شارح الدرس: جمع وطرح المتجهات في بُعدين | نجوى شارح الدرس: جمع وطرح المتجهات في بُعدين | نجوى

شارح الدرس: جمع وطرح المتجهات في بُعدين الرياضيات

بدء التدريب

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نجمع المتجهات ونطرحها في بُعدين.

نحن نعلم أنه يمكننا تمثيل المتجهات بقطع مستقيمة ذات طول معين (المعيار) واتجاه معين. سنستخدم ذلك لمساعدتنا على تصور جمع المتجهات وطرحها.

في نطاق هذا الشارح، سنتناول فقط المتجهات في بُعدين، ومع ذلك، يمكن توسيع نطاق المنهجية التي سنشرحها لتشمل المتجهات في ثلاثة أبعاد أو أكثر.

تذكر أن متجه الوحدة هو متجه معياره يساوي ١، وأن متجهي الوحدة في الاتجاهين 𞸎، 𞸑 يُشار إليهما بالرمزين ⃐󰄮󰄮󰄮𞹎، ⃐󰄮󰄮󰄮𞹑 على الترتيب.

يمكن كتابة أي متجه ثنائي الأبعاد على الصورة 𞸎⃐󰄮󰄮󰄮𞹎+𞸑⃐󰄮󰄮󰄮𞹑. ويمكن، بدلًا من ذلك، التعبير عن هاتين المركبتين على الصورة الإحداثية (𞸎،𞸑) أو 󰂔𞸎𞸑󰂓.

تعريف: جمع المتجهات

جمع المتجهات هو عملية جمع متجهين أو أكثر لإيجاد مجموعهما.

بمعلومية متجهين (أو أكثر) على الصورة الإحداثية، يمكننا إيجاد مجموعهما بجمع المركبات المتناظرة للمتجهين.

على سبيل المثال، إذا كان ⃐󰄮𞸋=󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، ⃐󰄮𞸏=󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢، فإن ⃐󰄮𞸋+⃐󰄮𞸏=󰁓𞸎+𞸎،𞸑+𞸑󰁒١٢١٢.

جمع المتجهات هو عملية جمع متجهين أو أكثر معًا في مجموع اتجاهي. ومجموع متجهين أو أكثر يُسمى المحصلة.

سنتناول الآن مثالين يتطلبان جمع متجهين في بُعدين.

مثال ١: إيجاد مجموع متجهين

إذا كان ⃐𞸀=(٣،٢)، ⃐󰄮󰄮𞸁=(٤،−١)، فأوجد ⃐𞸀+⃐󰄮󰄮𞸁.

الحل

نتذكر أنه في الإحداثيات الكارتيزية، يمكن إجراء عملية جمع المتجهات عن طريق جمع المركبات المتناظرة للمتجهات.

إذا كان ⃐𞸀=󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، ⃐󰄮󰄮𞸁=󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢، فإن ⃐𞸀+⃐󰄮󰄮𞸁=󰁓𞸎+𞸎،𞸑+𞸑󰁒١٢١٢.

في هذا السؤال ⃐𞸀=(٣،٢)، ⃐󰄮󰄮𞸁=(٤،−١).

إذن، ⃐𞸀+⃐󰄮󰄮𞸁=(٣+٤،٢+(−١))=(٧،١).

ومن ثم، ⃐𞸀+⃐󰄮󰄮𞸁=(٧،١).

مثال ٢: إيجاد مركبتي متجهين ومجموعهما من مخطط

توضِّح شبكة مربعات الوحدة المتجهات ⃐󰄮𞸋، ⃐󰄮𞸏، ⃐󰄮𞸋+⃐󰄮𞸏.

  1. ما مركبتا المتجه ⃐󰄮𞸋؟
  2. ما مركبتا المتجه ⃐󰄮𞸏؟
  3. ما مركبتا المتجه ⃐󰄮𞸋+⃐󰄮𞸏؟

الحل

يمكن كتابة أي متجه ثنائي الأبعاد بدلالة مركبتي 𞸎، 𞸑 له على الصورة (𞸎،𞸑)؛ حيث 𞸎 هو عدد الوحدات في اتجاه 𞸎 الموجب، 𞸑 هو عدد الوحدات في اتجاه 𞸑 الموجب.

نتحرك من نقطة البداية إلى نقطة النهاية للمتجه ⃐󰄮𞸋 بمقدار وحدتين إلى اليمين ووحدة واحدة لأعلى. وهذا يناظر وحدتين في الاتجاه 𞸎 ووحدة واحدة في الاتجاه 𞸑 .

إذن، ⃐󰄮𞸋=(٢،١).

