Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à modéliser le mouvement de liquides visqueux pouvant avoir un écoulement laminaire uniforme ou un écoulement turbulent non uniforme.
L’écoulement laminaire d’un fluide est modélisé en supposant que ce fluide est constitué de couches distinctes et stables.
L’exemple le plus simple d’écoulement laminaire consiste en un cas où le fluide contenu dans chaque couche se déplace dans le même sens à la même vitesse constante. Ceci est illustré par la figure suivante.
Pour un écoulement de cette simplicité, il n’y a pas de distinction évidente entre le mouvement d’un fluide et le mouvement uniforme d’un objet solide.
Cet exemple très simplifié est représenté sur la figure sans délimitation du fluide. L’absence de frontières est intentionnelle, car l’existence de limites à un fluide en mouvement affectera l’écoulement des couches du fluide si le fluide a une viscosité non nulle.
Rappelons que la viscosité d’un fluide est associée à la capacité de ce fluide à exercer des forces sur les objets avec lesquels il est en contact. Pour utiliser un terme non scientifique, la viscosité correspond à un « caractère collant ».
Voyons quel est l’effet de la viscosité d’un fluide sur l’écoulement laminaire de ce fluide.
Supposons que l’on étudie une partie d’un très long prisme rectangulaire contenant un fluide qui s’écoule. Le fluide est modélisé comme étant constitué de couches, dont chacune a une vitesse particulière. Ceci est illustré par la figure suivante.
Il est important de comprendre que, bien que l’on puisse maintenant distinguer des limites définies pour l’écoulement parallèles à la direction de l’écoulement, aucune limite n’est définie perpendiculairement à la direction de l’écoulement. Ceci permet d’éviter d’avoir à prendre en compte les points où l’écoulement démarre ou s’arrête, car de tels points impliqueraient des changements dans la vitesse de l’écoulement. Le fluide est donc ici modélisé comme s’écoulant en continu sans point de départ ni point d’arrêt.
Si le fluide dans le récipient a une viscosité non nulle, alors les couches en contact avec les parois du récipient (couche I et couche V) subissent des forces de frottement visqueux, exercées entre le fluide et la surface interne de la paroi du récipient.
Comme toutes force de frottement, les forces de frottement visqueux agissent sur un objet en mouvement et leur sens est opposé à celle du mouvement de l’objet. Il n’est pas toujours évident de considérer une couche de fluide comme étant un objet, mais on peut malgré tout la modéliser comme un objet sur lequel des forces de frottement peuvent agir.
Les forces de frottement exercées sur la couche I et la couche V réduisent les vitesses de ces couches. Ceci est illustré par la figure suivante.
Mais la viscosité du fluide ne produit pas seulement un frottement visqueux lorsque le fluide est en contact avec les parois internes du récipient.
En effet, lorsque deux couches adjacentes du fluide n’ont pas la même vitesse, cela équivaut à deux objets qui sont en contact, et qui passent l’un à côté de l’autre. Il se créé ainsi un frottement visqueux entre les couches adjacentes d’un fluide qui ont des vitesses inégales.
On voit alors que la friction entre la couche I et la couche II réduit la vitesse de la couche II et que la friction entre la couche V et la couche IV réduit la vitesse de la couche IV.
Il est important de comprendre que l’intensité de la force de frottement sur une couche de fluide qui s’écoule sur une certaine surface dépend de la vitesse avec laquelle le fluide s’écoule sur la surface.
Le frottement entre la couche I et la paroi interne du récipient est dû à l’écoulement de la couche I contre une paroi interne immobile. Ce frottement réduit la vitesse de la couche I mais ne réduit pas cette vitesse à zéro.
Le frottement entre la couche II et la couche I est dû à l’écoulement de la couche II sur une couche qui se déplace dans le même sens que la couche II mais plus lentement. Ce frottement réduit la vitesse de la couche II mais de façon inférieure à la réduction de la vitesse de la couche I. Ceci est illustré par la figure suivante.
Dans cet exemple, on suppose que la vitesse à laquelle la couche III s’écoule par rapport aux couches adjacentes est suffisamment petite pour qu’elle ne soit réduite que de façon négligeable.
Les vitesses d’écoulement des couches du fluide sont comparées pour produire ce qu’on appelle le profil de vitesse de l’écoulement. Ceci est illustré par la courbe en pointillés rouges.
Regardons maintenant un exemple étudiant les couches d’un fluide en écoulement.
Exemple 1: Reconnaître le profil d’écoulement d’un fluide visqueux dans un récipient cylindrique
Les figures ci-dessous représentent les limites des couches d’un liquide visqueux qui se déplacent à différentes vitesses lorsque le liquide passe à travers un tuyau. Quelle figure représente correctement les limites des couches de ce liquide ?
