فيديو السؤال: إيجاد مركبتي متجهين ومجموعهما من مخطط معطى الرياضيات • الصف الأول الثانوي

نسخة الفيديو النصية

توضح شبكة مربعات الوحدة المتجهات ﻝ وﻉ وﻝ زائد ﻉ. ما مركبتا المتجه ﻝ؟ ما مركبتا المتجه ﻉ؟ ما مركبتا المتجه ﻝ زائد المتجه ﻉ؟

في هذا السؤال، لدينا مخطط يتضمن ثلاثة متجهات: المتجه ﻝ والمتجه ﻉ والمتجه ﻝ زائد المتجه ﻉ. وبدلًا من أن تكون المتجهات ممثلة على محاور الإحداثيات التي تلتقي عند نقطة الأصل، لدينا هنا المتجهات ممثلة على شبكة مربعات الوحدة. وعلينا استخدام شبكة مربعات الوحدة هذه لإيجاد مركبتي ﻝ، ومركبتي ﻉ، ومركبتي ﻝ زائد ﻉ. للإجابة عن هذا السؤال، نسترجع أولًا المقصود تحديدًا بمركبتي المتجه. من المهم أن نتذكر أن المتجهات هي كمية لها معيار واتجاه. وهي لا تمثل الحركة بالضرورة. لكنها تمثل الكثير من الأشياء المختلفة. مع ذلك، يمكننا دائمًا تمثيل المتجهات بيانيًّا باستخدام أي نظام إحداثي.

سيساعدنا كثيرًا التفكير في المتجهات بهذه الطريقة. وعند تمثيل المتجهات بيانيًّا، فإن المتجه ﺃ، ﺏ يمكن أن يمثل التحرك أفقيًّا بمقدار ﺃ من الوحدات ثم التحرك رأسيًّا بمقدار ﺏ من الوحدات. وبالأحرى، يمكننا القول إن التغير الأفقي يساوي ﺃ والتغير الرأسي يساوي ﺏ. إذن، ما الذي يعنيه ذلك بالنسبة إلى المتجهات الثلاثة المدرجة على شبكة مربعات الوحدة؟ بداية، لأن كل مربع من المربعات في الشبكة يمثل وحدة طول، يمكننا فقط عد المربعات لتحديد التغير الأفقي والتغير الرأسي لكل متجه من المتجهات. ومن ثم، يمكننا استخدام ذلك لإيجاد مركبتي المتجه؛ لأن مركبتي المتجه تساويان قيمتي ﺃ وﺏ؛ أي التغير الأفقي والتغير الرأسي.

دعونا نبدأ بالمتجه ﻝ. علينا إيجاد تغيره الأفقي وتغيره الرأسي. على محوري الإحداثيات القياسيين، عندما نتحرك إلى اليمين، تزداد قيمة المركبة الأفقية، وعندما نتحرك لأعلى، تزداد قيمة المركبة الرأسية. لذلك يمكننا ملاحظة أنه عندما نبدأ من نقطة بداية المتجه ﻝ وننتهي عند نقطة نهاية المتجه ﻝ، نتحرك وحدتين إلى اليمين ووحدة واحدة لأعلى. وبذلك تزداد قيمة المركبة الأفقية بمقدار اثنين وتزداد قيمة المركبة الرأسية بمقدار واحد. إذن، المركبة الأفقية تساوي اثنين، والمركبة الرأسية للمتجه ﻝ تساوي واحدًا. ومن ثم، فإن مركبتي المتجه ﻝ هما اثنان، واحد.

يمكننا بعد ذلك فعل الشيء نفسه مع المتجه ﻉ. هذه المرة، عندما نبدأ من نقطة بداية المتجه ﻉ وننتهي عند نقطة نهاية المتجه ﻉ، نلاحظ أننا نتحرك أربع وحدات إلى أسفل وثلاث وحدات إلى اليسار. بما أننا قد تحركنا لأسفل أربع وحدات، فإن قيمة المركبة الرأسية تقل بمقدار أربعة. بعبارة أخرى، المركبة الرأسية ستساوي سالب أربعة. ولأننا تحركنا إلى اليسار ثلاث وحدات، فإن قيمة المركبة الأفقية تقل بمقدار ثلاثة. إذن، المركبة الأفقية للمتجه تساوي سالب ثلاثة. لذا، فإن مركبتي المتجه ﻉ هما سالب ثلاثة، سالب أربعة.

