Lesson Explainer: Représentations graphiques des fonctions logarithmiques Mathématiques • Second Year of Secondary School

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à tracer les courbes représentatives des fonctions logarithmiques de différentes bases et leurs transformations, et à connaître leurs différentes caractéristiques.

Commençons par rappeler la définition d’une fonction logarithmique.

Puisqu’une fonction logarithmique est la réciproque d’une fonction exponentielle, et que les courbes représentatives des fonctions réciproques sont les symétriques des courbes représentatives des fonctions par rapport à la droite d’équation , on peut donc tracer la courbe d’équation par symétrie d’une courbe représentant une fonction exponentielle.

Représentons la courbe d’équation , que nous pouvons aussi écrire sous la forme . Pour ce faire, nous commencerons par tracer la courbe représentative de .

On voit que la fonction exponentielle définie par a pour ensemble de définition et son ensemble image est . Sa courbe a pour asymptote l’axe des négatifs, et donc aucune partie de la courbe ne se situera au-dessous de l’axe des . Cela vient du fait qu’une puissance de 10 ne peut jamais être positive ou 0. La courbe coupe l’axe des en 1, car , et passe par le point , comme . De plus, notons que la fonction est croissante sur son ensemble de définition et lorsque tend vers l’infini, les images tendent également vers l’infini, car la base, 10, est supérieure à un.

Maintenant, nous pouvons tracer la droite d’équation ainsi que le symétrique de la courbe d’équation pour obtenir la courbe représentative de la fonction logarithmique d’équation (notée aussi, ).

Le symétrique du point d’intersection avec l’axe des , par rapport à la droite d’équation appartenant à la courbe représentative de la fonction exponentielle nous donne un point d’intersection avec l’axe des , appartenant à la courbe de la fonction logarithmique. On peut aussi construire le symétrique du point et remarquer que appartient à la courbe de la fonction logarithmique. De même, étant donné que la courbe de la fonction exponentielle a pour asymptote horizontale la partie négative de l’axe des , la courbe de la fonction logarithmique aura comme asymptote verticale la partie négative de l’axe des , ainsi aucune partie de la courbe ne se situera alors à gauche de l’axe des .

L’ensemble de définition d’une fonction et son ensemble image sont respectivement l’ensemble image et le domaine de définition de la fonction réciproque. Ainsi, la fonction logarithmique a pour ensemble de définition et pour ensemble image . C’est-à-dire que l’ensemble de définition de la fonction logarithmique est l’ensemble image de la fonction exponentielle et l’ensemble image de la fonction logarithmique est l’ensemble de définition de la fonction exponentielle. Enfin, comme la fonction exponentielle est une fonction croissante, sa réciproque sera également croissante.

Comme la courbe représentative d’une fonction exponentielle a des propriétés similaires si sa base est un nombre strictement supérieur à un, la courbe de la fonction logarithmique aura également une forme similaire. Ainsi, nous pouvons l’utiliser pour déterminer les propriétés des différentes fonctions logarithmiques de la forme , où .

Lorsque nous avons tracé la courbe de la fonction exponentielle, nous avons utilisé une base plus grande que 1, pour créer une fonction croissante. La base peut être aussi comprise entre 0 et 1, de sorte que la fonction exponentielle associée soit décroissante.

Traçons la courbe d’équation symétrique de la courbe d’équation . Nous allons commencer par tracer la courbe représentative d’équation .

La fonction exponentielle, d’expression , a pour ensemble de définition et pour ensemble image . Sa courbe représentative a pour asymptote l’axe des positifs, de plus, aucune partie de la courbe n’est situé au-dessous de l’axe des , car 0,5 élevé à une puissance ne peut jamais être négatif ou 0. La courbe a une intersection avec l’axe des qui vaut 1, car , et passe par le point , comme . Notons également que la fonction est décroissante sur son ensemble de définition, et lorsque tend vers l’infini par valeurs négatives, son image tend l’infini, car la base de la fonction exponentielle est comprise entre zéro et un.

On peut alors représenter le symétrique de cette courbe par rapport à la droite d’équation et obtenir la courbe d’équation .

