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Vrai ou Faux : Sachant que 𝐴 est une matrice inversible, la solution de l’équation matricielle 𝐴𝑋 est égal à 𝐵 est 𝑋 est égal à l’inverse de 𝐴 fois 𝐵.
Une équation matricielle est une équation où les variables sont représentées par des matrices. On nous a demandé si la solution de l’équation matricielle 𝐴𝑋 est égal à 𝐵 est 𝑋 est égal à l’inverse de 𝐴 fois 𝐵. Afin de trouver une solution à cette équation matricielle, il y a une chose importante à rappeler, à savoir que l’inverse de 𝐴 multipliée par 𝐴 est égale à la matrice identité et que cela donne la même chose que 𝐴 multipliée par l’inverse de 𝐴. Ainsi, si nous prenons 𝐴𝑋 est égal à 𝐵 et que nous multiplions à gauche par l’inverse de 𝐴, nous avons l’inverse de 𝐴 multiplié par 𝐴 multipliée par 𝑋 égal à l’inverse de 𝐴 multipliée par 𝐵. Ce n’est correct que parce qu’on nous dit que 𝐴 est une matrice inversible.
Maintenant, rappelez-vous que la multiplication matricielle est associative. Cela signifie que cela donne la même chose que l’inverse de 𝐴 multipliée par 𝐴 multipliée par 𝑋 est égal à l’inverse de 𝐴 multipliée par 𝐵. Par définition, nous savons que l’inverse de 𝐴 multipliée par 𝐴 donne la matrice identité. Or, nous savons que prendre une matrice et la multiplier par la matrice identité nous donne simplement la matrice originale, nous avons donc que 𝑋 est égale à l’inverse de 𝐴 fois 𝐵. Par conséquent, cette affirmation est vraie. Il s’agit d’un résultat particulièrement utile car nous pouvons l’utiliser pour résoudre des systèmes d’équations linéaires.
