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Vidéo de la leçon : Ecart type d'un ensemble de données Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment déterminer et interpréter l’écart-type d’une série statistique donnée.

16:20

Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment déterminer et interpréter l’écart-type d’une série statistique donnée.

Afin de comprendre la signification de l’écart-type d’une série statistique, nous rappelons d’abord la définition de la moyenne d’une série statistique. La moyenne, également connue sous le nom de valeur moyenne ou espérance, est utilisée comme indicateur de tendance centrale. Soit une série statistique X contenant des valeurs 𝑥 indice un, 𝑥 indice deux, 𝑥 indice trois, et ainsi de suite, jusqu’à 𝑥 indice 𝑛 comprenant 𝑛 valeurs, la moyenne désignée par la lettre grecque est calculée en divisant la somme de toutes les valeurs de la série par le nombre de valeurs qu’elle contient. Cela peut être écrit comme la somme de 𝑖 égale un à 𝑛 de 𝑥 indice 𝑖 tous divisés par 𝑛.

Définissons maintenant ce que nous entendons par écart-type. L’écart-type d’une série statistique est utilisé pour mesurer la dispersion des valeurs de cette série autour de la moyenne. Plus l’écart- type est grand, plus les valeurs sont dispersées autour de la moyenne. Et plus l’écart-type est petit, moins les valeurs sont dispersées autour de la moyenne. Pour la même série statistique X avec des valeurs 𝑥 indice un, 𝑥 indice deux, et ainsi de suite, jusqu’à 𝑥 indice 𝑛 comprenant 𝑛 valeurs, l’écart-type désigné par 𝜎 𝑥 est calculé comme suit. Nous trouvons la racine carrée du quotient de la somme des carrés des différences de chaque valeur de la série statistique et de la moyenne 𝜇 par le nombre de valeurs 𝑛 de cette série. Ceci peut être simplifié comme indiqué. Les deux formules abrégées pour calculer la moyenne et l’écart-type seront essentielles pour résoudre les exemples de cette vidéo.

Nous commencerons par utiliser la formule de l’écart-type d’une série statistique pour déterminer l’écart-type lorsqu’on nous donne la somme de la différence des carrés et le nombre de valeurs.

Si la somme de 𝑥 moins 𝑥 bar le tout au carré pour un ensemble de six valeurs est égale à 25, trouvez l’écart-type de l’ensemble et arrondissez le résultat au millième le plus près.

Nous commençons par rappeler ce que signifie une partie des notations de la question. 𝑥 barre, également parfois écrite comme la lettre grecque 𝜇, est la moyenne de la série statistique. On nous demande de trouver l’écart-type de la série. Ceci est noté 𝜎 𝑥 et satisfait l’équation montrée. 𝑛 est le nombre de valeurs dans la série statistique, dans cette question 𝑛 vaut six. Et on nous dit aussi que la somme de 𝑥 moins 𝑥 barre le tout au carré est égale à 25. En remplaçant ces valeurs, nous voyons que l’écart-type 𝜎 𝑥 est égal à la racine carrée de 25 sur six. Taper ceci dans notre calculatrice nous donne une réponse de 2,041241 et ainsi de suite. On nous demande de donner le résultat au millième près. Il faut donc arrondir à trois places décimales. Et l’écart-type est donc égal à 2,041.

Dans cette question, on nous a donné la somme de la différence des valeurs de la série statistique à partir de la moyenne le tout au carré. Cependant, en général, on nous donne que la série statistique. Notre prochaine étape sera donc d’examiner le processus de quatre étapes que nous pouvons utiliser pour trouver l’écart-type d’une série statistique.

Nous commençons par rappeler la formule pour calculer l’écart-type 𝜎 𝑥 que l’on a déjà vu. Lorsqu’on nous donne une série statistique, notre première étape consiste à trouver la moyenne 𝜇 ou 𝑥 barre de la série statistique. Notre deuxième étape consiste à trouver la différence entre la moyenne et chacune des valeurs de la série statistique. Ensuite, nous trouvons la somme des carrés de chacune des différences que nous avons trouvées à la deuxième étape. Enfin, nous remplaçons la somme des carrés et la valeur de dans la formule puis prendre la racine carrée pour calculer l’écart-type, en notant que cette valeur sera toujours positive. Nous allons maintenant examiner un exemple où nous devons suivre ce processus de quatre étapes.

