فيديو الدرس: مساحة المعين الرياضيات • الصف الثاني الإعدادي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد مساحة معين باستخدام طولي قطريه. في البداية، نتذكر أن المعين هو أي شكل رباعي أضلاعه الأربعة متساوية في الطول. على سبيل المثال، المربع هو مثال على المعين، لكن ليس كل معين مربعًا. وذلك لأن الزوايا الداخلية ليست دائمًا زوايا قائمة. ومن ثم يمكن أن يبدو المعين بهذا الشكل أيضًا. وما دامت أضلاعه الأربعة متساوية في الطول، فهو معين.

بما أن المعين هو في الواقع حالة خاصة من متوازي الأضلاع، فإن مساحته يمكن حسابها من خلال طول قاعدته وارتفاعه العمودي باستخدام الصيغة التي تنص على أن المساحة تساوي القاعدة في الارتفاع، أو ‪𝑏ℎ‬‏. لكن ما سنتناوله في هذا الفيديو ونتدرب عليه هو استخدام طريقة أخرى لإيجاد مساحة المعين باستخدام طولي قطريه. ها هو معين أسمينا رءوسه ﺃ وﺏ وﺟ وﺩ. يمكننا إضافة قطري المعين، وهما القطعتان المستقيمتان اللتان تصلان كل ركنين متقابلين معًا. لذا فإن القطرين هما القطعتان المستقيمتان ﺃﺟ وﺏﺩ.

هناك خاصية أساسية تنطبق على جميع متوازيات الأضلاع، ومن ثم تنطبق على المعينات بالتحديد، وهي أن القطرين ينصف كل منهما الآخر. إذن، في الشكل الذي أمامنا، طول ﺃﻫ يساوي طول ﻫﺟ، وطول ﺩﻫ يساوي طول ﻫﺏ. لكن هناك خاصية أساسية أخرى تنطبق على المعينات، ولا تنطبق بوجه عام على متوازيات الأضلاع الأخرى، وهي أن القطرين يتقاطعان أيضًا عند زوايا قائمة. كل قطر من القطرين يقسم المعين إلى مثلثين متطابقين.

دعونا نركز على القطر ﺏﺩ الذي يقسم المعين إلى المثلثين ﺃﺏﺩ وﺟﺏﺩ. هذان المثلثان متطابقان؛ لأن في كل مثلث ضلعين هما في حد ذاتهما طولا ضلعين من المعين الأصلي. والمثلثان كلاهما لهما ضلع مشترك؛ وهو ﺏﺩ. إذن وفقًا لمسلمة التطابق بثلاثة أضلاع، فهما مثلثان متطابقان. وعليه فإن مساحة المعين تساوي ضعف مساحة كل مثلث على حدة. بالتركيز فقط على المثلث العلوي، يمكننا القول إن مساحة المعين ﺃﺏﺟﺩ تساوي ضعف مساحة المثلث ﺃﺏﺩ.

يمكننا الآن إيجاد مساحة المثلث باستخدام الصيغة التي تنص على أن المساحة تساوي القاعدة مضروبة في الارتفاع العمودي مقسومة على اثنين. القاعدة هي ﺏﺩ، والارتفاع العمودي هو ﺃﻫ. تذكر أننا قلنا إن قطري المعين متعامدان. إذن ﺃﻫ هو الارتفاع العمودي لهذا المثلث. لكن تذكر أننا قلنا أيضًا إن قطري المعين ينصف كل منهما الآخر. إذن طول ﺃﻫ يساوي نصف طول ﺃﺟ. وعليه فإن مساحة المثلث ﺃﺏﺩ تساوي ربع ﺏﺩ مضروبًا في ﺃﺟ. إذن مساحة المعين ﺃﺏﺟﺩ، التي تساوي ضعف مساحة المثلث ﺃﺏﺩ، تساوي اثنين في ربع في ﺏﺩ في ﺃﺟ، وهو ما يساوي نصف ﺏﺩ مضروبًا في ﺃﺟ.

إننا نعرف أن ﺏﺩ وﺃﺟ هما قطرا هذا المعين. بذلك نكون قد أوجدنا صيغة لحساب مساحة المعين باستخدام طولي قطريه. إنها تساوي نصف حاصل ضربهما. يمكننا إذن تعميم هذه النتيجة بأن نشير إلى طولي القطرين بالحرفين ﻕ واحد وﻕ اثنين. مساحة المعين الذي طولا قطريه هما ﻕ واحد وﻕ اثنان من الوحدات تساوي ﻕ واحد ﻕ اثنين على اثنين، ويمكننا التعبير عن ذلك بأن نقول إن مساحة المعين تساوي نصف حاصل ضرب طولي قطريه. سنتناول الآن بعض الأمثلة التي نطبق فيها هذه الصيغة.