Réponse
Un liquide visqueux subit un frottement visqueux lorsqu’il s’écoule le long d’une surface. Le frottement entre le tuyau et le liquide produit ce type de frottement, ce qui réduit la vitesse des couches en contact avec les parois internes du tuyau. Les couches de vitesse réduite produisent un frottement avec leurs couches adjacentes, ce qui réduit leurs vitesses. C’est pourquoi le fluide s’écoule plus lentement près des parois du tuyau et plus vite au loin des parois du tuyau.
Considérons d’abord l’hypothèse où les couches sont perpendiculaires aux extrémités du tuyau. Ceci est illustré par la figure suivante.
Si cette hypothèse est correcte, alors deux choses doivent être vérifiées :
- La vitesse du fluide dans la couche représentée en rouge, , doit être différente de la vitesse du fluide dans la couche représentée en vert, .
- La vitesse de l’écoulement du fluide doit être constante à travers chaque couche.
On remarque que la couche représentée en rouge est située dans la section la plus large du tuyau. Le centre de cette couche est donc plus éloigné des parois du tuyau que le centre de la couche verte. Cette différence pourrait engendrer des vitesses d’écoulement différentes pour ces couches.
Cependant, pour les deux couches rouge et verte, la distance entre le fluide dans les couches et les parois du tuyau varie le long de la couche dans la direction perpendiculaire à l’écoulement du fluide. Le fluide est censé s’écouler plus vite plus loin des parois du tuyau qu’au niveau des parois du tuyau. Il n’est donc pas plausible que la vitesse d’écoulement soit constante sur toute la couche.
Considérons maintenant l’hypothèse dans laquelle les couches d’écoulement correspondent à des cylindres concentriques.
La figure suivante montre les vitesses possibles pour l’écoulement dans chaque couche. La vitesse dans chaque couche correspond à une flèche de couleur différente.
On observe que les vitesses d’écoulement augmentent avec la distance par rapport aux parois du tuyau. Cela est vrai pour tout diamètre de l’extrémité du tuyau choisi.
Ceci confirme donc qu’il s’agit de la bonne hypothèse.
Voyons à présent un exemple étudiant les couches d’un fluide dont l’écoulement est généré par une force qui lui est appliquée.
Exemple 2: Identifier le profil d’écoulement pour un fluide visqueux dont l’écoulement est généré par une force qui lui est appliquée
Les figures ci-dessous représentent les limites des couches d’un liquide visqueux, qui se déplacent à différentes vitesses lorsque le liquide traverse un récipient. Quelle figure représente correctement les limites des couches pour ce liquide s’écoulant à travers un récipient dans lequel la face supérieure du récipient est déplacée par rapport à la base du récipient ?
Réponse
Les figures ci-dessus montrent une petite zone dans laquelle l’écoulement se produit. Les figures suivantes illustrent cette zone. Aucune limite définie n’est indiquée perpendiculairement à la direction de l’écoulement. Sur la figure ci-dessous, la plaque n’est pas en contact avec le fluide, et par conséquent, le fluide est statique.
La plaque est ensuite placée en contact avec la couche supérieure du fluide.
Puis la plaque est déplacée horizontalement par l’action d’une force constante.
Le frottement entre la couche supérieure du fluide et la plaque produit une force sur la plaque dans le sens opposé à la force constante appliquée sur la plaque.
Conformément à la troisième loi du mouvement de Newton, lorsque le fluide exerce une force sur la plaque, la plaque exerce une force d’intensité égale sur le fluide dans le sens opposé. On voit alors que le mouvement de la plaque a pour résultat un déplacement de la couche supérieure du fluide dans le même sens que la plaque.
Il est important de remarquer que seule la couche supérieure du fluide est amenée à se déplacer. Il n’y a pas de mouvement équivalent induit sur les côtés ou la partie inférieure du fluide.
Ici, on observe que tout mouvement des couches du fluide autre que la couche supérieure doit être dû au mouvement de la couche supérieure. Le mouvement de la couche supérieure entraîne un frottement entre cette couche et celle juste en-dessous. Ceci est répété pour la couche située en-dessous de celle-ci et ainsi de suite jusqu’à ce que toutes les couches atteignent leurs vitesses d’équilibre.
