نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نجمع المتجهات ونطرحها في بعدين. سنبدأ باسترجاع ما نعنيه بكلمة «متجه»، وتوضيح كيفية تمثيل المتجهات في المستوى الإحداثي.
المتجه كمية لها مقدار واتجاه. يمكن كتابة المتجه الثنائي الأبعاد على الصورة: ﺱﺱ زائد ﺹﺹ، أو باستخدام أقواس زاوية؛ ‹ﺱ، ﺹ›، أو على صورة متجه عمود؛ ﺱ ثم ﺹ. ويمكن تمثيل المتجهات في المستوى الإحداثي.
لنتناول المتجه أربعة، ثلاثة، أو أربعة ﺱ زائد ثلاثة ﺹ. لهذا المتجه المركبة ﺱ تساوي أربعة، إذن فهو يتحرك بمقدار أربع وحدات في اتجاه المحور ﺱ. وله المركبة ﺹ تساوي ثلاثة، إذن فهو يتحرك بمقدار ثلاث وحدات في اتجاه المحور ﺹ. بعد ذلك، يمكننا تمثيل المتجه في المستوى الإحداثي كما هو موضح. سيبدأ اتجاهه من نقطة الأصل، وسيكون معياره هو طوله. على الرغم من أن هذا ليس مطلوبًا في هذا الفيديو، فإننا يمكننا حساب معيار المتجه باستخدام نظرية فيثاغورس. أربعة تربيع زائد ثلاثة تربيع يساوي خمسة تربيع. وهذا يعني أن معيار المتجه يساوي خمسة.
سنتناول الآن ما يحدث عندما نريد جمع المتجهات وطرحها. لنفترض أننا نريد جمع المتجهين ﺃ وﺏ. يمكننا توضيح ذلك من خلال رسم المتجه ﺃ أولًا. وبعد ذلك، يمكننا رسم المتجه ﺏ بدءًا من نهاية هذا المتجه. سيبدأ المتجه ﺃ زائد ﺏ من بداية المتجه ﺃ حتى نهاية المتجه ﺏ. إذا كان المتجه ﺃ يساوي خمسة، اثنين، والمتجه ﺏ يساوي ثلاثة، سالب ثلاثة؛ فإنه يمكننا إيجاد المتجه ﺃ زائد ﺏ من خلال جمع قيمتي المركبتين المنفردتين كل على حدة. نجمع خمسة وثلاثة، ثم نجمع اثنين وسالب ثلاثة على حدة. وهذا يعني أن ﺃ زائد ﺏ سيساوي ثمانية، سالب واحد.
يمكننا إجراء عملية مماثلة عند طرح المتجهات. لإيجاد المتجه ﺃ ناقص ﺏ، سنطرح ثلاثة من خمسة، وسالب ثلاثة من اثنين. وهو ما سيعطينا المتجه اثنين، خمسة.
لنر كيف سيبدو ذلك عند رسمه. مرة أخرى، يمكننا البدء برسم المتجه ﺃ. نعلم من الرسم العلوي أن المتجه ﺏ يبدو كما هو موضح. وسيكون للمتجه سالب ﺏ نفس المعيار، ولكن في الاتجاه المعاكس. وهذا يعطينا المتجه ﺃ زائد سالب ﺏ، وهذا هو نفسه ﺃ ناقص ﺏ. سنتناول الآن بعض الأمثلة التي نحتاج فيها إلى جمع المتجهات وطرحها.
إذا كان المتجه ﺃ يساوي سالب خمسة ﺱ زائد ١٠ﺹ، والمتجه ﺏ يساوي سالب أربعة ﺱ ناقص خمسة ﺹ؛ حيث ﺱ وﺹ متجها وحدة متعامدان، فأوجد المتجه ﺃ ناقص المتجه ﺏ.
نتذكر أنه لجمع متجهين أو أكثر أو طرحهما، فإننا نجمع قيم المركبات المتناظرة أو نطرحها. في هذا السؤال، علينا طرح سالب أربعة ﺱ ناقص خمسة ﺹ من سالب خمسة ﺱ زائد ١٠ﺹ. إذن، يمكننا طرح قيمتي المركبتين ﺱ وﺹ كل على حدة. سالب خمسة ناقص سالب أربعة يساوي سالب واحد. لأن هذا يماثل سالب خمسة زائد أربعة.