ونتحرك من نقطة البداية إلى نقطة النهاية للمتجه ⃐󰄮𞸏 بمقدار ثلاث وحدات إلى اليسار وأربع وحدات لأسفل. وهذا يناظر −٣ وحدات في الاتجاه 𞸎، و−٤ وحدات في الاتجاه 𞸑.

إذن، ⃐󰄮𞸏=(−٣،−٤).

نحن نعلم أن مجموع متجهين يُعرف بالمحصلة، وفي الإحداثيات الكارتيزية يمكن إجراء عملية جمع المتجهات عن طريق جمع المركبتين المتناظرتين للمتجهين.

إذا كان ⃐󰄮𞸋=󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، ⃐󰄮𞸏=󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢، فإن ⃐󰄮𞸋+⃐󰄮𞸏=󰁓𞸎+𞸎،𞸑+𞸑󰁒١٢١٢.

وبما أن: ⃐󰄮𞸋=(٢،١)⃐󰄮𞸏=(−٣،−٤)،و إذن: ⃐󰄮𞸋+⃐󰄮𞸏=(٢+(−٣)،١+(−٤))=(−١،−٣).

يمكننا أيضًا قراءة هذه المعلومات مباشرةً من مخطط المتجهات.

نتحرك من نقطة البداية للمتجه ⃐󰄮𞸋 إلى نقطة النهاية للمتجه ⃐󰄮𞸏 بمقدار وحدة واحدة إلى اليسار وثلاث وحدات لأسفل. وهذا يناظر −١ وحدة في الاتجاه 𞸎، و−٣ وحدات في الاتجاه 𞸑.

إذن، ⃐󰄮𞸋+⃐󰄮𞸏=(−١،−٣).

ومن ثم، ⃐󰄮𞸋=(٢،١)، ⃐󰄮𞸏=(−٣،−٤)، ⃐󰄮𞸋+⃐󰄮𞸏=(−١،−٣).

طرح المتجهات هو عملية إيجاد الفرق بين المتجهات؛ حيث إنها العملية العكسية لجمع المتجهات. وهذا يعني أن ⃐󰄮𞸋−⃐󰄮𞸏=⃐󰄮𞸋+󰂔−⃐󰄮𞸏󰂓. عند طرح ⃐󰄮𞸏 من ⃐󰄮𞸋، فإننا نوجد محصلة ⃐󰄮𞸋، 󰂔−⃐󰄮𞸏󰂓.

تعريف: طرح المتجهات

طرح المتجهات هو عملية طرح متجهين لإيجاد الفرق بينهما.

بمعلومية متجهين على الصورة الإحداثية، يمكننا إيجاد الفرق بينهما عن طريق طرح المركبات المتناظرة لهما.

على سبيل المثال، إذا كان ⃐󰄮𞸋=󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، ⃐󰄮𞸏=󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢، فإن ⃐󰄮𞸋−⃐󰄮𞸏=󰁓𞸎−𞸎،𞸑−𞸑󰁒١٢١٢.

ومن الجدير بالملاحظة أن تأثير أن يكون ⃐󰄮𞸏 سالبًا هو انعكاس اتجاهه. على سبيل المثال، إذا كان لدينا المتجه ⃐󰄮𞸏=(٥،٠)، فهذا سيُمثِّل متجه طوله ٥ وموازٍ للمحور 𞸎 ويتجه من اليسار إلى اليمين. وإذا جعلنا إشارة ⃐󰄮𞸏 سالبة، فسنحصل على −⃐󰄮𞸏=(−٥،٠). معيار المتجه لن يتغير، وسيظل موازيًّا للمحور 𞸎، ولكن سينعكس اتجاهه؛ حيث يتجه الآن من اليمين إلى اليسار.

سنتناول الآن بعض الأمثلة الأخرى التي سوف نجمع فيها متجهات في بُعدين ونطرحها.

مثال ٣: طرح المتجهات المعطاة بدلالة متجهات الوحدة

إذا كان المتجهان ⃐󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁=٣⃐󰄮󰄮󰄮𞹎−٤⃐󰄮󰄮󰄮𞹑، ⃐󰄮󰄮󰄮𞸢𞸃=−٥⃐󰄮󰄮󰄮𞹎−٥⃐󰄮󰄮󰄮𞹑، فاحسب ⃐󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁−⃐󰄮󰄮󰄮𞸢𞸃.

الحل

نبدأ بتذكر أنه في الإحداثيات الكارتيزية، يمكن إجراء عملية طرح المتجهات بطرح المركبات المتناظرة لها.

