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La population d’une ville augmente de quatre pour cent chaque année. Combien d’années faut-il pour que la population de la ville double ?
Ce problème est un problème de croissance exponentielle. Nous avons notre population de départ. Et nous devons multiplier cela par 𝑒 au taux fois la puissance temps. Et cela nous donnera 𝐴, notre nouveau montant. Nous ne connaissons pas la population de la ville. Mais nous savons que nous nous intéressons à trouver le double.
Nous pouvons en fait utiliser le nombre un comme valeur de notre population. Si un est la valeur de départ de notre population, alors deux serait la valeur doublée. On va multiplier cela par 𝑒 à la puissance 0,04. 0,04 est quatre pour cent, écrit sous forme décimale. Et notre valeur manquante est 𝑡. Nous voulons savoir combien d’années il faudrait pour passer de un à deux pour notre population. Et cela signifie que nous devons isoler 𝑡. Nous devons obtenir 𝑡 par lui-même. Tout ce qui est multiplié par un ne change pas.
Pour isoler 𝑡, nous devons le faire sortir de l’exposant. Et pour ce faire, nous devrons prendre le logarithme naturel de 𝑒 à la puissance 0,04𝑡. Et si nous prenons le logarithme naturel du membre droit de l’équation, nous devons prendre le logarithme naturel du membre gauche de l’équation. Le logarithme naturel de deux sera égal à 0,04 fois 𝑡. C’est parce que le logarithme naturel de 𝑒 à toute puissance est égal à tout ce qui est dans l’exposant.
Maintenant que nous le savons et que notre objectif est d’isoler 𝑡, nous pouvons diviser les deux membres de l’équation par le taux 0,04. Et 𝑡 est égal à 17,328. Donc, c’est un peu plus de 17 ans, 17,3 ans. Mais dans ce genre de question, nous ne pouvons pas mettre 17,3 ans. Nous devons arrondir à l’année près. Mais si nous arrondissions à 17, la population atteindrait le double ? L’année 18 serait la première année où la population doublerait.
Nous disons donc qu’il faut 18 années complètes pour que la population de la ville double.
