Le portail a été désactivé. Veuillez contacter l'administrateur de votre portail.

Vidéo de la leçon : Écoulement laminaire et turbulent de fluides visqueux Physique

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à modéliser le mouvement de liquides visqueux pouvant avoir un écoulement laminaire uniforme ou un écoulement turbulent non uniforme.

16:49

Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, notre sujet est l’écoulement laminaire et turbulent de fluides visqueux. Pour avoir une idée de ce dont il s’agit, on peut réfléchir à cette question toute bête. Et si les piscines étaient remplies de miel, au lieu d’être remplies d’eau ? En plus d’être collant et sucré, le miel est aussi beaucoup plus épais que l’eau. Ceci nous donne déjà une idée de ce que cela veut dire lorsque l’on qualifie un fluide comme étant visqueux. À présent, à titre de rappel, précisons que le terme « fluide » désigne tout matériau qui s’écoule. Ainsi, un fluide peut être un gaz ou un liquide. Partant de cela, on peut dire qu’un fluide visqueux, et on verra plus précisément ce terme dans un instant, doit également être un gaz ou un liquide.

Pour comprendre ce qu’est un fluide visqueux, c’est-à-dire un fluide dont la viscosité est élevée, revenons aux deux liquides mentionnés sur l’écran d’ouverture, l’eau et le miel. On sait par expérience que si on verse de l’eau dans un récipient, elle va s’écouler très facilement. En revanche, le débit du miel sera beaucoup plus lent. Il est plus difficile de verser du miel que de l’eau, et la vitesse à laquelle ce liquide se déplace est beaucoup plus lente. Lorsqu’un fluide est relativement épais et plus difficile à déplacer, on dit alors que ce fluide est visqueux. Le miel en est un exemple, tout comme les huiles de cuisson, comme l’huile de tournesol ou l’huile d’olive. Et pour tous les fluides visqueux, on constate que ceux-ci ont un écoulement lent à cause de nombreux frottements internes dans le fluide.

Ceci est un point absolument essentiel pour comprendre le terme de viscosité. Décrire dans quelle mesure un fluide est visqueux, revient à quantifier les frottements internes se produisant entre les couches de ce fluide lorsqu’il s’écoule. Par ailleurs, ce concept de frottement entre les couches du fluide est quelque chose que l’on peut tout-à-fait observer lorsque, par exemple, on vide le miel d’un récipient. Si on pouvait voir à travers les parois du récipient contenant le miel, alors en vidant le récipient, on observerait une fine couche de miel qui resterait collée sur les parois intérieures du récipient et ne s’écoulerait pas. Et on pourrait également observer que le miel qui s’écoule par le bec du récipient provient généralement de la région proche du centre du récipient, où il n’est pas en contact avec les parois.

Tout cela pour dire que les fluides se déplacent en couches. Et pour un fluide visqueux comme le miel, on observe que la vitesse de déplacement de ces couches est différente. Pour se faire une meilleure idée, imaginons que l’on ait ici un tube et que du miel s’écoule à travers ce tube. On suppose que le miel se déplace de gauche à droite et que ces lignes représentent les différentes couches du miel dans le tube. Au fur et à mesure que ce fluide visqueux se déplace, une friction se produit entre les différentes couches, et cette friction a pour effet de ralentir le débit de ce fluide.

À présent, regardons de plus près les parois de ce tube, c’est-à-dire ces lignes bleues que l’on a tracées. On sait que les parois sont fixes. Elles ne sont pas en mouvement. A cause des forces de frottement entre ces parois et les couches de miel avec lesquelles elles sont en contact. Ces couches, que l’on peut appeler les couches externes du miel, ont tendance à se déplacer à une vitesse correspondante à la vitesse des parois avec lesquels elles sont en contact. Ensuite, regardons les deux couches situées plus à l’intérieur des couches externes. Il existe également un frottement entre ces deux couches, ce qui a pour effet de ralentir les couches internes. Et ce phénomène se poursuit au fur et à mesure que l’on se déplace vers le centre de l’écoulement.

