نسخة الفيديو النصية
في هذا الدرس سوف نتعلم كيف نعكس النقاط والأشكال حول خطوط الانعكاس المعطاة. يوجد العديد من الطرق المختلفة التي يمكننا استخدامها لتحويل جسم ما دون تغيير شكله أو حجمه. سنركز في هذا الفيديو على أحد هذه التحويلات. هذا التحويل يسمى الانعكاس.
يمكننا اعتبار الانعكاس صورًا معكوسة في مرآة. عندما ننظر إلى المرآة، يرى كل منا صورة افتراضية لنفسه وللأشياء المحيطة به، كما لو كنا على الجانب الآخر من المرآة. في الهندسة نعكس الأجسام حول خط انعكاس. نسمي ناتج الانعكاس صورة. من السمات المهمة للانعكاس أن الجسم الحقيقي وصورته يجب أن يقعا على المسافة نفسها من خط الانعكاس. يمكننا تجربة ذلك إذا ما اقتربنا من مرآة أو ابتعدنا عنها. سنرى أيضًا صورتنا المنعكسة تتحرك.
دعونا نفترض أننا نريد أن نعكس نقطة واحدة 𝐴 حول خط انعكاس لنحصل على صورة لها؛ وهي النقطة 𝐴 شرطة. وإذا فعلنا ذلك فسنلاحظ أن خط الانعكاس هو العمود المنصف للقطعة المستقيمة بين هاتين النقطتين. يمكننا الاستعانة بذلك لتعريف انعكاس أي جسم تعريفًا رياضيًّا أكثر. الانعكاس تحويل يحافظ على المسافات العمودية التي تفصل جميع النقاط عن خط الانعكاس.
والآن دعونا نلق نظرة على مثال يتناول كيفية تطبيق هذا التعريف لتحديد صورة الانعكاس.
عينت خمس نقاط على الشبكة الإحداثية الموضحة في الشكل. عند انعكاس النقطة 𝑃 حول الخط المتقطع، أي النقاط الأربع الأخرى تمثل صورتها؟ أ: النقطة 𝑄، ب: النقطة 𝑆، ج: النقطة 𝑇، د: النقطة 𝑅.
لعلنا نتذكر أن الانعكاس تحويل يحافظ على المسافات العمودية التي تفصل جميع النقاط عن خط الانعكاس. على وجه التحديد إذا افترضنا أن صورة النقطة 𝑃 هي النقطة 𝑃 شرطة، فهذا سيكون انعكاسها حول خط الانعكاس؛ بحيث يكون خط الانعكاس هو العمود المنصف للقطعة المستقيمة التي تصل بين هاتين النقطتين.
إذن يمكننا إيجاد صورة 𝑃 من خلال رسم خط عمودي على خط الانعكاس. إنه هذا الخط المتقطع في هذه الصورة. عندما نفعل ذلك نلاحظ أن هذا الخط العمودي يمر بالنقطة 𝑅. النقطة 𝑅 تبعد المسافة العمودية نفسها التي تبعدها النقطة 𝑃 عن الخط المتقطع تحديدًا. إذن الإجابة الصحيحة هي الخيار د. النقطة 𝑅 هي صورة النقطة 𝑃 المنعكسة حول الخط المتقطع.
جدير بالذكر أنه يمكننا تطبيق تعريف الانعكاس على أشكال هندسية لا على النقاط فقط. على سبيل المثال الخط المستقيم شكل هندسي يتكون من جميع النقاط التي تحقق دالة معينة. ومن ثم يمكننا أن نعكس هذه النقاط حول خط ما، وهذا سينتج عنه انعكاس للجسم. على وجه التحديد قد نعكس شكلًا عبر أن نعكس رءوسه كل على حدة، ثم نوصلها معًا. دعونا نوضح هذه الأفكار في المثالين الآتيين.
أي من الآتي يمثل صورة القطعة المستقيمة 𝐴𝐵 بعد الانعكاس حول المستقيم 𝐿؟
لعلنا نتذكر أنه يمكننا أن نعكس قطعة مستقيمة حول مستقيم عن طريق عكس نقطتي طرفيها. عندما نفعل ذلك ستبعد صورة كل نقطة بمقدار المسافة العمودية نفسها التي تبعدها النقطة الأصلية عن خط الانعكاس. دعونا نطبق ذلك على كل شكل إذن. عندما نفعل ذلك نلاحظ أن الخيارين ب، ج غير صحيحين دون شك. للوهلة الأولى قد يبدو الخيار د صحيحًا. ولكننا نلاحظ أن النقطتين الطرفيتين قد بدلتا موضعيهما. في الواقع الإجابة الصحيحة هي الخيار أ. هذا الشكل يمثل صورة القطعة المستقيمة 𝐴𝐵 بعد الانعكاس حول المستقيم 𝐿.
والآن دعونا نلق نظرة على مثال مشابه يتضمن مضلعًا.
