تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

فيديو الدرس: قاعدة الضرب الرياضيات

في هذا الفيديو، سنتعلم كيف نوجد مشتقة دالة باستخدام قاعدة حاصل الضرب.

١٨:١٨

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نطبق قاعدة حاصل الضرب لإيجاد مشتقة دالة هي عبارة عن حاصل ضرب دالتين أخريين أو أكثر. سنتعلم أولًا ما هي قاعدة حاصل الضرب ثم نطبق القاعدة لتساعدنا في إيجاد مشتقة عدة دوال، بما في ذلك الدوال التي تكون هي نفسها عبارة عن حاصل ضرب ثلاث دوال مختلفة على الأقل. وسنشرح باختصار تطبيق قاعدة حاصل الضرب لحساب إحداثيات النقاط الحرجة أو نقاط التوقف على تمثيل بياني.

دعونا نر المثال ﺱ تربيع زائد ثلاثة ﺱ زائد واحد في ﺱ ناقص أربعة ﺱ أس خمسة.

لنفكر كيف يمكن إيجاد مشتقة هذا المقدار بالنسبة إلى ﺱ. فيما مضى، كان من الممكن أن نفكر في فك هذه الأقواس قبل أن نطبق قواعد الاشتقاق العادية على كل حد من الحدود الناتجة. لكن في الواقع هذا المقدار عبارة عن حاصل ضرب دالتين منفصلتين. الدالة الأولى هي ﺱ تربيع زائد ثلاثة ﺱ زائد واحد. والدالة الثانية هي ﺱ ناقص أربعة ﺱ أس خمسة.

وهناك قاعدة يمكن أن نستخدمها لاشتقاق أي مقدار هو عبارة عن حاصل ضرب دالتين أو أكثر. ومن الطريف أن هذه القاعدة تسمى قاعدة حاصل الضرب. إثبات قاعدة حاصل الضرب أمر يطول شرحه، وهو خارج نطاق اهتمامنا في هذا الفيديو. وبدلًا من ذلك، سنوضح ما تنص عليه قاعدة حاصل الضرب وسنتناول تطبيقها في حساب التفاضل والتكامل.

تنص قاعدة حاصل الضرب على أن مشتقة حاصل ضرب الدالتين ﺩ وﺭ تساوي ﺩ مضروبة في مشتقة ﺭ زائد مشتقة ﺩ مضروبة في ﺭ. ويمكن أن نكتب ذلك على صورة: مشتقة ﻉﻕ بالنسبة إلى ﺱ تساوي ﻉ في ﺩﻕ على ﺩﺱ زائد ﻕ في ﺩﻉ على ﺩﺱ، حيث ﻉ وﻕ دالتان في المتغير ﺱ. واختيار أيهما تستخدم، يعود فقط إلى التفضيل الشخصي. لكن عليك أن تحفظ هذه القاعدة. سنبدأ بمثال بسيط يتناول تطبيقها.

أوجد المشتقة الأولى للدالة ﺹ يساوي ثلاثة ﺱ أس خمسة زائد سبعة مضروبًا في سبعة ناقص ثلاثة ﺱ أس خمسة.

لدينا هنا معادلة تتضمن حاصل ضرب دالتين. في هذه الحالة، يمكننا إيجاد مشتقة هذه الدالة عن طريق تطبيق قاعدة حاصل الضرب. تذكر أن هذه القاعدة تنص على أن مشتقة حاصل ضرب الدالتين ﺩ وﺭ تساوي ﺩ في مشتقة ﺭ زائد مشتقة ﺩ في ﺭ. من الجيد دائمًا أن نكتب ما نعرفه عن المقدار الذي نريد اشتقاقه. يمكننا القول إنه حاصل ضرب دالتين. لنفترض أن الدالة الأولى هي ﺩﺱ تساوي ثلاثة ﺱ أس خمسة زائد سبعة. والدالة الثانية هي ﺭﺱ. وهي تساوي سبعة ناقص ثلاثة ﺱ أس خمسة. علينا إيجاد المشتقة الأولى لكل من هاتين الدالتين.