En construisant les images du point d’intersection de la courbe avec l’axe des , et du point par symétrie par rapport à la droite d’équation on trouve le point d’intersection avec l’axe des , et le point . De même, étant donné que la courbe de la fonction exponentielle se situe au-dessus de l’axe des positifs, ce dernier est une asymptote horizontale de cette courbe, la courbe de la fonction logarithmique sera par conséquent située à la droite de l’axe des qui est ainsi une asymptote verticale.

Encore une fois, la fonction logarithmique a pour ensemble de définition et pour ensemble image . C’est-à-dire que l’ensemble de définition de la fonction logarithmique est l’ensemble image de la fonction exponentielle associée et l’ensemble image de la fonction logarithmique est l’ensemble de définition de cette fonction exponentielle. Enfin, comme est l’expression d’une fonction décroissante, sa fonction réciproque, , est également une fonction décroissante.

Comme la courbe de la fonction exponentielle aura des propriétés équivalentes si sa base est un nombre quelconque entre zéro et un, la courbe de la fonction logarithmique aura également une forme similaire. Ainsi, nous pouvons l’utiliser pour déterminer les propriétés des différentes fonctions logarithmiques de la forme , où et .

Cela nous donne suffisamment d’informations pour utiliser les propriétés des fonctions réciproques et ainsi pour tracer les courbes représentatives d’équations pour toute valeur positive de différente de un. Voyons quelques exemples.

Exemple 1: Déterminer les images par une fonction logarithmique

Déterminez les valeurs manquantes de .

		1	2

Réponse

Il serait possible de saisir simplement les valeurs de dans une calculatrice pour trouver dans chaque cas, mais nous utiliserons plutôt la relation réciproque entre les fonctions logarithmes et les fonctions exponentielle pour répondre à cette question.

Pour la fonction logarithmique définie par , la fonction exponentielle réciproque est . Si le point appartient la courbe de la fonction logarithmique, alors le point appartient à la courbe de la fonction exponentielle. Si on pose , on peut dire que  ; alors on peut aussi dire . Maintenant, nous recherchons des valeurs de qui vérifient cette deuxième équation pour les valeurs de données.

D’abord, en prenant on a

Nous savons qu’il n’y a aucune puissance, à laquelle on peut élever la base d’une fonction exponentielle, qui va donner 0 ou un nombre négatif. Cela signifie que nous ne pouvons pas trouver une image par la fonction logarithmique en . Ainsi, est indéfini.

Ensuite, en remplaçant dans l’équation cela nous donne

Rappelons que tout nombre non nul élevé à la puissance 0 est égale à 1. En d’autres termes, puisque , il s’ensuit que . Ainsi, .

Enfin, en remplaçant dans l’équation cela nous donne

Rappelons qu’un nombre élevé à un exposant 1 est égal lui-même. En d’autres termes, puisque , il s’ensuit que . Ainsi, .

Par conséquent, après avoir rempli les valeurs manquantes dans le tableau, nous avons ce qui suit : 

		1	2
	Indéfini	0	1

Note

Bien que la question ne l’exige pas, nous pouvons tracer la courbe de la fonction logarithmique en représentant graphiquement la fonction exponentielle définie par puis la courbe symétrique par rapport à la droite d’équation . Cela vient du fait que les deux fonctions sont réciproques l’une de l’autre. Les deux courbes d’équations et sont représentées ci-dessous.

Nous pouvons voir que la courbe de la fonction logarithmique est en accord avec les réponses que nous avons trouvées.

Ensuite, nous allons traiter un problème dans lequel nous devons identifier la courbe représentative d’une fonction logarithmique pour une base donnée.

Exemple 2: Représentation graphique d’une fonction logarithmique de base donnée

Laquelle des représentations graphiques suivantes correspond à la fonction définie par  ? 

Réponse

La fonction définie par est une fonction logarithmique de la forme . Rappelons les caractéristiques suivantes pour les courbes de telles fonctions pour toute valeur de supérieure à 0, tel que  : 

• La courbe a pour asymptote l’axe des , avec aucune partie de la courbe se situant à gauche de l’axe des .
• La courbe coupe l’axe des en 1. Cela est dû au fait que , ou réciproquement, .
• La courbe passe par le point , comme . Ici, , donc cela signifie que la courbe passe par le point .
• Si , la fonction est croissante sur son ensemble de définition. Ici, , donc c’est le cas..

Nous pouvons voir que toutes les courbes données ont pour asymptote l’axe des , avec aucune partie se situant à gauche de l’axe des , et les fonctions représentées sont toutes strictement croissantes.