والآن، علينا تكرار الأمر نفسه مع المتجه ﻝ زائد المتجه ﻉ. دعونا نلاحظ التغير في الموضعين الأفقي والرأسي عند التحرك من نقطة بداية المتجه ﻝ زائد المتجه ﻉ إلى نقطة نهايته. نلاحظ أننا نتحرك وحدة واحدة إلى اليسار، وثلاث وحدات إلى أسفل. إذن، التغير الأفقي يساوي سالب واحد، والتغير الرأسي يساوي سالب ثلاثة. وبذلك، نجد أن مركبتي المتجه ﻝ زائد ﻉ هما سالب واحد، سالب ثلاثة.

ومع أنه يمكننا التوقف هنا، فثمة أمر واحد يجدر بنا الإشارة إليه بشأن المتجه ﻝ زائد المتجه ﻉ. هذه ليست الطريقة الوحيدة التي يمكننا إيجاد هذا المتجه بها. فقد كان بإمكاننا أيضًا جمع المتجهين السابقين معًا لأننا نستطيع جمع متجهين بيانيًّا عن طريق رسم أحد المتجهين بعد الآخر؛ بحيث تكون نقطة نهاية المتجه الأول هي نقطة بداية المتجه الثاني تمامًا مثلما فعلنا في هذا الشكل. ومن ثم، فإن التحرك على طول المتجهين يماثل جمع هذين المتجهين معًا.

لكن هناك طريقة أخرى لجمع هذين المتجهين معًا؛ حيث نجمع مركبتي كل منهما معًا. وهذا يعني أننا نجمع المركبتين الأفقيتين والمركبتين الرأسيتين لكل متجه على حدة. دعونا نستخدم هذه الطريقة للتحقق من إجابتنا. المتجه ﻝ زائد المتجه ﻉ يساوي المتجه اثنين، واحد زائد المتجه سالب ثلاثة، سالب أربعة. علينا جمع كل مركبتين متناظرتين معًا. إذن، دعونا نبدأ بجمع قيمتي المركبة الأولى للمتجهين معًا. المركبة الأولى ستكون اثنين زائد سالب ثلاثة.

يجدر التأكيد هنا على أن ذلك يعني أنه إذا تحركنا على طول المتجه ﻝ والمتجه ﻉ، فإننا نتحرك في البداية على طول المتجه ﻝ؛ لذا نعوض بقيمة المركبة الأفقية وتساوي اثنين. بعد ذلك، نتحرك على طول المتجه ﻉ؛ لذا نعوض بقيمة المركبة الأفقية وتساوي سالب ثلاثة. يمكننا بعد ذلك فعل الأمر نفسه بالنسبة للاتجاه الرأسي أو المركبة الثانية. نجمع قيمتي المركبة الثانية لكل متجه معًا لنحصل على واحد زائد سالب أربعة. إذا حسبنا هاتين المركبتين، فسنحصل على المتجه سالب واحد، سالب ثلاثة، مثلما وجدنا من قبل.

إذن، باستخدام الرسم التوضيحي للمتجهات ﻝ وﻉ وﻝ زائد ﻉ على شبكة مربعات الوحدة، تمكنا من إيجاد مركبتي ﻝ ومركبتي ﻉ ومركبتي ﻝ زائد ﻉ. وقد أوضحنا أن مركبتي المتجه ﻝ هما اثنان، واحد؛ ومركبتي المتجه ﻉ هما سالب ثلاثة، سالب أربعة؛ ومركبتي المتجه ﻝ زائد المتجه ﻉ هما سالب واحد، سالب ثلاثة.