C’est-à-dire que si l’on représentait graphiquement les vitesses de chacune de ces différentes couches, elles ressembleraient à ceci. Le fluide au centre du tube se déplace le plus rapidement. Mais au fur et à mesure qu’on se rapproche des parois du tube, la vitesse diminue. Et pour finir, alors qu’on touche les parois de ce tube, cette vitesse devient nulle. Un tel profil de vitesse est une caractéristique d’un fluide visqueux. Lorsque la vitesse d’un fluide s’écoulant à travers un tube varie comme celle-ci, on constate bien les effets provoqués par les frottements entre les couches du fluide. Cependant, si ceci décrit un fluide visqueux, qu’en est-il d’un fluide non visqueux ? En d’autres termes, que se passerait-il si on avait le même type de tube stationnaire traversé de gauche à droite par un fluide, mais avec, cette fois-ci, peu ou pas de frottement entre les couches du fluide ?

Et bien, s’il n’y avait absolument aucun frottement, alors on aurait ici un cas idéal de fluide non visqueux. Mais si c’était le cas, alors voici à quoi ressemblerait le profil de vitesse des couches. Elles auraient toutes la même vitesse, quelle que soit leur position et leur distance par rapport à la paroi du tube. Dans cette comparaison entre fluides non visqueux et visqueux, on peut toutefois garder à l’esprit qu’aucun fluide réel n’est parfaitement visqueux ou parfaitement non visqueux. En réalité, les fluides se situent entre les deux extrêmes d’une échelle qui varie de complètement visqueux à complètement non visqueux. Et d’ailleurs, il existe un test que l’on peut réaliser sur un fluide pour déterminer sa position sur cette échelle. On peut quantifier son degré de viscosité.

On qualifie cela de viscosité dynamique, parfois appelée simplement viscosité pour faire court, représentée par la lettre grecque 𝜇. Admettons que l’on ait un échantillon de fluide dont on souhaite déterminer le degré de viscosité – autrement dit, on cherche à mesurer 𝜇 - voici alors comment faire. On va d’abord mettre deux plaques d’un matériau solide de part et d’autre du fluide que l’on souhaite tester, qui se retrouve alors pris en sandwich. En général, dans ce test, on fait en sorte que la plaque inférieure reste immobile. En revanche, une force d’une intensité connue est exercée sur la plaque supérieure, on appellera cette force agissant selon cette direction 𝐹 . Cette force pousse la plaque de sorte qu’elle glisse le long du fluide.

Ainsi, sous l’effet de la force qui est exercée sur la plaque, celle-ci va alors gagner de la vitesse. On appellera cette vitesse 𝑣. Et puis, comme vu précédemment, si on représente les couches de ce fluide situées entre les plaques, on peut dire que notre plaque supérieure, qui est en mouvement, va influencer le mouvement de la couche de fluide avec laquelle elle est en contact. Ceci s’explique par le frottement existant entre la plaque et cette couche, ainsi, la vitesse de cette couche de fluide étant en contact avec la plaque supérieure va tendre à s’aligner avec la vitesse de la plaque. La valeur finale de sa vitesse ne correspondra pas tout-à-fait à celle de la plaque, mais son vecteur vitesse va ressembler à ceci, c’est-à-dire qu’il se déplace selon la même direction que la plaque supérieure, mais à une vitesse légèrement inférieure.

À présent, cette couche supérieure de fluide va, par frottement, influencer le mouvement de la couche située en dessous. Et cette couche gagnera de la vitesse, ce que l’on peut illustrer en traçant son vecteur vitesse comme ceci. Au fur et à mesure que l’on pénètre à travers les couches de notre fluide, le même phénomène se répète. Les couches supérieures se déplaçant plus rapidement influencent les couches inférieures par frottement, de sorte que les vitesses de chacune des couches du fluide varient de la façon suivante. Lorsque l’on atteint enfin la couche qui est en contact avec la plaque inférieure immobile, on peut s’attendre à ce que cette couche soit immobile, tout comme lorsque l’on s’attendait à ce que la vitesse de notre couche située à l’extrémité supérieure du fluide, celle en contact avec la plaque supérieure, ait une vitesse correspondant effectivement à la vitesse de cette plaque.