أي من الآتي يمثل صورة المثلث 𝐴𝐵𝐶 بعد الانعكاس حول المستقيم 𝑀؟
لعلنا نتذكر أنه عندما نعكس نقطة واحدة، فإننا نحافظ على المسافة العمودية بين هذه النقطة وخط الانعكاس. هذا يعني أنه يمكننا أن نعكس مضلعًا عن طريق عكس كل رأس من رءوسه ثم توصيلها معًا. دعونا نأخذ الخيار أ مثالًا. إذا عكسنا الرأس 𝐵 حول خط الانعكاس، فسنلاحظ أن صورته لا تناظر الصورة الموجودة في المثلث الثاني. يتكرر الأمر نفسه في الشكل المعطى في الخيار ب.
ولكن عندما نعكس الرأس 𝐵 في الخيار ج، نجد أنه يناظر النقطة 𝐵 شرطة في المثلث الثاني. وعندما نعكس النقطة 𝐴 حول خط الانعكاس، نجد أنها تناظر النقطة 𝐴 شرطة في المثلث الثاني. وعندما نطبق العملية نفسها على النقطة 𝐶، نجد أن هذا المثلث الثاني يمثل انعكاسًا كاملًا حول خط الانعكاس. تجدر الإشارة إلى أنه في الخيار ب، يبدو المثلث وكأنه صحيح، ولكن الرءوس مرتبة ترتيبًا خطأ. إذن تأكدنا من أن الإجابة الصحيحة هي الخيار ج.
قبل أن نتناول مثالًا آخر، دعونا نسرد بعض الخواص المفيدة للانعكاس. أولًا، كما لاحظنا في المثال السابق، انعكاس قطعة مستقيمة تنتج عنه قطعة مستقيمة مطابقة لها. بعبارة أخرى: تنتج عنه قطعة مستقيمة أخرى لها الطول نفسه. ونعلم أيضًا أن خط الانعكاس هو العمود المنصف لأي قطعة مستقيمة تصل بين نقطة وصورتها. بالنظر إلى هاتين النقطتين نلاحظ أن انعكاس الشكل ينتج عنه شكل مطابق له. وبالأخص تظل قياسات الزوايا كما هي.
والآن دعونا نلق نظرة على كيفية تطبيق هذه الخواص لتحديد أطوال الأضلاع وقياسات الزوايا في مثلث.
في الشكل الآتي، المثلث 𝐴 شرطة 𝐵 شرطة 𝐶 شرطة صورة المثلث 𝐴𝐵𝐶 بعد انعكاسه حول المستقيم 𝐿. 1: املأ الفراغات. طول 𝐴 شرطة 𝐶 شرطة يساوي (فراغ) سنتيمتر، وطول 𝐴 شرطة 𝐵 شرطة يساوي (فراغ) سنتيمتر. 2: املأ الفراغات. القطعة المستقيمة 𝐴𝐴 شرطة (فراغ) القطعة المستقيمة 𝐵𝐵 شرطة، والقطعة المستقيمة 𝐶𝐶 شرطة (فراغ) المستقيم 𝐿. 3: أوجد قياس الزاوية 𝐴.
لعلنا نتذكر أننا عندما نعكس مضلعًا حول خط انعكاس، فإننا ننشئ بذلك مضلعًا آخر مطابقًا له. وهذا يعني أن المثلثين الموضحين في الشكل متطابقان. هذا بدوره يعني أن أطوال القطع المستقيمة بهما وقياسات زواياهما متساوية. تساعدنا هذه الحقيقة في الإجابة عن الجزء الأول من السؤال. القطعة المستقيمة 𝐴𝐶 تطابق القطعة المستقيمة 𝐴 شرطة 𝐶 شرطة. ومن ثم لا بد أنهما متساويتان في الطول. وبما أن طول القطعة المستقيمة 𝐴𝐶 يساوي أربعة سنتيمترات، فلا بد أن يساوي طول القطعة المستقيمة 𝐴 شرطة 𝐶 شرطة أربعة سنتيمترات أيضًا. إذن نضع العدد أربعة في الفراغ الأول.
بعد ذلك لا بد أن القطعة المستقيمة 𝐴𝐵 تطابق القطعة المستقيمة 𝐴 شرطة 𝐵 شرطة. ومن ثم فإن طول 𝐴 شرطة 𝐵 شرطة لا بد أن يساوي ستة سنتيمترات. وبناء على ذلك نضع ستة في الفراغ الثاني.
والآن دعونا نتناول الجزء الثاني من السؤال. أولًا نضيف القطعتين المستقيمتين 𝐴𝐴 شرطة، 𝐵𝐵 شرطة إلى الشكل. نعلم أن هاتين القطعتين المستقيمتين لا بد أن تكونا عموديتين على خط الانعكاس. إذا كانتا عموديتين على خط الانعكاس، يمكننا استنتاج بعض المعلومات الأخرى. من ضمن هذه المعلومات أن زواياهما المتبادلة متساوية، وأنهما متوازيتان. لإيجاد الكلمة المناسبة لملء الفراغ الثاني في الجزء الثاني من السؤال أضفنا هذه القطعة المستقيمة إلى الشكل. نعلم بالطبع أن 𝐶𝐶 شرطة عمودية على المستقيم 𝐿.