يوضح الشكل معينًا داخل مستطيل. أوجد مساحة المعين لأقرب منزلتين عشريتين.

بالنظر إلى الشكل، نلاحظ أن كل رأس من رءوس المعين يقع عند نقطة منتصف أحد أضلاع المستطيل. وقد عرفنا ذلك لأن هذه العلامات تشير مثلًا إلى أن طول القطعة المستقيمة ﺃﺱ يساوي طول القطعة المستقيمة ﺱﺩ. ومن هذا المنطلق، يمكننا استنتاج أن كل قطر من قطري المعين، أي ﺱﻉ وﺹﻁ، يوازي ضلعًا من أضلاع المستطيل. ويساوي هذا الضلع أيضًا في الطول. إذن ﺱﻉ يساوي ١٥٫٨ سنتيمترًا، ﺹﻁ يساوي ٣٠٫٣ سنتيمترًا.

بعد ذلك، نعرف أن مساحة المعين تساوي نصف حاصل ضرب طولي قطريه. بفرض أن طولي القطرين هما ﻕ واحد وﻕ اثنان، حينئذ مساحة المعين تساوي ﻕ واحد مضروبًا في ﻕ اثنين على اثنين. إذن مساحة المعين ﺱﻁﻉﺹ تساوي طول ﺹﻁ مضروبًا في طول ﺱﻉ على اثنين. وهذا يساوي ٣٠٫٣ مضروبًا في ١٥٫٨ على اثنين، وهو ما يساوي ٢٩٣٫٣٧ سنتيمترًا مربعًا.

نعرف أن مساحة المستطيل ﺃﺏﺟﺩ تساوي طوله مضروبًا في عرضه. إذن مساحته تساوي ٣٠٫٣ مضروبًا في ١٥٫٨، ونلاحظ أنها تساوي ضعف مساحة المعين. نستنتج من ذلك نتيجة عامة، هي أن مساحة المعين المرسوم داخل مستطيل؛ بحيث يكون كل رأس من رءوس المعين عند نقطة منتصف أحد أضلاع المستطيل، تساوي نصف مساحة المستطيل المرسوم داخله.

دعونا نتناول الآن مثالًا آخر معلومة فيه مساحة معين والعلاقة بين قطريه، ومطلوب منا حساب طوليهما.

طول أحد قطري معين يساوي ضعف طول القطر الآخر. إذا كانت مساحة المعين تساوي ٨١ ﻣﻠﻠﻴﻤﺘﺮًا ﻣﺮﺑﻌﺎ، فما طولا القطرين؟

في هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد علاقة تربط بين مساحة المعين وطولي قطريه. نعرف أن مساحة المعين تساوي نصف حاصل ضرب طولي قطريه. إنها تساوي ﻕ واحدًا ﻕ اثنين على اثنين؛ حيث ﻕ واحد وﻕ اثنان هما طولا القطرين. لدينا مساحة هذا المعين التي تساوي ٨١ ملليمترًا مربعًا، لكن ليس لدينا طول أي من قطريه. لكننا نعلم أن طول أحد القطرين يساوي ضعف طول القطر الآخر. إذن يمكننا أن نفترض أن طول القطر ﻕ واحد يساوي ضعف طول القطر ﻕ اثنين.

بعد ذلك يمكننا تكوين معادلة. بالتعويض عن ﻕ واحد بالتعبير المساوي له بدلالة ﻕ اثنين والتعويض عن مساحة المعين بـ ٨١، نحصل على المعادلة‪:‬‏ اثنان ﻕ اثنان مضروبًا في ﻕ اثنين على اثنين يساوي ٨١. يلغى العدد اثنان في بسط هذا الكسر ومقامه. ويتبقى لدينا ﻕ اثنان مضروبًا في ﻕ اثنين، أو ﻕ اثنين تربيع، يساوي ٨١. لإيجاد قيمة ﻕ اثنين، نأخذ الجذر التربيعي لطرفي هذه المعادلة، مع أخذ القيمة الموجبة فقط؛ لأن ﻕ اثنين يمثل طولًا. إذن ﻕ اثنان يساوي موجب الجذر التربيعي لـ ٨١، وهو ما يساوي تسعة.