بطرح سالب خمسة من ١٠ نحصل على ١٥ ؛ حيث إن هذا مرة أخرى يماثل إضافة خمسة إلى ١٠. ومن ثم، فإن المتجه ﺃ ناقص المتجه ﺏ يساوي سالب ﺱ زائد ١٥ﺹ.
في السؤال التالي، سيكون علينا إجراء عمليتي جمع وطرح على ثلاثة متجهات.
إذا كان المتجه ﺃ يساوي تسعة، خمسة، والمتجه ﺏ يساوي سالب ١٠، ثلاثة، والمتجه ﺟ يساوي سالب ثلاثة، ستة، فأوجد المتجه ﺃ زائد المتجه ﺏ ناقص المتجه ﺟ.
لجمع متجهين أو أكثر أو طرحهما، علينا جمع قيم المركبات المتناظرة أو طرحها. في هذا السؤال، لدينا تسعة، خمسة زائد سالب ١٠، ثلاثة ناقص سالب ثلاثة، ستة. إذا تناولنا قيم المركبة ﺱ، فإن لدينا تسعة زائد سالب ١٠ ناقص سالب ثلاثة، وإضافة سالب ١٠ إلى تسعة يماثل طرح ١٠ من تسعة. وبعد ذلك، علينا إضافة ثلاثة إلى هذا المقدار؛ حيث إن طرح سالب ثلاثة يماثل إضافة ثلاثة. تسعة ناقص ١٠ يساوي سالب واحد. وبإضافة ثلاثة يصبح الناتج اثنين. ومن ثم، فإن قيمة المركبة ﺱ للإجابة هي اثنان.
بعد ذلك، يمكننا تكرار ذلك مع قيم المركبة ﺹ. لدينا خمسة زائد ثلاثة ناقص ستة. هذا أيضًا يساوي اثنين.
المتجه ﺃ زائد ﺏ ناقص ﺟ يساوي اثنين، اثنين.
في السؤال التالي، علينا أيضًا ضرب المتجهات في أعداد ثابتة.
إذا كان المتجه ﺃ يساوي سالب واحد، اثنين، والمتجه ﺏ يساوي ثلاثة، سالب ستة، فأوجد ستة ﺃ زائد اثنين ﺏ.
في هذا السؤال، سنضرب المتجهين ﺃ وﺏ في عددين ثابتين. سنضرب المتجه ﺃ في ستة، وسنضرب المتجه ﺏ في اثنين. لضرب أي متجه في عدد ثابت، فإننا ببساطة نضرب قيمة كل مركبة في ذلك العدد الثابت. ستة مضروبًا في سالب واحد يساوي سالب ستة، وستة مضروبًا في اثنين يساوي ١٢. ومن ثم، فإن ستة ﺃ يساوي سالب ستة، ١٢.
علينا ضرب المتجه ﺏ في اثنين. اثنان مضروبًا في ثلاثة يساوي ستة، واثنان مضروبًا في سالب ستة يساوي سالب ١٢. ومن ثم، فإن اثنين ﺏ يساوي ستة، سالب ١٢.
علينا جمع هذين المتجهين. عند جمع متجهين أو طرحهما، فإننا ببساطة نجمع قيم المركبات المتناظرة أو نطرحها. في هذه الحالة، علينا جمع سالب ستة وستة، ثم جمع ١٢ وسالب ١٢ أيضًا. سالب ستة زائد ستة يساوي صفرًا، و ١٢ زائد سالب ١٢ يساوي صفرًا أيضًا. هذا يعني أن ستة ﺃ زائد اثنين ﺏ يساوي صفرًا، صفرًا. ناتج مجموع ستة مضروبًا في المتجه ﺃ واثنين مضروبًا في المتجه ﺏ يساوي صفرًا، صفرًا؛ أي نقطة الأصل.