Lorsque la plaque se déplace sur la couche supérieure du fluide, le fluide contenu dans la couche supérieure se déplace plus lentement que la plaque. Le frottement entre la couche supérieure et la couche qui lui est directement inférieure est donc moindre que celui entre la plaque et la couche supérieure. On constate alors que la couche située juste en dessous de la couche supérieure subit moins de friction que celle-ci, donc elle ne se déplace pas aussi vite.
Ainsi, on déduit que les vitesses des couches de fluide diminuent à mesure que leur distance par rapport à la plaque augmente.
Considérons maintenant les profils de vitesse possibles pour les deux configurations des couches de cet écoulement proposées dans la question. La vitesse d’écoulement dans chaque couche correspond à une flèche de couleur différente.
On observe que pour la configuration en prismes rectangulaires concentriques, les vitesses d’écoulement en haut et en bas du fluide sont égales. Cela ne peut être correct car les vitesses d’écoulement des couches doivent diminuer avec la distance par rapport à la plaque. En revanche, cela est cohérent avec la configuration en prismes rectangulaires empilés, ce qui confirme qu’il s’agit de la bonne hypothèse.
Il est important de remarquer que la force constante due à une plaque mobile ne produit pas indéfiniment une accélération constante du fluide déplacé par la plaque. Le fluide accélère jusqu’à ce que ses couches atteignent chacune leur vitesse d’équilibre. Le travail effectué par la plaque une fois que le fluide n’accélère plus est donc dissipé. Cela est normal, car on peut se rappeler que les forces de frottement sont dissipatives.
Une plaque poussée le long de la surface d’un très long prisme rectangulaire contenant un fluide peut être utilisée pour déterminer la viscosité du fluide. Pour être plus précis, la viscosité dynamique du fluide peut être ainsi calculée.
La valeur de la viscosité dynamique d’un fluide peut être calculée à l’aide des variables suivantes :
- , la force exercée sur la plaque
- , l’aire de la plaque
- , le changement de vitesse entre des couches adjacentes de fluide
- , la hauteur de chaque couche de fluide
Il est important de noter que ce modèle d’écoulement d’un fluide suppose qu’il y a une variation égale de la vitesse entre les couches de fluide adjacentes. Le profil de vitesse d’un tel écoulement ressemblerait donc à celui illustré sur la figure suivante.
Formule : Viscosité dynamique d’un fluide mis en mouvement par friction à partir d’une plaque rectangulaire
La viscosité dynamique , d’un fluide est donnée par la formule où est la force constante exercée sur la plaque, est l’aire de la plaque, est la hauteur d’une couche de fluide, et est la différence de vitesse d’écoulement entre des couches de fluide adjacentes.
L’unité de viscosité dynamique est donnée par
La valeur standard de la viscosité dynamique de l’eau est de .
Regardons maintenant un exemple de calcul de la viscosité dynamique d’un fluide.
Exemple 3: Calcul de la viscosité dynamique d’un fluide
Une plaque mince de masse 2,5 g poussée par une force constante , se déplace à une vitesse constante de 1,32 cm/s sur la surface d’un liquide visqueux de profondeur 2,5 mm, comme indiqué sur le schéma ci-dessous. Les vitesses des couches du liquide entre la plaque et la couche la plus basse du liquide sont indiquées sur le schéma. Le liquide en contact avec les plaques supérieure et inférieure se déplace à la même vitesse que les plaques. Quelle est la viscosité dynamique du liquide ? Donnez votre réponse en notation scientifique, au dixième près.
Réponse
La valeur de la viscosité dynamique d’un fluide peut être calculée à l’aide des variables suivantes :
- , la force exercée sur la plaque
- , l’aire de la plaque
- , le changement de vitesse entre des couches adjacentes de fluide
- , la hauteur de chaque couche de fluide
La formule suivante est utilisée :
La valeur de la force est donnée par
L’aire de la plaque est le produit des longueurs de ses côtés et est donnée par
Il y a 5 couches de fluide, et la hauteur totale de ces couches est de 2,5 mm. La hauteur d’une couche est donc donnée par
En prenant les vitesses de deux couches adjacentes, on voit que la différence entre elles est donnée par
La valeur de est donc donnée par
Cela nous donne
Ceci est proche de la valeur standard de la viscosité dynamique de l’eau.
Jusqu’à présent, notre fiche explicative n’a étudié que l’écoulement laminaire d’un fluide.
On peut aussi étudier un écoulement turbulent. Dans les fluides à écoulement turbulent, les couches du fluide se croisent, comme indiqué sur la figure suivante.
La turbulence se produit plus facilement lorsque les fluides ont des vitesses d’écoulement plus grandes. On a vu que les forces de frottement entre les couches dépendent des vitesses auxquelles les couches passent les unes sur les autres. Plus la vitesse globale de l’écoulement d’un fluide est grande, plus la différence de vitesses entre les couches est grande et, par conséquent, plus les forces de frottement entre les couches sont importantes.
