في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد مشتقة دالة باستخدام قاعدة الضرب.
بعد أن تعلَّمنا كيفية اشتقاق دوالَّ بسيطة، ربما نتساءل كيف يُمكننا اشتقاق دوالَّ أكثر تعقيدًا. بوجهٍ عام، تتكوَّن الدوالُّ الأكثر تعقيدًا من دوالَّ أبسط دُمِجتْ معًا بطُرق مختلفة. هناك بعض الطُّرق الأساسية لدمج الدالتين ، :
- الجمع أو الطرح: .
- الضرب أو القسمة: ، أو .
- التركيب: ، أو .
لكي نتمكَّن من اشتقاق دوالَّ أكثر تعقيدًا، سيُفيدنا كثيرًا أن تكون لدينا قواعد تُخبرنا بكيفية اشتقاق دوال مُدمَجة بهذه الطُّرق تحديدًا. عند هذه المرحلة من دورة التفاضل والتكامل، نعلم بالفعل أن مشتقة أيِّ مجموع تساوي مجموع المشتقات:
إضافة إلى ذلك، فإننا نعلم أن الاشتقاق عملية خطية. هذا يعني أنه بالإضافة إلى قاعدة مشتقة المجموع، لدينا قاعدة الضرب في عدد ثابت الآتية: حيث عدد ثابت. في هذا الشارح، سنركِّز على إيجاد مشتقات حواصل الضرب.
بمعلومية قاعدتَي الاشتقاق للجمع والضرب في عدد ثابت، يُمكننا تخمين أن مشتقة حاصل الضرب هي حاصل ضرب المشتقات. هذه ليست القاعدة الصحيحة، كما سنوضِّح في المثال الآتي.
مثال ١: توضيح مشتقات حواصل الضرب
انظر إلى الدالتين ، .
- أوجد ، .
- أوجد .
- إذا كانت ، فأوجد مشتقتها.
الحل
الجزء الأول
باستخدام قاعدة القُوى للاشتقاق: فإن: و:
الجزء الثاني
بحساب حاصل ضرب ، ، نحصل إذن على:
الجزء الثالث
مرة أخرى، يُمكننا تطبيق قاعدة القُوى لإيجاد مشتقة ، كما يأتي:
يوضِّح الجزء السابق أنه بوجهٍ عام:
هذا يجعلنا نتساءل عن الصيغة الصحيحة. سنبدأ بالتفكير في التفسير الهندسي لحاصل الضرب. عندما نحسب حاصل ضرب قيمتين، يبدو الأمر كأننا نحسب مساحة مستطيل. إذن بالنسبة إلى الدالتين ، ، يُمكننا اعتبار أن حاصل الضرب يمثِّل مساحة المستطيل الذي طولا ضلعَيْه ،، كما هو موضَّح في الشكل.
نريد معرفة كيفية تغيُّر هذه المساحة استجابة لتغيُّر صغير في . إذا كان تغيُّر بمقدار صغير يُعطَى بـ ، فسيُوجَد تغيُّر مناظِر في كلٍّ من ، الذي نمثِّله كما يأتي:
وعليه، ستكون مساحة المستطيل الناتج . من ثَمَّ، التغيُّر في المساحة يُعطَى كالآتي:
يمثِّل الشكل الآتي هذا التغيُّر في المساحة. (يوضِّح الشكل التأثير إذا ما كان التغيُّر في المساحة موجبًا؛ ويُمكن رسم صورة مشابهة لتمثيل التغيُّرات السالبة في المساحة).
بالرجوع إلى المعادلة (١) يُمكننا القسمة على ، وهو ما يُعطينا:
بحساب النهاية عندما تكون نحصل على مشتقة :
باستخدام خواص النهايات المنتهية للدوال المتصلة، يكون لدينا:
بما أن ، ، يُمكننا إعادة كتابة هذا على الصورة:
وبالنسبة إلى النهاية ، نحن نعلم أن التغيُّر في يقترب من صفر كلَّما اقترب التغيُّر في من صفر. ومن ثَمَّ، فإن قيمة هذه النهاية تساوي صفرًا. ومن ثَمَّ، يصبح لدينا:
ويُشار إلى هذه النتيجة باسم: قاعدة الضرب، التي نذكر صيغتها الرياضية فيما يأتي.
قاعدة الضرب
إذا كان لدينا الدالتان القابلتان للاشتقاق ، ، فإن مشتقة حاصل ضربهما تُعطَى بالعلاقة:
يُمكن كتابة ذلك باختصار باستخدام ترميز الشرطة كما يأتي:
مثال ٢: الاشتقاق باستخدام قاعدة الضرب
أوجد المشتقة الأولى للدالة .
الحل
في مثال كهذا، يُمكننا إمَّا فكُّ الأقواس ثم الاشتقاق، وإمَّا تطبيق قاعدة الضرب لإيجاد المشتقة ثم فكُّ أيِّ أقواس، إذا لزم الأمر. في هذا المثال، سنشرح باستخدام قاعدة الضرب التي تنصُّ على أن: حيث ، دالتان في .