On se retrouve donc avec cette variation progressive des vitesses des différentes couches de notre fluide. Et la couche la plus rapide, comme on l’a dit, a une vitesse 𝑣. Ici, afin de calculer la viscosité dynamique 𝜇 de ce fluide en test, en plus de la force 𝐹 que l’on applique à la plaque et du changement de vitesse connu à travers les couches de notre fluide. Il y a deux autres paramètres que l’on doit connaître. Le premier est l’aire 𝐴 de la plaque qui est en contact avec le fluide. Plus cette surface est grande, plus il y aura de frottement entre la plaque et la couche fluide. Et l’autre paramètre est simplement l’extension verticale du fluide entre les plaques. Elle a également un effet sur la viscosité dynamique mesurée. Et cette viscosité est égale à 𝐹 divisée par 𝐴 fois 𝑦 divisée par 𝑣.

Ainsi, la viscosité dynamique de notre fluide 𝜇 est égale à la force appliquée à la plaque supérieure divisée par l’aire de cette plaque multipliée par la hauteur de notre fluide, c’est-à-dire son extension verticale entre les deux plaques, divisée par la variation de la vitesse du fluide. On peut dire que la variation totale de la vitesse passe de zéro à 𝑣. Ou bien, en supposant que la variation de la vitesse est uniforme d’une couche à l’autre, on pourrait donc seulement prendre en compte la variation de vitesse entre des couches adjacentes. Quelle que soit la façon de faire, il est courant d’utiliser Δ𝑣 au lieu de 𝑣 dans l’équation pour montrer que l’on considère une variation de vitesse. De la même manière, pour indiquer que la hauteur de fluide considérée est en réalité une variation de hauteur, on peut l’écrire Δ𝑦. Voici donc la forme de l’équation que l’on va utiliser pour calculer la viscosité dynamique d’un fluide.

Comme on l’a dit précédemment, ceci permet de quantifier la viscosité ou la résistance à l’écoulement d’un fluide. Maintenant qu’on a parlé des fluides, de la viscosité et de comment la calculer. On peut à présent passer aux deux types d’écoulement d’un fluide comme indiqué dans le sujet de cette leçon : laminaire et turbulent. Ici encore, il y a certains termes qu’il nous faut définir. Un moyen utile permettant de comprendre l’écoulement laminaire et turbulent consiste à regarder de près les couches d’un fluide lorsqu’il s’écoule.

Supposons que, comme précédemment, on regarde depuis le côté à travers un tube qui contient une certaine quantité de fluide. On peut modéliser le fluide comme ayant différentes couches, certaines proches des parois du tube et certaines plus éloignées. Et en supposant que ce fluide est un fluide réel - c’est-à-dire qu’il n’est pas idéal - il aura donc une viscosité dynamique non nulle. En d’autres termes, il y aura un certain frottement entre les couches internes du fluide et les couches du fluide en contact avec les parois du tube. Ce frottement peut être minime. Elle peut être suffisamment petite pour que, dans l’ensemble, les couches de fluide se déplacent librement.

Ainsi, le fluide contenu dans ces couches circule sans se mélanger. C’est-à-dire que le fluide dans une couche, disons celle-ci ici, ne traverse pas les frontières entre cette couche et celles situées au-dessus et en-dessous. Pour vérifier cela en pratique, on peut utiliser une pipette pour déposer un peu de colorant dans le fluide à un instant donné. Si ce colorant se déplace tout en restant dans la couche où il a été introduit, alors on peut déduire que les couches du fluide ne se mélangent pas. Ceci est la définition d’un écoulement laminaire. Ainsi, lorsque l’écoulement est laminaire, si on injecte un marqueur coloré dans le flux à un endroit donné, ce marqueur restera compris dans la couche du fluide où il a été introduit. Ceci s’oppose au fonctionnement d’un écoulement turbulent.

