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Fiche explicative de la leçon : Variance d’une variable aléatoire discrète Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment calculer la variance des variables aléatoires discrètes.

Afin de déterminer la variance d’une variable aléatoire discrète, il est utile de rappeler la définition d’une variable aléatoire discrète.

Définition : Variable aléatoire discrète

Une variable aléatoire discrète est une variable qui ne peut prendre qu’un nombre dénombrable de valeurs numériques. La valeur que prend la variable est déterminée par l’issue d’un phénomène ou d’une expérience aléatoire. Une telle variable est souvent désignée par un 𝑋 majuscule, avec la valeur prise par la variable notée en 𝑥 minuscule.

Afin de représenter une variable aléatoire discrète, nous pouvons utiliser une fonction de distribution de probabilité. C’est une fonction qui associe les valeurs prises par la variable aléatoire discrète à leurs probabilités associées.

Définition : Fonction de distribution de probabilité

Une fonction de distribution de probabilité est une fonction qui génère des probabilités de valeur 𝑓(𝑥) étant donné une issue de valeur 𝑥 et doit vérifier les propriétés suivantes:

  • 𝑓(𝑥)=1 pour toutes les valeurs de 𝑥 que la variable aléatoire peut prendre;
  • chaque valeur de 𝑓(𝑥) doit appartenir à l’intervalle [0;1].

On peut représenter une fonction de distribution de probabilité de plusieurs façons, y compris un tableau, sous la forme 𝑃(𝑋=𝑥)=𝑝 ou comme une formule qui associe à 𝑥 la valeur 𝑓(𝑥).

Définition : Variance d’une variable aléatoire discrète

La variance d’une variable aléatoire discrète 𝑋 est la mesure de la dispersion avec laquelle les valeurs de la variable diffèrent de l’espérance 𝜇. Ceci est donné par Var(𝑋)=𝜎,𝜎 est l’écart-type de la variable.

Cela peut être calculé en utilisant la formule suivante:Var(𝑋)=𝐸(𝑋𝜇),𝜇=𝐸(𝑋)=(𝑥×𝑃(𝑋=𝑥)) est l’espérance de 𝑋 et 𝑥 représente toutes les valeurs que 𝑋 peut prendre.

La formule de la variance de 𝑋 peut être développer pour donner VarpuisquepuisqueVar(𝑋)=𝐸(𝑋𝜇)=𝐸𝑋2𝑋𝜇+𝜇=𝐸𝑋2𝑋×𝐸(𝑋)+𝐸(𝑋)(𝜇=𝐸(𝑋))=𝐸𝑋𝐸[2𝑋×𝐸(𝑋)]+𝐸𝐸(𝑋)=𝐸𝑋2𝐸(𝑋)×𝐸(𝑋)+𝐸(𝑋)(𝐸[𝐸(𝑋)]=𝐸(𝑋))=𝐸𝑋2𝐸(𝑋)+𝐸(𝑋)(𝑋)=𝐸𝑋𝐸(𝑋),𝐸𝑋=𝑥×𝑃(𝑋=𝑥) et 𝐸(𝑋)=(𝑥×𝑃(𝑋=𝑥)).

Lors du calcul de la variance d’une variable aléatoire discrète, il est plus facile d’utiliser la forme Var(𝑋)=𝐸𝑋𝐸(𝑋);cependant, avec l’exemple suivant, on va utiliser à la fois cette forme et la forme Var(𝑋)=𝐸(𝑋𝜇) pour montrer comment les appliquer.

Exemple 1: Déterminer la variance d’une variable aléatoire discrète à partir d’un tableau

La fonction dans le tableau donné est une fonction de distribution de probabilité d’une variable aléatoire discrète 𝑋. Déterminez la variance de 𝑋. Si nécessaire, donner la réponse au centième près.

𝑥3578
𝑓(𝑥)2𝑎5𝑎5𝑎𝑎

Réponse

Premièrement, nous devons déterminer la valeur de 𝑎 dans le tableau. Rappelons que pour une variable aléatoire discrète, 𝑓(𝑥)=1. Par conséquent, on peut utiliser cette propriété pour déterminer la valeur de 𝑎:2𝑎+5𝑎+5𝑎+𝑎=110𝑎+3𝑎1=0(5𝑎1)(2𝑎+1)=05𝑎1=02𝑎+1=05𝑎=12𝑎=1𝑎=15𝑎=12.ououou

Comme chaque valeur de 𝑓(𝑥) doit appartenir à l’intervalle [0;1], nous devons vérifier quelle(s) valeur(s) de 𝑎 sont des solutions.