لنفترض أن ، .
نبدأ بإيجاد بتطبيق قاعدة القُوى على النحو الآتي:
لإيجاد ، في البداية نعبِّر عن كلِّ حدٍّ من حدود باستخدام الأُسس:
بعد ذلك باستخدام قاعدة القُوى يكون لدينا:
يُمكننا الآن التعويض بكلتا المشتقتين في صيغة قاعدة الضرب، التي تُعطينا:
يُمكننا الآن فكُّ الأقواس كما يأتي:
وأخيرًا، نجمِّع الحدود المتشابهة معًا، ونُعيد كتابة المقدار حسب قُوى التنازلية:
مثال ٣: استخدام قاعدة الضرب
افترض أن . إذا كان ، ، ، ، فأوجد .
الحل
نبدأ بتطبيق قاعدة الضرب لإيجاد مقدار لـ . تذكَّر أن قاعدة الضرب تنصُّ على أن:
بافتراض أن ، ، نحصل على أن:
بالتعويض بهذه المقادير في قاعدة الضرب، يكون لدينا:
إذن:
بالتعويض بالقِيَم ، ، ، ، نحصل على:
مثال ٤: الاشتقاق باستخدام قاعدة الضرب
إذا كان ، فأوجد ؛ حيث تحقِّق .
الحل
أولًا، علينا إيجاد مقدار لمشتقة . لفعل ذلك، سنطبِّق قاعدة حاصل الضرب:
بافتراض أن ، ، نُوجِد مقادير لكلٍّ من ، . باستخدام قاعدة القُوى للمشتقات، يصبح لدينا:
في هذا السؤال، لدينا قاعدة لإيجاد . ومن ثَمَّ:
بالتعويض بهذه المقادير في قاعدة الضرب، يكون لدينا:
نحن نريد إيجاد قيمة التي تضمن أن . للقيام بذلك، سنعوِّض بـ في معادلة ، ونساويها بصفر كما يأتي:
يُمكننا الآن حلُّ هذه المعادلة لإيجاد قيمة . بما أن لجميع قِيَم يُمكننا الاختزال بالقسمة على لنحصل على:
ومن ثَمَّ، يضمن أن .
مثال ٥: اشتقاق حواصل الضرب الثلاثية
تنصُّ قاعدة الضرب على أن . استخدم ذلك لاستنتاج صيغة للمشتقة .
الحل
نبدأ بالتفكير في حاصل الضرب باعتباره حاصل ضرب الدالتين، الدالة والدالة . يُمكننا الآن تطبيق قاعدة الضرب لإيجاد مشتقة حاصل الضرب كما يأتي:
يُمكننا الآن تطبيق قاعدة الضرب لإيجاد مشتقة حاصل الضرب كالآتي:
ومن ثَمَّ:
يوضِّح المثال السابق أنه يُمكن تعميم قاعدة الضرب على حاصل ضرب أكثر من دالتين. في الواقع، يُمكننا تعميم قاعدة الضرب على أيِّ عددٍ منتهٍ من حاصل ضرب عدة دوالَّ. في المثال الأخير، سنتناول دالة مُعرَّفة كحاصل الضرب الثلاثي للدوال.
مثال ٦: اشتقاق حواصل الضرب
أوجد المشتقة الأولى لـ عند .
الحل
الدالة حاصل ضرب ثلاث دوالَّ. لذلك، قد نعتقد أن من الأفضل تطبيق قاعدة الضرب لحاصل ضرب ثلاث دوالَّ. لكن قبل فعل ذلك، تجدر الإشارة إلى أن آخِر مجموعتين من الأقواس هما فرق بين مربعين في الصورة التحليلية. ولذلك، قد يكون من الأسهل أولًا فكُّ هذه الأقواس، ثم تطبيق قاعدة الضرب على المقدار الناتج. هذه هي الطريقة التي سنتناولها في هذا المثال. ومن ثم:
يُمكننا الآن تطبيق قاعدة الضرب:
بافتراض أن ، ، يكون لدينا:
بالتعويض بهذه المقادير في قاعدة الضرب، يكون لدينا:
بحساب قيمة ذلك عند ، نحصل على:
النقاط الرئيسية
- لإيجاد مشتقة حاصل ضرب الدالتين القابلتين للاشتقاق ، ، يُمكننا استخدام قاعدة الضرب التي تنصُّ على أن: عادة ما يُكتَب هذا باختصار باستخدام ترميز الشرطة كما يأتي:
- يُمكن تعميم قاعدة الضرب على حاصل ضرب أي عدد اختياري من الدوال.
- قبل تطبيق قاعدة الضرب، أحيانًا يكون من الأسهل فكُّ الأقواس وتبسيط المقدار.