Cependant, une seule des courbes coupe l’axe des en 1 et passe par le point . La courbe représentative qui correspond à la fonction est la suivante : 

Nous allons maintenant identifier la courbe représentative d’une autre fonction logarithmique. Cette fois, toutes les courbes représentatives possibles seront tracées dans le même repère.

Exemple 3: Reconnaître la courbe représentative d’une fonction logarithmique donnée

Laquelle des courbes représentatives suivantes correspond à l’équation  ? 

Réponse

La courbe d’équation est la représentation graphique d’une fonction logarithmique de la forme . Rappelons les caractéristiques suivantes pour les courbes de telles fonctions pour toute valeur de supérieure à 0, telle que  : 

• La courbe a pour asymptote l’axe des , avec aucune partie de la courbe se situant à gauche de l’axe des .
• La courbe coupe l’axe des en 1. Cela est dû au fait que , ou réciproquement, .
• La courbe passe par le point , comme ou réciproquement, . Ici, comme , cela signifie que la courbe passe par le point .
• Si , la fonction représentée est croissante sur son ensemble de définition. Ici, , c’est donc le cas.

Nous pouvons voir que toutes les courbes données ont pour asymptote l’axe des avec aucune partie de la courbe se situant à gauche de l’axe des  ; de plus elles coupent toutes l’axe des en 1.

Cependant, seules deux des fonctions représentées sont croissantes sur leur ensemble de définition, et une seule des deux courbes correspondantes passe par le point . La courbe représentative qui correspond a est donc la (a).

Nous ne travaillerons pas toujours uniquement avec les fonctions logarithmiques ; parfois, nous étudierons des fonctions composées. En nous rappelant des transformations de fonctions, nous pouvons transformer la courbe d’une fonction logarithmique par translation, dilatation et symétrie axiale. Chacune de ces transformations possède un effet différent sur la courbe représentative. Regardons les courbes représentatives obtenues après quelques transformations avec la fonction définie par .

Nous allons commencer par observer les courbes représentatives de quand et quand . Rappelons que ce sont des translations horizontales de la courbe représentative de la fonction définie par .

Quand , nous avons une translation de la courbe d’équation de 2 unités vers la gauche. Cela translate également l’asymptote verticale et l’intersection avec l’axe des de 2 unités vers la gauche. Rappelons que la base du logarithme est 10, donc la courbe d’équation passe par le point , et ce point aussi est translaté de 2 unités vers la gauche. Notez que cette translation a également changé l’ensemble de définition de à , tandis que l’ensemble image reste inchangé.

Quand , nous avons une translation de la courbe d’équation de 2 unités vers la droite. Cela translate également l’asymptote verticale, l’intersection avec l’axe des et le point de 2 unités vers la droite. Cela change l’ensemble de définition de à , tandis que l’ensemble image reste inchangé.

Ces propriétés sont généralisées aux translations horizontales des fonctions logarithmiques de la forme , où . Il y a des cas analogues pour les translations horizontales où la valeur de la base du logarithme, , est telle que . Nous allons examiner brièvement les courbes des fonctions définies par quand et quand .

Quand , nous avons aussi une translation de la courbe d’équation de 2 unités vers la gauche. Cela translate également l’asymptote verticale et l’intersection avec l’axe des de 2 unités vers la gauche. La courbe d’équation passe par le point , et ce point est également translaté de 2 unités vers la gauche. Notez que cette translation a également changé l’ensemble de définition de à , tandis que l’ensemble image reste inchangé.

Quand , nous avons encore une fois une translation de la courbe d’équation , de l’asymptote verticale, de l’intersection avec l’axe des et du point de 2 unités vers la droite. Cela change l’ensemble de définition de à , tandis que l’ensemble image reste inchangé.

Ces propriétés sont généralisées aux translations horizontales des fonctions logarithmiques de la forme , où .

Considérons maintenant quelques translations verticales de la courbe de la fonction définie par . Nous allons observer les courbes représentatives de quand et quand .

Quand , la courbe d’équation est translatée de 2 unités vers le haut. L’asymptote verticale reste inchangée. L’ensemble de définition reste inchangé, tout comme l’ensemble image, .