Si 𝑎=15, alors en substituant dans l’expression de 𝑓(𝑥) on obtient ce qui suit.

𝑥3578
𝑓(𝑥)2×15=255×15=525=155×15=525=1515

On remarque que chaque valeur de 𝑓(𝑥) appartient à l’intervalle [0;1];par conséquent, 𝑎=15 est une solution.

Si 𝑎=12 alors en substituant dans l’expression de 𝑓(𝑥) on obtient ce qui suit.

𝑥3578
𝑓(𝑥)2×12=15×12=545×12=5412

On peut voir qu’au moins une des valeurs de 𝑓(𝑥) n’appartient pas à l’intervalle [0;1];par conséquent, 𝑎=12 n’est pas une solution.

Notez que, dans ce cas, aucune des valeurs n’était dans l’intervalle [0;1], mais si au moins l’une de ces valeur n’appartient pas à cet intervalle, alors cette fonction ne peut pas être une fonction de distribution de probabilité.

Maintenant, nous allons trouver la variance en utilisant la formule Var(𝑋)=𝐸𝑋𝐸(𝑋),𝐸𝑋=𝑥×𝑃(𝑋=𝑥) et 𝐸(𝑋)=(𝑥×𝑃(𝑋=𝑥)). On utilise donc les valeurs du tableau pour calculer Var(𝑋). Notez que 𝑃(𝑋=𝑥) correspond à la valeur de 𝑓(𝑥) qui est associée à la valeur de 𝑥.

𝑥3578
𝑓(𝑥)25151515

Dans ce cas, pour calculer Var(𝑋), il est utile de calculer d’abord 𝐸(𝑋) et 𝐸𝑋 séparément.

Pour 𝐸(𝑋) , 𝐸(𝑋)=(𝑥×𝑃(𝑋=𝑥))=3×25+5×15+7×15+8×15=65+55+75+85=265.

Pour 𝐸𝑋 , 𝐸𝑋=𝑥×𝑃(𝑋=𝑥)=9×25+25×15+49×15+64×15=185+255+495+645=1565.

Ensuite, on remplace 𝐸(𝑋) et 𝐸𝑋 dans la formule:Var(𝑋)=𝐸𝑋𝐸(𝑋)=1565265=156567625=4,16.

Ainsi, la variance est de 4,16 au centième près.

Dans notre exemple précédent, nous avons montré comment trouver la variance en utilisant la formule Var(𝑋)=𝐸𝑋𝐸(𝑋). Nous allons maintenant voir comment l’utilisation de la forme alternative Var(𝑋)=𝐸(𝑋𝜇) va nous donner le même résultat.

On va utiliser la valeur 𝐸(𝑋)=265 que nous avons calculé précédemment, puis calculons 𝑋𝜇 et son carré pour chaque valeur de 𝑥. Pour faire ceci, il est utile d’ajouter des lignes au tableau.

𝑥3578
𝑓(𝑥)25151515
𝑋𝜇3265=1155265=157265=958265=145
(𝑋𝜇)12125125812519625

Ensuite, on calcule 𝐸(𝑋𝜇) et la variance, notant que 𝑃(𝑋=𝑥) correspond à la valeur de 𝑓(𝑥) dans le tableau:Var(𝑋)=𝐸(𝑋𝜇)=(𝑋𝜇)×𝑃(𝑋=𝑥)=12125×25+125×15+8125×15+19625×15=242125+1125+81125+196125=4,16.

Ainsi, la variance est de 4,16 au centième près.

Notez que, bien que la méthode utilisée dans l’exemple et cette méthode soient toutes deux valables, la méthode utilisée dans l’exemple est la plus recommandée car il y a moins d’opportunités de commettre des erreurs de calcul.

L’exemple suivant utilise la fonction de distribution de probabilité sous la forme 𝑃(𝑋=𝑥)=𝑝 pour la variable aléatoire discrète 𝑋. Encore une fois, nous devons déterminer la variance;cependant, cette fois, nous utiliserons uniquement la formule Var(𝑋)=𝐸𝑋𝐸(𝑋) pour faire ceci.