Calculez l’écart-type des valeurs 45, 35, 42, 49, 39 et 34. Donnez votre réponse au millième près.

Nous commençons par rappeler que la formule pour calculer l’écart-type 𝜎 𝑥 d’une série statistique est la suivante, où est le nombre de valeurs de la série statistique et 𝜇 est sa moyenne. Nous rappelons que nous pouvons calculer la moyenne d’une série statistique en divisant la somme de toutes les valeurs de la série par le nombre de valeurs qu’elle contient. La moyenne 𝜇 dans ce cas est égale à la somme des six valeurs divisée par six. Ceci équivaut à 224 divisé par six, ce qui équivaut à 40,666 etc. Nous allons maintenant mettre en place un tableau qui nous permettra de suivre un processus étape par étape pour calculer l’écart-type.

Dans la première ligne de notre tableau, nous avons les six valeurs de notre série statistique 𝑥 indice 𝑖. Nous commençons par soustraire la moyenne 𝜇 de chacune de ces valeurs. 45 moins 40, 666 etc. est égal à 4,333 etc. La soustraction de la moyenne de 35 nous donne moins 5,666 etc. En répétant ce processus pour les autres quatre valeurs de notre série statistique, nous avons 1,33 etc., 8,333 etc., moins 1,666 etc. et moins 6,666 etc. Notre prochaine étape consiste à trouver le carré de chacune de ces valeurs. En notant que tout cela doit être positif, nous avons les six valeurs indiquées. Nous sommes maintenant en mesure de trouver la somme de 𝑥 indice 𝑖 moins 𝜇 le tout au carré de 𝑖 est égal à un à 𝑖 est égal à six. C’est la somme des six valeurs de la troisième ligne.

Taper ceci dans notre calculatrice nous donne 169,333 etc. L’écart-type 𝜎 𝑥 est donc égal à la racine carrée de 169,333 etc. divisée par six, ce qui équivaut à 5,312459 et ainsi de suite. Comme on nous demande de donner notre réponse arrondie au millième près, nous pouvons conclure que l’écart-type des valeurs 45, 35, 42, 49, 39 et 34 est de 5,312.

Avant d’examiner un dernier exemple, nous examinerons comment nous pouvons calculer la moyenne et l’écart-type d’une série statistique dans un tableau des effectifs. Pour une série statistique X contenant des valeurs 𝑥 indice un, 𝑥 indice deux, et ainsi de suite, jusqu’à 𝑥 indice 𝑛, avec des effectifs correspondants égal à 𝑓 indice un, 𝑓 indice deux, et ainsi de suite et 𝑛 valeurs distinctes de la série statistique, la moyenne 𝜇 est calculée comme suit. C’est la somme de 𝑥 indice 𝑖 𝑓 indice 𝑖 de 𝑖 égale un à 𝑛 divisée par la somme de 𝑓 indice 𝑖 de 𝑖 égale un à 𝑛. Pour répondre à des questions de ce type, nous devrons ajouter une ligne à notre tableau contenant les valeurs de 𝑥 indice 𝑖 multipliées par 𝑓 indice 𝑖.

Nous pouvons ensuite utiliser cette valeur de la moyenne pour calculer l’écart-type d’une manière similaire. L’écart-type 𝜎 𝑥 est égal à la racine carrée de la somme de 𝑥 indice 𝑖 moins 𝜇 le tout au carré multiplié par 𝑓 indice 𝑖 de 𝑖 égale un à 𝑛 divisée par la somme de 𝑓 indice 𝑖 de 𝑖 égale un à 𝑛. Après avoir trouvé le carré des différences, nous devons multiplier chacune de ces valeurs par l’effectif avant de trouver leur somme. Voyons maintenant un exemple de ce type.

Le tableau montre la répartition des buts marqués au cours de la première moitié d’une saison de football. Trouvez l’écart-type du nombre de buts marqués. Donnez votre réponse au millième près.