Quand , la courbe d’équation est translatée de 2 unités vers le bas. L’asymptote verticale reste inchangée. L’ensemble de définition reste inchangé, tout comme l’ensemble image, .

Ces propriétés se généralisent aux translations verticales pour les courbes des fonctions logarithmiques de la forme , où . Une fois de plus, certains cas sont analogues pour les translations verticales où la valeur de la base du logarithme, , est telle que .

Regardons maintenant les représentations graphiques de quand et quand . Rappelons que ce sont des étirements verticaux de la fonction définie par , bien que certaines personnes parlent du premier cas comme d’une compression, car le facteur entraîne la compression de la courbe vers l’axe des .

Cette fois, les courbes mettent en évidence que lorsque est 2, nous avons une dilatation verticale de la courbe d’équation avec un facteur de 2, et que lorsque vaut 0,5, nous avons une dilatation verticale avec un facteur de 0,5.

Ces propriétés se généralisent aux dilatations verticales des fonctions logarithmiques de la forme , où , et il y a des cas analogues pour les dilatations verticales où la valeur de la base, , du logarithme, vérifie .

Il est également important de noter que si est négatif, la courbe est obtenue par symétrie par rapport à l’axe des . Nous pouvons le voir sur les courbes d’équations et représentées ci-dessous.

Enfin, regardons les courbes représentatives de le fonction définie par quand et quand . Rappelons que ce sont des étirements horizontaux de , bien que certaines personnes considèrent ce cas, où le facteur compris entre 0 et 1, comme une compression de la courbe vers l’axe des .

Sur le graphique on remarque que lorsque , on a un étirement horizontal de la courbe représentative de la fonction logarithmique avec un facteur de 0,5, et lorsque , nous avons un étirement horizontal avec un facteur de 2.

Ces propriétés se généralisent aux dilatations horizontales des fonctions logarithmes de la forme , où , et il y a des cas analogues pour les dilatations horizontales où la valeur de la base du logarithme, est telle que .

Il est également important de noter que si est négatif, la courbe subit une symétrie axiale par rapport à l’axe des . Nous pouvons le voir sur le graphique où sont représentées les courbes d’équations et ci-dessous.

On observe sur ce graphique que lorsque , nous avons un étirement horizontal de la courbe représentative de la fonction logarithmique avec un facteur de 0,5, mais la courbe est aussi symétrique par rapport à l’axe des . Quand , nous avons un étirement horizontal avec un facteur de 2, et encore une fois, la courbe est symétrique par rapport à l’axe des .

Ces propriétés se généralisent aux dilatations horizontales des fonctions logarithmiques de la forme , où , et il y a des cas analogues pour les dilatations horizontales où la valeur de la base du logarithme, vérifie .

Il convient également de noter à ce stade qu’avec des transformations de la forme de la fonction logarithmique , on peut réécrire l’expression de en utilisant les propriétés du produit des logarithmes si est positif : 

Comme est une constante, on peut poser et réécrire la fonction transformée comme

On peut donc dire

On rappelle que cela décrit une translation verticale de la fonction d’expression de unités. Tout comme l’étirement ou la compression horizontaux de la courbe représentative de la fonction logarithmique, une translation verticale garde l’ensemble de définition, l’ensemble image et l’asymptote verticale de la fonction inchangés, et la fonction est croissante sur tout son ensemble de définition, mais l’intersection avec l’axe des change. C’est une caractéristique de la fonction logarithmique que ces transformations soient équivalentes.

Maintenant, utilisons ces propriétés sur les fonctions logarithmiques transformées et leurs courbes pour résoudre d’autres problèmes.

Dans notre prochain problème, nous avons la courbe d’une fonction logarithmique et on nous demande de déterminer quelle est la fonction qui correspond à cette courbe. Nous verrons que nous pouvons utiliser la notion de transformations pour trouver la bonne réponse.

Exemple 4: Reconnaitre les différences entre les transformations des courbes représentatives des fonctions logarithmiques

Laquelle des fonctions suivantes correspond à la courbe représentative suivante ? 

Réponse

Nous pouvons observer que la courbe semble avoir la forme de celle d’une fonction logarithmique. Il y a une asymptote verticale en  ; aucune partie de la courbe n’est à gauche de l’asymptote ; et la fonction est croissante. L’ensemble de définition semble être et l’ensemble image semble être . En effet, en examinant les options données pour la réponse, on nous demande de déterminer quelle est la transformation d’une fonction logarithmique qui est représentée sur le graphique.