وبذلك نكون قد أوجدنا طول قطر واحد. ولإيجاد طول القطر الآخر، علينا مضاعفة هذه القيمة. ‏ﻕ واحد يساوي اثنين في تسعة، وهو ما يساوي ١٨. إذن من خلال معرفة أن مساحة المعين تساوي نصف حاصل ضرب طولي قطريه، التي استخدمناها لتكوين معادلة ثم حلها، وجدنا أن طولي قطري هذا المعين هما تسعة ملليمترات و١٨ ملليمترًا.

في المثال الآتي، سنحل مسألة تتضمن معينًا ومربعًا لهما نفس المساحة.

معين ومربع لهما نفس المساحة. إذا كان محيط المربع ٤٤، وطول أحد قطري المعين ١٠، فما طول القطر الآخر لأقرب منزلتين عشريتين؟

حسنًا، لدينا معين ومربع لهما نفس المساحة. ولدينا بعض المعطيات الأخرى عن كل شكل. أولًا، محيط المربع يساوي ٤٤ وحدة. ثانيًا، طول أحد قطري المعين يساوي ١٠ وحدات. وبما أننا نعلم أن مساحتي هذين الشكلين متساويتان، فلا بد أن هذه معلومة مهمة. لذا دعونا نبدأ بحساب مساحة المربع. نعلم أن مساحة المربع تساوي مربع طول ضلعه. بما أننا نعلم أن محيط هذا المربع يساوي ٤٤ وحدة، فإننا نعلم أن أربعة في طول الضلع يساوي ٤٤. وبقسمة طرفي هذه المعادلة على أربعة، نجد أن طول ضلع المربع يساوي ١١ وحدة. إذن مساحة المربع تساوي ١١ تربيع، أي ١٢١ وحدة مربعة.

نعلم الآن أن مساحة كل من المربع والمعين تساوي ١٢١ وحدة مربعة. ونريد استخدام هذه المعلومة مع الاستعانة بحقيقة أن طول أحد قطري المعين يساوي ١٠ وحدات لحساب طول القطر الآخر. نعرف أن مساحة المعين تساوي نصف حاصل ضرب طولي قطريه، أي ﻕ واحد ﻕ اثنين على اثنين. بما أننا نعلم بالفعل أن طول أحد القطرين يساوي ١٠ وحدات، والمساحة تساوي ١٢١ وحدة مربعة، فإن حاصل ضرب ١٠ في طول القطر الثاني على اثنين يساوي ١٢١. بالتبسيط، نجد أن خمسة مضروبًا في طول القطر الثاني يساوي ١٢١. وبقسمة طرفي هذه المعادلة على خمسة، نجد أن طول القطر الثاني يساوي ١٢١ على خمسة أو ٢٤٫٢ وحدة. لكن المطلوب منا هو تقريب الإجابة لأقرب منزلتين عشريتين، أي ٢٤٫٢٠ وحدة.

تضمن المثال الذي تناولناه الآن حساب مساحة المربع، وقد حسبناها من خلال تربيع طول ضلعه، وهي صيغة مألوفة منذ سنوات عديدة. لكن بما أن المربع ببساطة نوع خاص من المعين تكون فيه جميع الزوايا الداخلية قائمة، يمكننا أيضًا حساب مساحة المربع باستخدام الصيغة التي قدمناها في هذا الفيديو. وهي ﻕ واحد ﻕ اثنين على اثنين؛ حيث ﻕ واحد وﻕ اثنان هما طولا قطري المربع. لكن هناك أمرًا يميز المربع، وهو أن قطريه متساويان في الطول. لذا بدلًا من استخدام الحرفين ﻕ واحد وﻕ اثنين، يمكننا ببساطة استخدام الحرف ﻕ لتمثيل كليهما. وتصبح الصيغة أن مساحة المربع تساوي ﻕ تربيع على اثنين. يمكننا اعتبار هذه الصيغة نتيجة عامة. مساحة المربع تساوي نصف مربع طول قطره. دعونا نتناول الآن مثالًا نطبق فيه هذه الصيغة.

إذا كانت مساحة كل مربع برقعة الشطرنج الآتية ٨١ سنتيمترًا مربعًا، فأوجد طول قطر رقعة الشطرنج.