On peut modéliser une couche d’un fluide comme étant constituée de plusieurs parties. Considérons une partie d’une couche comportant d’autres couches de chaque côté, une plus lente et une plus rapide. Ceci est illustré par la figure suivante.
On voit que la couche la plus rapide tire la partie de la couche située au milieu dans le sens de l’écoulement global, tandis que la couche la plus lente tire cette partie dans le sens opposé. L’action de forces dans des sens opposés en haut et en bas de la couche centrale produit un effet de retournement, comme le montre la figure suivante.
L’intensité de l’effet de retournement sera généralement différente pour les différentes couches, de sorte qu’une couche peut se retourner suffisamment pour pénétrer dans une autre couche. De la turbulence est alors observée.
Plus la viscosité d’un fluide est grande, plus les couches du fluide tendent à se retourner de façon identique. Cela signifie que plus un fluide est visqueux, plus il est difficile de faire circuler le fluide de manière turbulente.
Voyons maintenant un exemple d’écoulement turbulent d’un fluide visqueux.
Exemple 4: Expliquer les transitions entre écoulement laminaire et turbulent dans un fluide visqueux
Le schéma ci-dessous illustre une section transversale des lignes de courant d’un liquide s’écoulant autour d’un cylindre. Avant que le fluide atteigne le cylindre, l’écoulement est laminaire. Une fois le cylindre passé, il y a une zone d’écoulement turbulent. Cependant, après la zone d’écoulement turbulent, l’écoulement redevient laminaire. Quelle proposition explique correctement pourquoi l’écoulement turbulent retourne à un écoulement laminaire ?
- Dans les zones d’écoulement turbulent, l’énergie cinétique du fluide est dissipée par frottement visqueux, ce qui réduit la vitesse moyenne du fluide. Lorsque le liquide ralentit, il devient moins turbulent.
- Dans la zone de turbulence, le liquide en écoulement se dilate. Puis en sortie de la zone de turbulence, le fluide se comprime.
- La viscosité dynamique du liquide augmente dans la zone turbulente. La viscosité du fluide diminue en sortie de la zone turbulente.
Réponse
La viscosité d’un liquide ne varie pas avec la vitesse d’écoulement d’un fluide. La proposition C peut donc être écartée.
Les liquides sont fortement incompressibles. La proportion par laquelle ils peuvent être comprimés peut être négligée dans la plupart des cas, y compris les transitions entre l’écoulement laminaire et l’écoulement turbulent. La proposition A peut donc être écartée.
On peut rappeler que la friction est une force dissipative. Pour un fluide amené à se déplacer par une force constante exercée par une plaque, ce fluide atteindra une vitesse d’écoulement d’équilibre bien que la force reste constante, plutôt que d’accélérer sans limite. Ainsi, on peut dire que les frottements visqueux dissipent l’énergie des fluides en circulation.
Dans des fluides à écoulement turbulent, le mélange des couches de fluides à différentes vitesses engendre un frottement visqueux plus important entre les couches qui se mélangent que dans un écoulement laminaire.
La dissipation d’énergie par le fluide turbulent réduit les vitesses d’écoulement des couches. Au fur et à mesure que les couches s’écoulent de plus en plus lentement, elles exercent moins de force de frottement l’une sur l’autre, ce qui réduit la turbulence produite par ces forces.
On peut alors conclure que la proposition A est la bonne réponse.
Résumons à présent ce que l’on a appris dans cette fiche explicative.
Points Clés
- Un fluide ayant un écoulement laminaire peut être modélisé comme étant constitué de couches parallèles qui exercent des forces de frottement visqueux les unes sur les autres.
- Les forces de frottement visqueux dissipent l’énergie d’un fluide qui s’écoule.
- Un fluide dont l’écoulement est généré par une force constante appliquée sur une plaque mobile en contact avec la surface du fluide a une viscosité dynamique, , donnée par où est la force constante exercée sur la plaque, est l’aire de la plaque, est la hauteur d’une couche fluide, et est la différence de vitesse d’écoulement entre des couches de fluide adjacentes.
- La viscosité dynamique est exprimée en pascals-secondes (Pa⋅s).
- La valeur standard de la viscosité dynamique de l’eau est de .
- Un frottement visqueux entre des couches de fluide peut provoquer un mélange turbulent de ces couches.
- La dissipation de l’énergie d’un fluide en écoulement turbulent tend à restaurer le flux laminaire du fluide.