إذا كان ⃐󰄮𞸋=𞸀⃐󰄮󰄮󰄮𞹎+𞸁⃐󰄮󰄮󰄮𞹑، ⃐󰄮𞸏=𞸢⃐󰄮󰄮󰄮𞹎+𞸃⃐󰄮󰄮󰄮𞹑، فإن ⃐󰄮𞸋−⃐󰄮𞸏=(𞸀−𞸢)⃐󰄮󰄮󰄮𞹎+(𞸁−𞸃)⃐󰄮󰄮󰄮𞹑.

إذن، ⃐󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁−⃐󰄮󰄮󰄮𞸢𞸃=󰁓٣⃐󰄮󰄮󰄮𞹎−٤⃐󰄮󰄮󰄮𞹑󰁒−󰁓−٥⃐󰄮󰄮󰄮𞹎−٥⃐󰄮󰄮󰄮𞹑󰁒=(٣−(−٥))⃐󰄮󰄮󰄮𞹎+(−٤−(−٥))⃐󰄮󰄮󰄮𞹑=٨⃐󰄮󰄮󰄮𞹎+⃐󰄮󰄮󰄮𞹑.

ومن ثم، ⃐󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁−⃐󰄮󰄮󰄮𞸢𞸃=٨⃐󰄮󰄮󰄮𞹎+⃐󰄮󰄮󰄮𞹑.

مثال ٤: جمع المتجهات وطرحها

إذا كان ⃐󰏡=(−٢،٢)، ⃐󰄮󰄮𞸁=(٥،٢)، ⃐󰄮󰄮𞸢=(−٣،−٢)، فاحسب −⃐󰏡+⃐󰄮󰄮𞸁−⃐󰄮󰄮𞸢.

الحل

نبدأ بتذكر أنه في الإحداثيات الكارتيزية، يمكن إجراء عمليتي جمع المتجهات وطرحها عن طريق جمع المركبات المتناظرة لها أو طرحها.

إذن، −⃐󰏡+⃐󰄮󰄮𞸁−⃐󰄮󰄮𞸢=󰁓−(−٢)+٥−(−٣)،−٢+٢−(−٢)󰁒=(٢+٥+٣،−٢+٢+٢)=(٠١،٢).

ومن ثم، −⃐󰏡+⃐󰄮󰄮𞸁−⃐󰄮󰄮𞸢=(٠١،٢).

مثال ٥: إيجاد متجه ناقص بمعلومية متجه آخر ومجموع المتجهين

إذا كان ⃐󰏡=(−٤،٥)، ⃐󰏡+⃐󰄮󰄮𞸁=(٢،٧)، فأوجد ⃐󰄮󰄮𞸁.

الحل

نبدأ بتذكر أنه في الإحداثيات الكارتيزية، يمكن إجراء عمليتي جمع المتجهات وطرحها عن طريق جمع المركبات المتناظرة لها أو طرحها.

إذا كان ⃐󰏡=󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، ⃐󰄮󰄮𞸁=󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢، فإن ⃐󰏡+⃐󰄮󰄮𞸁=󰁓𞸎+𞸎،𞸑+𞸑󰁒١٢١٢.

وبما أن ⃐󰏡=(−٤،٥)، ⃐󰏡+⃐󰄮󰄮𞸁=(٢،٧)، إذن: (−٤،٥)+⃐󰄮󰄮𞸁=(٢،٧)󰁓(−٤،٥)󰁒⃐󰄮󰄮𞸁=(٢،٧)−(−٤،٥)⃐󰄮󰄮𞸁=(٢−(−٤)،٧−٥)⃐󰄮󰄮𞸁=(٦،٢).ﻧﻄﺮحﻣﻦاﻟﻄﺮﻓﻴﻦ

وعليه، ⃐󰄮󰄮𞸁=(٦،٢).

مثال ٦: إيجاد مجموع متجهين بمعلومية أحدهما والفرق بينهما

إذا كان ⃐󰏡=(٧،−١)، ⃐󰏡−⃐󰄮󰄮𞸁=(٣،−٢)، فأوجد ⃐󰏡+⃐󰄮󰄮𞸁.

الحل

نبدأ بتذكر أنه في الإحداثيات الكارتيزية، يمكن إجراء عمليتي جمع المتجهات وطرحها عن طريق جمع المركبات المتناظرة لها أو طرحها.

إذا كان ⃐󰏡=󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، ⃐󰄮󰄮𞸁=󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢، فإن ⃐󰏡−⃐󰄮󰄮𞸁=󰁓𞸎−𞸎،𞸑−𞸑󰁒١٢١٢.