أخيرًا سنتناول الجزء الثالث من السؤال. لعلنا نتذكر أن هذين المثلثين متطابقان، وهو ما يعني أن قياسات زواياهما متساوية. وهذا يعني تحديدًا أن قياس الزاوية 𝐴 لا بد أن يساوي قياس الزاوية 𝐴 شرطة. قياس الزاوية 𝐴 شرطة يساوي 31 درجة؛ إذن قياس الزاوية 𝐴 يساوي 31 درجة أيضًا.
وبهذا نكون قد ملأنا الفراغات. المدخلات الصحيحة هي: أربعة، ستة، توازي، عمودية على، 31 درجة.
تجدر الإشارة هنا إلى أنه يمكننا أن نعكس أي شكل في خط عن طريق عكس جميع النقاط. هذا يشمل الدوائر التي نعكس مركزها دون أن نغير نصف قطرها.
يوضح الشكل دائرة مركزها 𝑀، وتتقاطع مع المستقيم 𝐿 عند النقطتين 𝐴، 𝐵، ارسم صورة للدائرة 𝑀 بعد الانعكاس حول المستقيم 𝐿. أي من الآتي صواب؟ الخيار أ: القطعة المستقيمة 𝐴𝑀 توازي القطعة المستقيمة 𝐴𝑀 شرطة. الخيار ب: القطعة المستقيمة 𝐵𝑀 توازي القطعة المستقيمة 𝐵𝑀 شرطة. الخيار ج: القطعة المستقيمة 𝑀𝑀 شرطة عمودية على القطعة المستقيمة 𝐴𝐵. الخيار د: 𝑀𝑀 شرطة تساوي 𝐴𝐵. الخيار هـ: 𝐴 شرطة 𝐵 شرطة أكبر من 𝐴𝐵.
لكي نعكس دائرة حول خط انعكاس، علينا أولًا أن نعكس مركزها دون أن نغير نصف قطرها. ولكي نعكس المركز، أي النقطة 𝑀، علينا أولًا أن نرسم الخط العمودي على المستقيم 𝐿 المار عبر النقطة 𝑀. بعد ذلك نعلم أن القطعة المستقيمة 𝑀𝐴 هي نصف قطر الدائرة الأصلية التي لدينا. ومن ثم يمكننا رسم قوس مركزه 𝐴 بنصف القطر نفسه. النقطة التي يتقاطع عندها هذا القوس مع المستقيم تمثل مركز الصورة. أصبحت لدينا الآن صورة الدائرة بعد الانعكاس. يمكننا استخدام هذه الصورة لتحديد العبارة الصحيحة.
لا يمكن أن تكون 𝐴𝑀، 𝐴𝑀 شرطة متوازيتين. من الواضح أنهما تلتقيان وتشكلان زاوية حادة. في الواقع لا يمكن أن تكون 𝐵𝑀، 𝐵𝑀 شرطة متوازيتين بأي حال أيضًا للأسباب نفسها. نعلم بطبيعة الحال أنه لا بد أن تكون 𝑀𝑀 شرطة عمودية على 𝐴𝐵. وذلك لأننا رسمنا الخط العمودي المنصف للمستقيم 𝐿 منذ البداية. المستقيم 𝐿 يمر عبر 𝐴𝐵. إذن الإجابة الصحيحة هي الخيار ج. القطعة المستقيمة 𝑀𝑀 شرطة عمودية على القطعة المستقيمة 𝐴𝐵.
والآن سنلخص النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الدرس. أولًا الانعكاس تحويل يحافظ على المسافات العمودية التي تفصل جميع النقاط عن خط الانعكاس. بعد ذلك تعلمنا أنه عندما نعكس نقطة حول خط انعكاس ثم نصل بين هاتين النقطتين، فإن خط الانعكاس سيكون المستقيم العمودي المنصف لتلك القطعة المستقيمة الجديدة.
عرفنا أنه يمكننا أن نعكس قطعة مستقيمة من خلال عكس نقطتي طرفيها كل على حدة. وعندما نعكس مضلعًا، فإننا نعكس رءوسه ونصل فيما بينها معًا. تعلمنا أنه عندما نعكس شكلًا، فإن صورته تأخذ نفس أطواله وزواياه. إذن صورته تتطابق في الواقع مع الشكل الأصلي. وأخيرًا تعلمنا أنه يمكننا أن نعكس دائرة عن طريق عكس مركزها دون تغيير نصف قطرها.
مصر
المملكة العربية السعودية