Si cette fonction était de la forme , avec et , alors la courbe couperait l’axe des en 1 et passerait par le point . Cependant, l’intersection avec l’axe des est en , donc on dirait qu’il s’agit d’une transformation d’une fonction logarithmique simple.

Du fait que l’asymptote verticale reste en , cela peut être l’une des transformations suivantes : 

• un étirement (ou une compression) horizontal de la forme auquel cas l’intersection avec l’axe serait en , et la courbe passerait par le point  ; 
• une translation verticale de la forme .

Cela ne pourrait pas être une translation horizontale, car cela changerait la position de l’asymptote verticale. Cela ne peut pas non plus être un étirement (ou une compression) vertical de la forme , car cela aurait toujours une intersection avec l’axe des en 1. Cependant, il est possible que la transformation soit une combinaison d’un étirement vertical avec soit un étirement horizontal, soit une translation verticale ou les deux. En regardant les données de la question, nous n’avons pas besoin de considérer de telles combinaisons de transformations.

La courbe qui nous a été donnée coupe l’axe des en et passe par le point . S’il s’agit d’un étirement horizontal de la forme puis, étant donné l’intersection, on peut dire que

Cela signifie que . De plus, en considérant l’abscisse quand , on peut dire que mais nous savons que , de sorte que nous pouvons remplacer cette valeur dans l’équation ci-dessus et réécrire pour trouver que .

Cela rendrait notre fonction logarithmique transformée, .

Cette fonction peut aussi être présentée comme une translation verticale, en utilisant les propriétés du produit des logarithmes : 

Une autre façon de présenter notre fonction logarithmique transformée est .

En regardant les courbes données, nous voyons que la fonction qui satisfait aux conditions est la A, d’expression, .

Enfin, regardons un exemple dans lequel nous devons déterminer les valeurs de plusieurs expressions logarithmiques à partir de la courbe représentative d’une fonction exponentielle. Nous devrons garder à l’esprit que toute fonction logarithmique est la réciproque d’une fonction exponentielle.

Exemple 5: Déterminer les valeurs d’un logarithme à l’aide d’un graphique

Utilisez la courbe d’équation pour trouver les valeurs de pour au centième près. Par exemple, on lit que .

Réponse

On rappelle qu’une fonction logarithmique est la réciproque d’une fonction exponentielle. Si le point appartient à la courbe représentative de la fonction exponentielle, alors le point appartient à la courbe représentative de la fonction logarithmique. Cela signifie que comme on nous donne la courbe représentative de la fonction exponentielle d’expression , on doit lire la valeur obtenue sur l’axe des qui correspond à la valeur de dans l’expression et non pas sur l’axe des . (Rappelons que, dans l’expression , on suppose que la base est 10, et on peut l’écrire sous la forme ).

Par exemple, nous pouvons repérer le point de la courbe dont l’ordonnée est 2 puis trouver ensuite son abscisse d’une valeur d’environ 0,3 pour l’expression . De même, on trouve les valeurs approximatives de , , et .

Premièrement, on cherche la valeur de en plaçant sur la courbe le point ayant une ordonnée, qui vaut 3 et ensuite on lit son abscisse sur l’axe des .

Comme l’abscisse, vaut environ 0,48, on peut dire que c’est la valeur de au centième près.

Ensuite, trouvons la valeur approchée de en plaçant sur la courbe le point dont l’ordonnée, est 4 et puis on lit son abscisse, .

L’abscisse vaut environ 0,60, donc nous savons que c’est la valeur de au centième près.

Maintenant, nous allons trouver la valeur approchée de en plaçant sur la courbe le point dont l’ordonnée est 5 et ensuite, on lit son abscisse .

Comme l’abscisse vaut 0,70, nous savons que c’est la valeur de au centième près.

Enfin, trouvons la valeur approchée de en plaçant sur la courbe le point dont l’ordonnée vaut 6 puis en lisant son abscisse .

L’abscisse vaut 0,78, donc nous savons que c’est la valeur de au centième près.

En résumé, les valeurs de pour au centième près sont 0,30, 0,48, 0,60, 0,70 et 0,78.

Maintenant, terminons en récapitulant certains points clés de cette fiche explicative.