في السؤال التالي، علينا إيجاد المتجه الذي يحقق المعادلة.
إذا كان المتجه ﺏ يساوي سالب تسعة، سالب ثلاثة، والمتجه ﺟ يساوي سالب أربعة، سالب اثنين، والمتجه ﺩ يساوي سالب اثنين، تسعة، فأوجد المتجه ﺃ الذي يحقق المعادلة ﺃ يساوي سالب أربعة ﺏ زائد اثنين ﺟ ناقص ستة ﺩ.
في المعادلة المعطاة، ضربت المتجهات ﺏ وﺟ وﺩ في أعداد ثابتة. أولًا، ضرب المتجه ﺏ في سالب أربعة. لحساب ذلك، نضرب قيمتي المركبتين كلتيهما في سالب أربعة. عند ضرب عددين سالبين نحصل على ناتج موجب. ومن ثم، فإن سالب أربعة مضروبًا في سالب تسعة يساوي ٣٦. وسالب أربعة مضروبًا في سالب ثلاثة يساوي ١٢.
يمكننا تكرار هذه العملية بضرب المتجه ﺟ في اثنين. وهذا يعطينا سالب ثمانية، سالب أربعة. وأخيرًا، علينا ضرب المتجه ﺩ في ستة. ستة مضروبًا في سالب اثنين يساوي سالب ١٢، وستة مضروبًا في تسعة يساوي ٥٤. علينا جمع اثنين ﺟ وسالب أربعة ﺏ، ثم طرح ستة ﺩ من الناتج. ومن ثم، فإن المتجه ﺃ يساوي ٣٦، ١٢ زائد سالب ثمانية، سالب أربعة ناقص سالب ١٢، ٥٤.
عند جمع المتجهات أو طرحها، فإننا ببساطة نجمع قيم المركبات المنفردة أو نطرحها. بالنسبة إلى قيم المركبة ﺱ في هذه الحالة، فإن لدينا ٣٦ زائد سالب ثمانية ناقص سالب ١٢. وهذا يماثل ٣٦ ناقص ثمانية زائد ١٢، وهذا يعطينا الناتج ٤٠. قيمة المركبة ﺱ للمتجه ﺃ تساوي ٤٠.
يمكننا تكرار ذلك بالنسبة إلى قيم المركبة ﺹ. علينا إضافة سالب أربعة إلى ١٢، ثم طرح ٥٤. وهذا يساوي سالب ٤٦.
المتجه ﺃ الذي يحقق المعادلة سالب أربعة ﺏ زائد اثنين ﺟ ناقص ستة ﺩ هو ٤٠، سالب ٤٦.
سيتعامل السؤال التالي بإيجاز مع ما يحدث عندما تكون المتجهات في ثلاثة أبعاد.
إذا كان المتجه ﺃ يساوي ستة، سالب أربعة، سبعة، والمتجه ﺏ يساوي خمسة، ستة، أربعة، فأوجد المتجه ﺃ زائد المتجه ﺏ.
نتذكر أنه عند جمع متجهات أو طرحها في بعدين، فإننا نجمع قيم المركبات المتناظرة أو نطرحها. ونفس الشيء ينطبق عندما تكون لدينا، كما في هذه الحالة، متجهات في ثلاثة أبعاد، فإننا ببساطة نجمع قيم المركبات الثلاث المختلفة.
أولًا، نجمع قيم المركبة ﺱ أو ﺱ. علينا جمع ستة وخمسة. وهذا يساوي ١١. بعد ذلك، علينا جمع سالب أربعة وستة. هذا يساوي اثنين. أخيرًا، علينا جمع سبعة وأربعة. وهذا يساوي ١١ أيضًا.
إذا كان المتجه ﺃ يساوي ستة، سالب أربعة، سبعة، والمتجه ﺏ يساوي خمسة، ستة، أربعة؛ فإن المتجه ﺃ زائد المتجه ﺏ يساوي ١١، اثنين، ١١.
وهذا يعني أنه عند جمع متجهات في ثلاثة أبعاد أو طرحها أو ضربها في أعداد ثابتة، فإننا نتبع نفس الخطوات التي طبقناها عند التعامل مع المتجهات في بعدين.