Dans ce cas, le frottement entre les couches adjacentes d’un fluide est suffisamment forte pour qu’elles se mélangent. Et donc, si on suit le déplacement d’un marqueur coloré injecté dans une couche donnée, lorsqu’il celui-ci va circuler, il va se déplacer à travers plusieurs autres couches du fluide. L’écoulement régulier et uniforme du fluide a été perturbé. Ceci définit ce qu’est une turbulence. Toutefois, il convient de souligner que des écoulements laminaires et turbulents peuvent se produire pour tout fluide ayant une quelconque viscosité dynamique 𝜇. Pour faire référence aux deux fluides étudiés précédemment, l’eau et le miel, on peut dire que l’eau a une viscosité dynamique relativement faible, alors que celle du miel est assez élevée. Et pourtant, ces deux fluides, dans des conditions adéquates, peuvent s’écouler de manière laminaire ou turbulente.

Cela dit, il existe une relation mathématique entre la viscosité dynamique 𝜇 et la turbulence d’un fluide. La turbulence d’un écoulement de fluide peut être mesurée quantitativement, en utilisant ce qu’on appelle le nombre de Reynolds. Le nombre de Reynolds de l’écoulement d’un fluide est généralement abrégé comme ceci : R majuscule, e minuscule. On ne verra pas ici l’équation de Reynolds en détail, mais on peut toutefois établir qu’il existe une relation entre ce nombre, qui mesure la turbulence d’un écoulement, et la viscosité dynamique 𝜇 du fluide dans cet écoulement. Il s’avère que le nombre de Reynolds d’un écoulement - c’est-à-dire la mesure de la turbulence, pour laquelle un nombre de Reynolds plus élevé indique une turbulence plus forte - est proportionnel à un sur la viscosité dynamique du fluide.

Cela signifie donc que lorsque la viscosité dynamique diminue, c’est-à-dire que le fluide devient moins visqueux, le nombre de Reynolds du fluide en écoulement augmente. C’est-à-dire que la probabilité que l’écoulement soit turbulent augmente. D’autre part, de façon opposée, lorsque la viscosité dynamique d’un fluide augmente, le nombre de Reynolds diminue. Ceci est donc très intéressant. En effet, un fluide plus visqueux, comme le miel, qui est plus visqueux que l’eau, aura un nombre de Reynolds plus petit et sera donc moins susceptible de s’écouler de manière turbulente. C’est-à-dire que ses différentes couches de fluide seront moins susceptibles de se mélanger les unes aux autres lors de son écoulement.

On peut s’attendre à ce que le contraire soit également vrai, c’est-à-dire que pour un fluide ayant une faible viscosité dynamique et présentant donc moins de frottement entre ses couches, on peut supposer que ses couches se mélangeront plus difficilement. Mais en réalité, c’est l’inverse : les couches vont se mélanger plus facilement Le frottement aide à maintenir les frontières entre les couches. Et c’est pourquoi les fluides moins épais - c’est-à-dire les fluides à plus faible viscosité comme l’eau, comparée au miel - sont plus susceptibles d’avoir des nombres de Reynolds plus élevés, ce qui signifie qu’ils sont plus susceptibles de s’écouler de manière turbulente. Sachant cela, intéressons-nous maintenant à un bref exemple.

Un fluide non visqueux d’un certain volume est contenu entre deux plaques horizontales parallèles, comme l’illustre la figure. La plaque au-dessus du fluide se déplace horizontalement à une vitesse 𝑣 un. Les couches horizontales du fluide se déplacent à des vitesses allant de 𝑣 deux à 𝑣 six. Lequel des énoncés suivants décrit correctement la relation entre les vitesses des couches ?

Avant d’étudier les différentes réponses proposées, regardons d’abord la figure, qui nous montre une plaque stationnaire séparée d’une plaque mobile par cinq couches de fluide. On nous montre également que la plaque mobile a une vitesse 𝑣 un, tandis que la couche une du fluide a une vitesse 𝑣 deux, la couche deux a une vitesse 𝑣 trois, et ainsi de suite jusqu’à la couche cinq ayant une vitesse 𝑣 six. On cherche à établir la relation entre les vitesses de ces différentes couches. Et n’oublions pas que le fluide que l’on a ici est non visqueux. Un fluide non visqueux est un cas idéal où il n’y a pas de frottement entre les couches du fluide.