Exemple 2: Déterminer la variance d’une variable aléatoire discrète

Soit 𝑋 une variable aléatoire discrète qui peut prendre les valeurs 2, 3, 5 et 8. Sachant que 𝑃(𝑋=2)=124, 𝑃(𝑋=3)=512, 𝑃(𝑋=5)=38 et 𝑃(𝑋=8)=16, déterminez la variance de 𝑋. Donnez la réponse au centième près

Réponse

Afin de calculer la variance de la variable aléatoire discrète, nous pouvons utiliser la formule Var(𝑋)=𝐸𝑋𝐸(𝑋).

Il est utile de calculer 𝐸(𝑋) et 𝐸𝑋 séparément d’abord lors du calcul de Var(𝑋).

Pour 𝐸(𝑋), 𝐸(𝑋)=(𝑥×𝑃(𝑋=𝑥))=2×124+3×512+5×38+8×16=224+1512+158+86=10924.

Pour 𝐸𝑋, 𝐸𝑋=𝑥×𝑃(𝑋=𝑥)=2×124+3×512+5×38+8×16=424+4512+758+646=57524.

Ensuite, on remplace 𝐸(𝑋) et 𝐸𝑋 dans la formule:Varaucentièmeprès(𝑋)=𝐸𝑋𝐸(𝑋)=5752410924=1919576=3,33.

Ainsi, la variance est de 3,33 au centième près.

Dans l’exemple suivant, nous allons trouver la variance de 𝑋 lorsqu’on a une fonction de distribution de probabilité de la forme 𝑓(𝑥). La méthode est semblable à celle utilisée lorsque 𝑓(𝑥) est présentée dans un tableau ou sous la forme 𝑃(𝑋=𝑥)=𝑝, sauf que nous devons générer les valeurs de 𝑓(𝑥) en calculant la valeur de la fonction pour les valeurs données de 𝑥.

Exemple 3: Déterminer la variance d’une variable aléatoire discrète

Soit 𝑋 une variable aléatoire discrète qui peut prendre les valeurs 2, 1, 𝑚 et 2. Sachant que 𝑋 a une fonction de distribution de probabilité 𝑓(𝑥)=𝑥+416, déterminez la variance de 𝑋.

Réponse

Premièrement, comme nous avons une valeur inconnue 𝑚, nous devons calculer cela. Nous savons que pour toute fonction de distribution de probabilité, 𝑓(𝑥)=1, alors on peut utiliser cela pour déterminer la valeur inconnue de 𝑚.

Afin de trouver une expression pour 𝑓(𝑥), on doit substituer les valeurs 2, 1, 𝑚 et 2 de 𝑥 dans 𝑓(𝑥).

Quand 𝑥=2, 𝑓(2)=2+416=216.

Quand 𝑥=1, 𝑓(1)=1+416=316.

Quand 𝑥=𝑚, 𝑓(𝑚)=𝑚+416.

Quand 𝑥=2, 𝑓(2)=2+416=616.

Donc, pour trouver 𝑚, on forme une équation en utilisant 𝑓(𝑥)=1 et la résoudre en 𝑚:𝑓(𝑥)=𝑓(2)+𝑓(1)+𝑓(𝑚)+𝑓(2)=1216+316+𝑚+416+616=12+3+𝑚+4+616=1𝑚+1516=1𝑚+15=16𝑚=1.

Ensuite, on calcule 𝑓(𝑚) en utilisant 𝑚=1:𝑓(1)=1+416=516.

Maintenant que nous avons trouvé 𝑚=1 et la valeur correspondante de 𝑓(𝑚), on peut calculer la variance de 𝑋. On va utiliser la formule Var(𝑋)=𝐸𝑋𝐸(𝑋) pour le faire. Notez que 𝑃(𝑋=𝑥) correspond à la valeur de 𝑓(𝑥) qui est associée à la valeur de 𝑥.

Il est utile de calculer 𝐸(𝑋) et 𝐸𝑋 séparément d’abord lors du calcul de Var(𝑋).

Pour 𝐸(𝑋), 𝐸(𝑋)=(𝑥×𝑃(𝑋=𝑥))=2×216+1×316+1×516+2×616=416316+516+1216=1016=58.