تتكون رقعة الشطرنج هذه من ٦٤ مربعًا متطابقًا مرتبة في ثمانية صفوف يتكون كل منها من ثمانية مربعات. ومن ثم فإن طول قطر رقعة الشطرنج الذي سنرمز إليه بـ ق واحد، يساوي ثمانية في طول قطر كل مربع على حدة، الذي سنرمز إليه بـ ق واحد. نعلم من المعطيات أن مساحة كل مربع على رقعة الشطرنج تساوي ٨١ سنتيمترًا مربعًا. ونسترجع أن مساحة المربع تساوي نصف مربع طول قطره، أي ﻕ تربيع على اثنين.

بدمج هاتين المعلومتين، يمكننا تكوين معادلة. وهي ق اثنين ب ق اثنين على اثنين يساوي ٨١. بضرب طرفي هذه المعادلة في اثنين، نجد أن ﻕ تربيع يساوي ١٦٢. وبأخذ الجذر التربيعي بعد ذلك، نجد أن ﻕ يساوي الجذر التربيعي لـ ١٦٢، وهو ما يساوي تسعة جذر اثنين في صورته المبسطة. وبذلك نكون قد أوجدنا طول قطر كل مربع من المربعات الصغيرة التي تتكون منها رقعة الشطرنج هذه.

لإيجاد طول قطر رقعة الشطرنج نفسها، علينا ضرب هذه القيمة في ثمانية. ‏ﺩ يساوي ثمانية مضروبًا في تسعة جذر اثنين، وهو ما يساوي بالقيمة الدقيقة ٧٢ جذر اثنين. ووحدة القياس هنا هي السنتيمتر. إذن من خلال معرفة أن مساحة المربع تساوي نصف مربع طول قطره، وجدنا أن القيمة الدقيقة لطول قطر رقعة الشطرنج هي ٧٢ جذر اثنين سنتيمتر.

دعونا نتناول الآن مثالًا أخيرًا سنطبق فيه الصيغتين اللتين ذكرناهما للمقارنة بين مساحتي المربع والمعين.

أوجد الفرق في المساحة بين مربع طول قطره ١٠ سنتيمترات ومعين طولا قطريه سنتيمتران و١٢ سنتيمترًا.

سنبدأ برسم الشكلين، على الرغم من أنه ليس أمرًا ضروريًّا لحل هذه المسألة. لدينا مربع طول قطره ١٠ سنتيمترات، ومعين طولا قطريه سنتيمتران و١٢ سنتيمترًا. بعد ذلك نسترجع كيفية إيجاد مساحة كل شكل من هذين الشكلين باستخدام أطوال أقطارهما. مساحة مربع طول قطره ﻕ من الوحدات هي ﻕ تربيع على اثنين. وهذا يعني أن المساحة تساوي نصف مربع طول القطر. إذن مساحة هذا المربع، الذي طول قطره ١٠ سنتيمترات، تساوي ١٠ تربيع على اثنين. وهذا يساوي ١٠٠ على اثنين، أي ٥٠ سنتيمترًا مربعًا.

من ناحية أخرى، مساحة المعين الذي طولا قطريه ﻕ واحد، ﻕ اثنين تساوي ﻕ واحد مضروبًا في ﻕ اثنين على اثنين. وهذا يعني نصف حاصل ضرب طولي قطريه. إذن مساحة هذا المعين، الذي طولا قطريه ١٢ سنتيمترًا وسنتيمتران، تساوي ١٢ مضروبًا في اثنين على اثنين، وهو ما يمكن تبسيطه إلى ١٢ سنتيمترًا مربعًا. لإيجاد الفرق في المساحة، نطرح مساحة الشكل الأصغر، أي المعين، من مساحة الشكل الأكبر، أي المربع، هذا يعطينا ٥٠ ناقص ١٢، وبهذا فإن الفرق في المساحة يساوي ٣٨ سنتيمترًا مربعًا.

دعونا نلخص الآن النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الفيديو. مساحة المعين تساوي نصف حاصل ضرب طولي قطريه. بفرض أن طولي هذين القطرين ﻕ واحد وﻕ اثنان من الوحدات، يمكننا التعبير عن مساحة المعين بأنها تساوي ﻕ واحدًا مضروبًا في ﻕ اثنين على اثنين. المربع نوع خاص من المعينات تكون فيه جميع الزوايا الداخلية قائمة، ويكون القطران متساويين في الطول. نتيجة لذلك، فإن مساحة المربع تساوي نصف مربع طول قطره. إذن مساحة المربع الذي طول أي من قطريه ﻕ من الوحدات تساوي ﻕ تربيع على اثنين. يمكننا استخدام هذه الصيغ لحل مجموعة متنوعة من المسائل المتعلقة بمساحات المعينات ومساحات المربعات.