Nous pouvons voir du tableau qu’en cinq matches, il n’y a eu aucun but marqué lors de la première moitié. En deux matches, un but a été marqué. Il y a eu sept matches et trois et quatre buts ont été marqués. Et il y a eu quatre matches où six buts ont été marqués dans la première moitié. On nous demande de trouver l’écart-type du nombre de buts marqués. Et cela peut être calculé à l’aide de la formule suivante lorsqu’une série statistique est donnée sous forme d’un tableau des effectifs. Dans cette question, 𝑥 indice 𝑖 sera le nombre de buts. 𝑓 indice 𝑖 sera le nombre de matchs. Et 𝜇 sera le nombre moyen de buts marqués par match.

Cette valeur moyenne peut être calculée en trouvant la somme de indice 𝑖 multipliée par 𝑓 indice 𝑖 de 𝑖 égale un à 𝑛 divisée par la somme de 𝑓 indice 𝑖 de 𝑖 égale un à 𝑛. Avant d’utiliser l’une de nos formules, nous allons ajouter quelques lignes supplémentaires à notre tableau. Afin de calculer la moyenne, nous commençons par multiplier chaque valeur de indice 𝑖 par la valeur correspondante de 𝑓 indice 𝑖. Multiplier zéro but par cinq matches nous donne un total de zéro but. Un multiplié par deux est égal à deux. En complétant cette ligne, nous obtenons les valeurs de 21, 28 et 24. En ajoutant une colonne supplémentaire pour la somme, nous devons trouver cette valeur de 𝑖 égale un à 𝑛 pour les deuxième et troisième lignes.

La somme des effectifs est de 25, ce qui signifie qu’il y a eu un total de 25 matchs joués. Celui-ci sera le dénominateur lors du calcul de la moyenne et de l’écart-type. L’addition de zéro, deux, 21, 28 et 24 nous donne 75. Et la moyenne est donc égale à 75 divisé par 25. La moyenne ou le nombre moyen de buts marqués par match était de trois. Dans la quatrième ligne de notre tableau, nous soustrairons cette moyenne de chacune de nos valeurs 𝑥. Zéro moins trois est égal à moins trois. Et soustraire 𝜇 de chacune des autres valeurs 𝑥 nous donne moins deux, zéro, un et trois. Notre prochaine étape consiste à mettre au carré ces cinq valeurs. Notant qu’élever un nombre négatif au carré donne une réponse positive, nous avons donc neuf, quatre, zéro, un et neuf.

Enfin, nous devons multiplier chacune de ces valeurs par l’effectif correspondant. Neuf multiplié par cinq fait 45. Ensuite, nous multiplions quatre par deux pour nous donner huit. Nos trois dernières valeurs sont zéro, sept et 36. Nous devons maintenant trouver la somme des valeurs de la dernière ligne. Et cela est égal à 96. L’écart-type 𝜎 𝑥 est donc égal à la racine carrée de 96 sur 25. Ceci se simplifie comme la racine carrée de 3,84. Et en rappelant qu’on nous a demandé de donner notre réponse au millième près, nous pouvons taper cela dans notre calculatrice. Au millième près, l’écart-type du nombre de buts marqués est de 1 ,960.

Bien que nous ne le traitions pas dans cette vidéo, il convient de noter que nous pouvons également trouver l’écart-type de données regroupées par classes de la même manière. Lorsqu’il s’agit de données regroupées par classes, nous trouvons le centre de chaque classe, et ce seront nos valeurs de 𝑥 indice 𝑖. Nous procédons ensuite exactement de la même manière que dans cette question.

Nous allons maintenant terminer cette vidéo en résumant les points clés. Nous avons vu dans cette vidéo que l’écart-type d’une série statistique est utilisé pour mesurer la dispersion des valeurs autour de la moyenne. Pour les valeurs de données présentées dans une liste, la formule pour l’écart-type 𝜎 𝑥 est comme indiqué, où la série statistique X a des valeurs 𝑥 indice un, 𝑥 indice deux, et ainsi de suite, jusqu’à 𝑥 indice 𝑛, avec 𝑛 valeurs et moyenne 𝜇. Lorsque les valeurs sont présentées dans un tableau des effectifs et que chaque valeur de la série a un effectif correspondant 𝑓 indice un, 𝑓 indice deux, et ainsi de suite, jusqu’à 𝑓 indice 𝑛, alors nous pouvons calculer l’écart-type comme indiqué. On note également que pour les tableaux des effectifs groupés par classes où les valeurs sont données par intervalles, le centre de l’intervalle est utilisé pour représenter les valeurs de 𝑥 indice 𝑖.

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