Pour 𝐸𝑋, 𝐸𝑋=𝑥×𝑃(𝑋=𝑥)=(2)×216+(1)×316+1×516+2×616=816+316+516+2416=4016=52.

Enfin, nous substituons 𝐸(𝑋) et 𝐸𝑋 dans la formule:Var(𝑋)=𝐸𝑋𝐸(𝑋)=5258=13564.

Ainsi, la variance est égale à 13564.

Dans l’exemple suivant, nous allons trouver la variance d’une variable aléatoire discrète sous la forme d’une fonction de distribution de probabilité, où le coefficient de la fonction est inconnu.

Exemple 4: Déterminer la variance d’une variable aléatoire discrète

Soit 𝑋 une variable aléatoire discrète qui peut prendre les valeurs 3, 4 et 5. Sachant que 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥12, déterminez la variance de 𝑋. Si nécessaire, donnez la réponse au centième près.

Réponse

Premièrement, nous devons trouver, a, le coefficient inconnu dans la fonction de distribution de probabilité 𝑓(𝑥). Pour faire ceci, nous utilisons le fait que pour que 𝑓(𝑥) soit une fonction de distribution de probabilité, on doit avoir 𝑓(𝑥)=1.

Pour trouver 𝑓(𝑥), il faut d’abord trouver 𝑓(𝑥) pour chaque valeur de 𝑋, qui dans ce cas prend les valeurs 3, 4 et 5.

Pour 𝑥=3, 𝑓(3)=𝑎×312=3𝑎12.

Pour 𝑥=4, 𝑓(4)=𝑎×412=4𝑎12.

Pour 𝑥=5, 𝑓(5)=𝑎×512=5𝑎12.

Pour trouver 𝑎, on substitue dans la formule 𝑓(𝑥)=1:𝑓(𝑥)=𝑓(3)+𝑓(4)+𝑓(5)=13𝑎12+4𝑎12+5𝑎12=112𝑎12=1𝑎=1.

Ensuite, puisque on a trouvé la valeur de 𝑎, on peut déterminer la fonction de distribution de probabilité 𝑓(𝑥) en remplaçant 𝑎:𝑓(𝑥)=1×𝑥12=𝑥12.

Ainsi, pour 𝑥=3;4 et 5 nous avons ce qui suit:𝑓(3)=312,𝑓(4)=412,𝑓(5)=512.

On peut maintenant trouver la variance de la variable aléatoire discrète. On fait ceci en utilisant la formule Var(𝑋)=𝐸𝑋𝐸(𝑋). Notez que 𝑃(𝑋=𝑥) correspond à la valeur de 𝑓(𝑥) qui est associée à la valeur de 𝑥.

Il est utile de calculer 𝐸(𝑋) et 𝐸𝑋 séparément d'abord lors du calcul de Var(𝑋).

Pour 𝐸(𝑋), 𝐸(𝑋)=(𝑥×𝑃(𝑋=𝑥))=3×312+4×412+5×512=912+1612+2512=5012=256.

Pour 𝐸𝑋, 𝐸𝑋=𝑥×𝑃(𝑋=𝑥)=3×312+4×412+5×512=2712+6412+12512=21612=18.

Enfin, on substitue 𝐸(𝑋) et 𝐸𝑋 dans la formule:Varaucentièmeprès(𝑋)=𝐸𝑋𝐸(𝑋)=18256=0,64.

Ainsi, la variance est 0,64 au centième près.

Dans cette fiche explicative, nous avons appris à déterminer la variance d’une variable aléatoire discrète, et à résoudre des problèmes où la variance est donnée et où il y a des inconnues au niveau de la fonction de distribution de probabilité.

Points clés

  • La variance d’une variable aléatoire discrète 𝑋 peut être trouvé en utilisant l’une des deux formules suivantes:
    • Var(𝑋)=𝐸(𝑋𝜇), 𝜇=𝐸(𝑋)=(𝑥×𝑃(𝑋=𝑥));
    • Var(𝑋)=𝐸𝑋𝐸(𝑋), 𝐸𝑋=𝑥×𝑃(𝑋=𝑥) et 𝐸(𝑋)=(𝑥×𝑃(𝑋=𝑥)).

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