نسخة الفيديو النصية
أوجد المشتقة الأولى للدالة ﺩﺱ تساوي تسعة ﺱ تربيع ناقص ﺱ ناقص سبعة مضروبًا في سبعة ﺱ تربيع ناقص ثمانية ﺱ ناقص سبعة عند ﺱ يساوي سالب واحد.
مطلوب منا إيجاد المشتقة الأولى لهذه الدالة عند قيمة معينة لـ ﺱ. لفعل ذلك، علينا اشتقاق الدالة ثم التعويض عن ﺱ بسالب واحد. الدالة المعطاة لنا هي حاصل ضرب دالتين كثيرتي الحدود. لذا، يمكننا فك الأقواس لنحصل على دالة واحدة كثيرة الحدود، ثم نشتقها. لكن يمكننا أيضًا حل هذه المسألة عن طريق تطبيق قاعدة الضرب للاشتقاق. وتنص هذه القاعدة على أنه إذا كانت لدينا دالتان قابلتان للاشتقاق ﻉ وﻕ، فإن مشتقة حاصل ضربهما ﻉﻕ تساوي ﻉ في ﺩﻕ على ﺩﺱ زائد ﻕ في ﺩﻉ على ﺩﺱ. بعبارة أخرى: نضرب كل دالة في مشتقة الدالة الأخرى ثم نجمع هذين المقدارين معًا.
ومن ثم، بالنسبة إلى الدالة المعطاة، يمكننا جعل ﻉ تساوي الدالة كثيرة الحدود الأولى، وﻕ تساوي الدالة كثيرة الحدود الثانية. إذن علينا إيجاد مشتقة كل دالة على حدة. وبما أنهما دالتان كثيرتا الحدود، فيجب تطبيق قاعدة القوة للاشتقاق. تنص هذه القاعدة على أنه بالنسبة إلى الثابتين الحقيقيين ﺃ وﻥ، فإن المشتقة ﺃ مضروبة في ﺱ أس ﻥ بالنسبة إلى ﺱ تساوي ﺃﻥﺱ أس ﻥ ناقص واحد. بعبارة أخرى: نضرب في الأس ثم نطرح واحدًا من الأس. إذن، بتطبيق هذه القاعدة على الدالة ﻉ، نحصل على ﺩﻉ على ﺩﺱ يساوي ١٨ﺱ ناقص واحد. تذكر أن مشتقة أي ثابت بالنسبة إلى ﺱ تساوي صفرًا. وبتطبيق القاعدة نفسها على الدالة ﻕ، نحصل على ﺩﻕ على ﺩﺱ يساوي ١٤ﺱ ناقص ثمانية.
بعد ذلك، نعوض بكل من هذين المقدارين في قاعدة الضرب، لنحصل على ﺩ شرطة لـ ﺱ تساوي تسعة ﺱ تربيع ناقص ﺱ ناقص سبعة مضروبًا في ١٤ﺱ ناقص ثمانية زائد سبعة ﺱ تربيع ناقص ثمانية ﺱ ناقص سبعة مضروبًا في ١٨ﺱ ناقص واحد. بفك المجموعة الأولى من الأقواس، نحصل على ١٢٦ﺱ تكعيب ناقص ٧٢ﺱ تربيع ناقص ١٤ﺱ تربيع زائد ثمانية ﺱ ناقص ٩٨ﺱ زائد ٥٦. وبفك المجموعة الثانية من الأقواس، نحصل على ١٢٦ﺱ تكعيب ناقص سبعة ﺱ تربيع ناقص ١٤٤ﺱ تربيع زائد ثمانية ﺱ ناقص ١٢٦ﺱ زائد سبعة.
بعد ذلك، علينا التبسيط بتجميع الحدود المتشابهة في هذا المقدار. هذا يعطينا ﺩ شرطة لـ ﺱ تساوي ٢٥٢ﺱ تكعيب ناقص ٢٣٧ﺱ تربيع ناقص ٢٠٨ﺱ زائد ٦٣. وبذلك نكون قد أوجدنا مقدارًا يعبر عن المشتقة الأولى للدالة ﺩﺱ. علينا الآن إيجاد قيمة هذه المشتقة عند ﺱ يساوي سالب واحد. بالتعويض عن ﺱ بسالب واحد في هذا المقدار نحصل على ٢٥٢ مضروبًا في سالب واحد تكعيب ناقص ٢٣٧ مضروبًا في سالب واحد تربيع ناقص ٢٠٨ مضروبًا في سالب واحد زائد ٦٣. هذا يساوي سالب ٢٥٢ ناقص ٢٣٧ زائد ٢٠٨ زائد ٦٣، وهو ما يساوي سالب ٢١٨.
إذن، باستخدام قاعدة الضرب لاشتقاق الدالة المعطاة، وجدنا أن المشتقة الأولى للدالة ﺩﺱ عند ﺱ يساوي سالب واحد تساوي سالب ٢١٨. لاحظ أنه كان من الممكن أيضًا التعويض بـ ﺱ يساوي سالب واحد في المقدار الذي يعبر عن المشتقة قبل تبسيطه وإيجاد قيمته عند هذه النقطة.