Cela signifie que la couche une n’exerce aucune force de frottement sur la couche deux, qui elle-même n’exerce aucune force de frottement sur la couche trois et ainsi de suite à travers toutes les couches fluides. Ceci dit, on cherche à déterminer ici la relation entre les vitesses des différentes couches, soit, 𝑣 deux, 𝑣 trois, 𝑣 quatre, 𝑣 cinq et 𝑣 six. Bien, regardons maintenant les choix de réponse.

La proposition (a) dit que 𝑣 deux est supérieur à 𝑣 trois, qui est supérieur à 𝑣 quatre, qui est supérieur à 𝑣 cinq, qui est supérieur à 𝑣 six. La proposition (b) dit que 𝑣 six est supérieur à 𝑣 cinq, qui est supérieur à 𝑣 quatre, qui est supérieur à 𝑣 trois, qui est supérieur à 𝑣 deux. La proposition (c) dit que 𝑣 quatre est supérieur à 𝑣 cinq, 𝑣 cinq est égal à 𝑣 deux, 𝑣 six est égal à 𝑣 un et 𝑣 trois est supérieur à 𝑣 deux, puis la proposition (d) dit que 𝑣 quatre est inférieur à 𝑣 cinq, 𝑣 cinq est égal à 𝑣 deux, 𝑣 six est égal à 𝑣 un et 𝑣 trois est inférieur à 𝑣 deux. Enfin, la proposition (e) dit que les vitesses de toutes les couches sont égales.

Ici, ce qui est important, comme on l’a dit précédemment, c’est que l’on a un fluide non visqueux. C’est-à-dire que les couches du fluide n’exercent pas d’influence l’une sur l’autre par frottement. Et cela signifie qu’il est impossible pour l’une de ces couches de se déplacer d’une façon différente des autres couches. Pour mieux comprendre cela, on va choisir une couche, par exemple la couche deux et on va supposer que cette couche se déplace de gauche à droite plus rapidement que les couches une et trois. Si tel était le cas, si les vitesses de ces couches étaient inégales, alors la couche deux exercerait une force de frottement sur les couches une et trois. Ceci serait dû au fait que les molécules de cette couche du fluide se déplacent plus rapidement. Mais puisque que notre fluide est non visqueux, cela ne peut pas être le cas.

Aucune des couches n’exerce une force de frottement sur autre couche, donc, au lieu d’envisager ce fluide comme étant composé de cinq couches distinctes, on peut en fait considérer qu’il n’est constitué que d’une seule couche. Tout l’ensemble se déplace de la même façon et exactement à la même vitesse. Par conséquent, quelle que soit la vitesse de la couche une, par exemple, si elle vaut 𝑣 deux, elle doit être égale à la vitesse de la couche deux et à la vitesse de la couche trois, quatre et cinq. On constate que parmi les choix de réponse, la proposition (e) affirme que toutes les couches se déplacent à la même vitesse. Ce qui doit être le cas pour un fluide non visqueux.

Résumons maintenant ce que l’on a appris sur les écoulements laminaires et turbulents de fluides visqueux. Dans cette leçon, on a vu que les fluides sont des matériaux qui s’écoulent ; ce sont des liquides et des gaz. Par ailleurs, on a appris que la viscosité est une mesure du frottement interne d’un fluide. De plus, on a définit le terme de viscosité dynamique. Il s’agit d’une mesure quantitative de la viscosité d’un fluide, et elle se calcule en étudiant la variation de la vitesse d’un fluide générée par les frottements entre les couches qui le compose.

Pour finir, on a étudié les différences entre les écoulements des fluides laminaires et turbulents. On a vu que dans les écoulements laminaires, les couches du fluide ne se mélangent pas, tandis que dans le cas d’un écoulement turbulent, les couches se mélangent. Le degré de turbulence de l’écoulement d’un fluide est donné par ce qu’on appelle le nombre de Reynolds. Et ce nombre, abrégé Re, est inversement proportionnel à la viscosité dynamique du fluide 𝜇. Ceci est un résumé de l’écoulement laminaire et turbulent de fluides visqueux.

Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site. En savoir plus sur notre Politique de Confidentialité.