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Sans calculer les écarts-types exacts, calculez laquelle des séries statistiques suivantes présente l’écart-type le plus grand. La série statistique (A) comprend les valeurs 100, 200, 300, 400, 500 et 500. La série statistique (B) comprend les valeurs trois, 31, 53, 63, 63 et 63. La série statistique (C) comprend les valeurs 1000, 2000, 3000, 4000, 5000 et 6000. La série statistique (D) comporte cinq éléments égaux à 10 et l’élément 11. Dans la série statistique (E), les six éléments ont la valeur 100.
On nous donne cinq séries statistiques qui contiennent chacune six éléments ou observations. Nous savons que l'écart-type d'une série statistique permet de mesurer la dispersion des valeurs de la série autour de sa moyenne. Ainsi, plus l'écart type est grand, plus les valeurs de la série sont dispersées par rapport à la moyenne. Nous pouvons également décrire l'écart-type comme la distance moyenne entre la moyenne et chacun des points correspondants aux valeurs de cette série, c'est-à-dire la distance moyenne entre les valeurs de la série et la moyenne.
Puisque nous n'allons pas calculer les écarts-types des options (A) à (E), examinons ce que chaque ensemble statistique peut nous renseigner sur la dispersion seulement à partir des observations. Si nous commençons par l'ensemble statistique (E), qui est le plus simple, nous constatons que chaque élément de l'ensemble est le même. Ils ont la même valeur de 100. Ainsi, dans cette série statistique, aucune dispersion n'est observée. Aucune différence n'existe entre les valeurs de la série. Si nous devions calculer la moyenne de cette série statistique, en rappelant que la moyenne est la somme de toutes les observations divisée par le nombre d'observations, la moyenne serait égale à 100. Puisqu’aucune des observations ne diffère de cette moyenne, nous pouvons affirmer avec certitude, sans avoir à le calculer, que l'écart-type de cette série statistique est de zéro.
Ensuite, considérons la série statistique correspondant à l'option (D). Cette option est assez similaire à l'option (E) car cinq de nos valeurs de la série sont les mêmes, même si, dans ce cas, elles ont une valeur de 10. Ici, l’une de nos observations diffère mais d'une seule unité, avec la valeur 11. Si nous devions calculer la moyenne de cet ensemble statistique, la moyenne devrait être très proche de 10. Ainsi, l'écart moyen est très faible, puisque cinq points de la série sur six sont en fait 10. Dans ce cas, nous pouvons donc nous attendre à ce que l'écart-type soit très proche de zéro.
Considérons maintenant l'option (C). Dans ce cas, nos valeurs sont 1000, 2000, 3000, 4000, 5000 et 6000. Puisque chaque point de la série diffère du suivant par la même quantité, c'est-à-dire 1000, nous pouvons estimer que la moyenne se situe au centre de la série. En effet, la moyenne est de 3500. La distance entre la moyenne et les valeurs la plus grande et la plus petite est de 2500 unités. Quant à la distance entre la moyenne et les valeurs les plus proches est de 500 unités. L'écart-type, qui correspond à la distance moyenne par rapport à la moyenne, doit donc se situer quelque part entre ces deux valeurs de 500 et 2500. Puisque les observations de cette série statistique sont réparties de manière uniforme, nous nous attendons à ce que l'écart-type se situe quelque part au milieu de ces deux valeurs. C'est-à-dire 500 et 2500. Il n'est pas nécessaire d'être plus précis que cela.
Examinons maintenant l'option (B). Dans cette série statistique, les valeurs vont de trois à 63, même si, en fait, quatre valeurs sur six, c'est-à-dire les deux tiers des éléments de notre série statistique, sont supérieurs à 50 et trois des valeurs sont égales à 63. Par conséquent, la pondération de nos données est supérieure à 50. Sur le graphique, on dirait que les données ont un écart assez large. Puisque la majorité des données sont supérieures à 50, la moyenne devrait se situer dans la partie supérieure des données, peut-être quelque part entre 40 et 50, par exemple. Estimons donc une moyenne d'environ 45.
La dispersion ou l'écart moyen par rapport à la moyenne doit être inférieur à la plus grande distance entre la moyenne et un point de données. Dans notre cas, la plus grande distance est de 42 unités. Nous pouvons donc être sûr de notre estimation lorsque nous supposons que l'écart-type de la série statistique (B) doit être inférieur à 42 unités.
Examinons maintenant notre dernière série statistique, l'option (A), où nos données vont de 100 à 500. Puisque deux observations prennent la valeur 500, nous pouvons nous attendre à ce que notre moyenne soit pondérée légèrement plus haut que le milieu des données, peut-être entre trois cents et quatre cents. Disons donc autour de 330. Ainsi, la dispersion maximale par rapport à la moyenne ne sera pas supérieure à environ 230. Nous pouvons donc nous attendre à ce que notre écart-type soit inférieur à 230. Bien entendu, il s'agit d'une estimation, mais, à présent, nous pouvons comparer nos cinq séries statistiques. Nous nous attendons à ce que l'écart-type de l'option (A) soit inférieur à 230, celui de l'option (B) soit inférieur à 42, celui de l'option (C) soit compris entre 500 et 2500, celui de l'option (D) soit presque nul et celui de l'option (E) soit exactement égal à zéro.
Ainsi, puisque l'option (C) présente la plus grande dispersion, la série statistique présentant l'écart-type le plus grand est la série (C).