وبما أن ⃐󰏡=(٧،−١)، ⃐󰏡−⃐󰄮󰄮𞸁=(٣،−٢)، فإن: (٧،−١)−⃐󰄮󰄮𞸁=(٣،−٢)󰁓⃐󰄮󰄮𞸁(٣،−٢)󰁒⃐󰄮󰄮𞸁=(٧،−١)−(٣،−٢)⃐󰄮󰄮𞸁=(٧−٣،−١−(−٢))⃐󰄮󰄮𞸁=(٤،١).ﻧﻀﻴﻒوﻧﻄﺮحﻣﻦاﻟﻄﺮﻓﻴﻦ

نحسب الآن ⃐󰏡+⃐󰄮󰄮𞸁.

إذا كان ⃐󰏡=󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، ⃐󰄮󰄮𞸁=󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢، فإن ⃐󰏡+⃐󰄮󰄮𞸁=󰁓𞸎+𞸎،𞸑+𞸑󰁒١٢١٢.

وبما أن ⃐󰏡=(٧،−١)، ⃐󰄮󰄮𞸁=(٤،١)، إذن: ⃐󰏡+⃐󰄮󰄮𞸁=(٧،−١)+(٤،١)=(٧+٤،−١+١)=(١١،٠).

وعليه، ⃐󰏡+⃐󰄮󰄮𞸁=(١١،٠).

مثال ٧: إيجاد متجه بمعلومية متجهين آخرين وتعبير يتضمن المتجهات الثلاثة

إذا كان ⃐󰏡=(٣،−٢)، ⃐󰄮󰄮𞸁=(−٥،٤)، ⃐󰏡−⃐󰄮󰄮𞸁+⃐󰄮󰄮𞸢=(٦،−١)، فأوجد ⃐󰄮󰄮𞸢.

الحل

نبدأ بتذكر أنه في الإحداثيات الكارتيزية، يمكن إجراء عمليتي جمع المتجهات وطرحها عن طريق جمع المركبات المتناظرة لها أو طرحها.

إذا كان ⃐󰏡=󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، ⃐󰄮󰄮𞸁=󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢، ⃐󰄮󰄮𞸢=󰁓𞸎،𞸑󰁒٣٣، فإن ⃐󰏡−⃐󰄮󰄮𞸁+⃐󰄮󰄮𞸢=󰁓𞸎−𞸎+𞸎،𞸑−𞸑+𞸑󰁒١٢٣١٢٣.

وبما أن ⃐󰏡=(٣،−٢)، ⃐󰄮󰄮𞸁=(−٥،٤)، ⃐󰏡−⃐󰄮󰄮𞸁+⃐󰄮󰄮𞸢=(٦،−١)، إذن: (٣،−٢)−(−٥،٤)+⃐󰄮󰄮𞸢=(٦،−١)(٨،−٦)+⃐󰄮󰄮𞸢=(٦،−١)󰁓(٨،−٦)󰁒⃐󰄮󰄮𞸢=(٦،−١)−(٨،−٦)⃐󰄮󰄮𞸢=(٦−٨،−١−(−٦))⃐󰄮󰄮𞸢=(−٢،٥).ﻧﻄﺮحﻣﻦاﻟﻄﺮﻓﻴﻦ

وعليه، ⃐󰄮󰄮𞸢=(−٢،٥).

على الرغم من أن تمثيل جمع المتجهات وطرحها بيانيًّا يقع خارج نطاق هذا الشارح، إلا أننا يمكننا إجراؤه باستخدام إما قاعدة متوازي الأضلاع أو قاعدة المثلث.

سننهي هذا الشارح بتذكر بعض النقاط الرئيسية.

النقاط الرئيسية

  • في الإحداثيات الكارتيزية، يمكن إجراء عمليتي جمع المتجهات وطرحها عن طريق جمع المركبات المتناظرة لها أو طرحها.
  • إذا كان المتجه ⃐󰄮𞸋=󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، ⃐󰄮𞸏=󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢، فإن ⃐󰄮𞸋+⃐󰄮𞸏=󰁓𞸎+𞸎،𞸑+𞸑󰁒١٢١٢.
  • إذا كان المتجه ⃐󰄮𞸋=󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، ⃐󰄮𞸏=󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢، فإن ⃐󰄮𞸋−⃐󰄮𞸏=󰁓𞸎−𞸎،𞸑−𞸑󰁒١٢١٢.

انضم إلى نجوى كلاسيز

شارك في الحصص المباشرة على نجوى كلاسيز وحقق التميز الدراسي بإرشاد وتوجيه من معلم خبير!

  • حصص تفاعلية
  • دردشة ورسائل
  • أسئلة امتحانات واقعية
عرض جميع الفصول
nagwa classes qrcode

تستخدم «نجوى» ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. اعرف المزيد عن سياسة الخصوصية