonction de distribution de probabilité de la forme . La méthode est semblable à celle utilisée lorsque est présentée dans un tableau ou sous la forme , sauf que nous devons générer les valeurs de en calculant la valeur de la fonction pour les valeurs données de .

Exemple 3: Déterminer la variance d’une variable aléatoire discrète

Soit une variable aléatoire discrète qui peut prendre les valeurs , , et 2. Sachant que a une fonction de distribution de probabilité , déterminez la variance de .

Réponse

Premièrement, comme nous avons une valeur inconnue , nous devons calculer cela. Nous savons que pour toute fonction de distribution de probabilité, , alors on peut utiliser cela pour déterminer la valeur inconnue de .

Afin de trouver une expression pour , on doit substituer les valeurs , , et 2 de dans .

Quand ,

Donc, pour trouver , on forme une équation en utilisant et la résoudre en :

Ensuite, on calcule en utilisant :

Maintenant que nous avons trouvé et la valeur correspondante de , on peut calculer la variance de . On va utiliser la formule pour le faire. Notez que correspond à la valeur de qui est associée à la valeur de .

Il est utile de calculer et séparément d’abord lors du calcul de .

Pour ,

Enfin, nous substituons et dans la formule :

Ainsi, la variance est égale à .

Dans l’exemple suivant, nous allons trouver la variance d’une variable aléatoire discrète sous la forme d’une fonction de distribution de probabilité, où le coefficient de la fonction est inconnu.

Exemple 4: Déterminer la variance d’une variable aléatoire discrète

Soit une variable aléatoire discrète qui peut prendre les valeurs 3, 4 et 5. Sachant que , déterminez la variance de . Si nécessaire, donnez la réponse au centième près.

Réponse

Premièrement, nous devons trouver, a, le coefficient inconnu dans la fonction de distribution de probabilité . Pour faire ceci, nous utilisons le fait que pour que soit une fonction de distribution de probabilité, on doit avoir .

Pour trouver , il faut d’abord trouver pour chaque valeur de , qui dans ce cas prend les valeurs 3, 4 et 5.

Pour ,

Pour trouver , on substitue dans la formule :

Ensuite, puisque on a trouvé la valeur de , on peut déterminer la fonction de distribution de probabilité en remplaçant :

Ainsi, pour et 5 nous avons ce qui suit :

On peut maintenant trouver la variance de la variable aléatoire discrète. On fait ceci en utilisant la formule . Notez que correspond à la valeur de qui est associée à la valeur de .

Il est utile de calculer et séparément d'abord lors du calcul de .

Pour ,

Enfin, on substitue et dans la formule :

Ainsi, la variance est 0,64 au centième près.

Dans cette fiche explicative, nous avons appris à déterminer la variance d’une variable aléatoire discrète, et à résoudre des problèmes où la variance est donnée et où il y a des inconnues au niveau de la fonction de distribution de probabilité.