في السؤال الأخير، سنتناول مسألة عملية أكثر في الهندسة.
ﺃﺏﺟﺩﻫﻭ شكل سداسي منتظم. ﺃﻭ يوازي أ شرطة ﺏ، وﻫﻭ يوازي أ شرطة ﺩ. عبر عن المتجه ﺃﻫ بدلالة المتجهين ﻝ و ﻉ.
هناك بعض القطع المستقيمة غير مرسومة في الشكل السداسي، من ﺃ إلى ﺏ، ومن ﺃ إلى أ شرطة ، ومن ﻫ إلى أ شرطة . وبما أن الشكل السداسي منتظم، فإن لدينا الكثير من القطع المستقيمة المتوازية والمتساوية في الطول. القطع المستقيمة الموجهة الموجودة في الشكل من ﺩ إلى ﺟ، وأ شرطة إلى ﺏ، وﻭ إلى ﺃ يكافئ كل منها المتجه ﻝ. وهذا نظرًا لأن جميعها له نفس المعيار والاتجاه. وينطبق الأمر نفسه على ﻫأ شرطة . ستكون أ شرطة ﺟ وﻭأ شرطة وﻫﺩ جميعها مكافئ للمتجه ﻉ. ومرة أخرى، سينطبق الأمر نفسه أيضًا على ﺃﺏ.
نعرف أيضًا أن ﻭﻫ وأ شرطة ﺩ وﺏﺟ جميعها له نفس المعيار والاتجاه. لنفكر فيما يمكن أن تساويه هذه القطع المستقيمة الموجهة بدلالة ﻝ وﻉ. يمكننا الانتقال من مركز الشكل السداسي عند الرأس أ شرطة إلى الرأس ﺩ من خلال الرأس ﺟ. وهذا يعني أن أ شرطة ﺩ تساوي أ شرطة ﺟ زائد ﺟﺩ. ونعرف أن أ شرطة ﺟ تساوي المتجه ﻉ. وﺩﺟ تساوي المتجه ﻝ. هذا يعني أن ﺟﺩ تساوي سالب ﻝ. إن لها نفس المعيار ولكنها في الاتجاه المعاكس. ومن ثم، يمكننا القول إن أ شرطة ﺩ تساوي ﻉ ناقص ﻝ. وينطبق الأمر نفسه على ﻭﻫ وﺏﺟ.
مطلوب منا التعبير عن ﺃﻫ بدلالة ﻝ وﻉ. أسرع طريقة للانتقال من الرأس ﺃ إلى الرأس ﻫ تكون من خلال الرأس ﻭ. وهذا يعني أن ﺃﻫ تساوي ﺃﻭ زائد ﻭﻫ. وبما أن ﻭﺃ تساوي الرأس ﻝ، فإن ﺃﻭ ستساوي سالب ﻝ. نعرف أن ﻭﻫ تساوي ﻉ ناقص ﻝ. ومن ثم، فإن ﺃﻫ تساوي سالب ﻝ زائد ﻉ ناقص ﻝ.
يمكن تبسيط هذا إلى سالب اثنين ﻝ زائد ﻉ. أو يمكننا بدلًا من ذلك كتابته على الصورة: ﻉ ناقص اثنين ﻝ. يمكننا استخدام هذه الطريقة لإيجاد متجه من أي رأس إلى رأس آخر على الشكل السداسي.
سنلخص الآن النقاط الرئيسية المستخلصة من هذا الفيديو.
اكتشفنا في هذا الفيديو أنه عند جمع متجهين أو أكثر أو طرحهما، فإننا ببساطة نجمع قيم المركبات المتناظرة أو نطرحها. لضرب أي متجه في عدد ثابت، فإننا نضرب كل قيمة للمركبة على حدة. في السؤال الأخير، رأينا أنه بإمكاننا استخدام هذه المهارات للإجابة عن مسائل هندسية. رأينا أيضًا أن القواعد السابقة تنطبق على المتجهات في بعدين وثلاثة أبعاد.