تذكر أن مشتقة المقادير الجبرية البسيطة، مثل ﺃﺱ أس ﻥ، حيث ﺃ وﻥ ثابتان حقيقيان، تساوي ﻥ في ﺃﺱ أس ﻥ ناقص واحد. نضرب في الأس ثم نطرح واحدًا من هذا الأس. وهذا يعني أن مشتقة العدد الثابت تساوي صفرًا، بما أن الثابت — لنفترض مثلًا أنه واحد — هو واحد ﺱ أس صفر. وعندما نضرب في الأس، يكون الناتج صفرًا. هذا يعني أن مشتقة ﺩﺱ تساوي خمسة في ثلاثة ﺱ أس أربعة زائد صفر، وهذا يساوي ١٥ﺱ أس أربعة. بالمثل، مشتقة ﺭﺱ تساوي صفرًا ناقص خمسة في ثلاثة ﺱ أس أربعة، وهذا يساوي سالب ١٥ﺱ أس أربعة.

لنعوض بما لدينا في صيغة قاعدة حاصل الضرب. ‏ ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ثلاثة ﺱ أس خمسة زائد سبعة في سالب ١٥ﺱ أس أربعة زائد ١٥ﺱ أس أربعة في سبعة ناقص ثلاثة ﺱ أس خمسة. بعد ذلك نفك هذه الأقواس عن طريق ضرب كل حد داخلها في الحد الموجود خارجها. وبذلك نحصل على سالب ٤٥ﺱ أس تسعة ناقص ١٠٥ﺱ أس أربعة زائد ١٠٥ﺱ أس أربعة ناقص ٤٥ﺱ أس تسعة. سالب ١٠٥ﺱ أس أربعة زائد ١٠٥ﺱ أس أربعة يساوي صفرًا. نجد أن المشتقة الأولى للدالة هنا تساوي سالب ٩٠ﺱ أس تسعة. ومن المهم أيضًا أن تعلم أنه يمكننا تطبيق هذه القاعدة لإيجاد قيمة المشتقة عند نقطة معينة.

دعونا نر مثالًا على ذلك.

أوجد المشتقة الأولى للدالة ﺩﺱ يساوي تسعة ﺱ تربيع ناقص ﺱ ناقص سبعة في سبعة ﺱ تربيع ناقص ثمانية ﺱ ناقص سبعة عند ﺱ يساوي سالب واحد.

لدينا هنا معادلة تتضمن حاصل ضرب دالتين. في هذه الحالة، يمكننا إيجاد مشتقة هذه الدالة عن طريق تطبيق قاعدة حاصل الضرب. تذكر أن هذه القاعدة تقول إنه يمكننا إيجاد مشتقة حاصل ضرب ﺩ وﺭ عن طريق إيجاد ﺩ في مشتقة ﺭ زائد مشتقة ﺩ في ﺭ. المعادلة التي لدينا هي بالفعل ﺩﺱ. لذا سنقوم بتقسيمها إلى الدالتين ﺭﺱ وﺣﺱ. يمكننا القول إن ﺭﺱ تساوي تسعة ﺱ تربيع ناقص ﺱ ناقص سبعة، وﺣﺱ تساوي سبعة ﺱ تربيع ناقص ثمانية ﺱ ناقص سبعة. ها قد غيرت قاعدة حاصل الضرب. فهذه المرة، تقول القاعدة إن مشتقة ﺭ في ﺣ تساوي ﺭ في مشتقة ﺣ زائد مشتقة ﺭ في ﺣ. هيا نوجد مشتقة ﺭ.

مشتقة تسعة ﺱ تربيع تساوي ١٨ﺱ ومشتقة سالب ﺱ تساوي سالب واحد. إذن، مشتقة ﺭﺱ تساوي ١٨ﺱ ناقص واحد. وبالمثل، مشتقة ﺣﺱ تساوي ١٤ﺱ ناقص ثمانية. لنعوض بما لدينا في صيغة قاعدة حاصل الضرب. إذن مشتقة الدالة ﺩ بالنسبة إلى ﺱ تساوي تسعة ﺱ تربيع ناقص ﺱ ناقص سبعة في ١٤ﺱ ناقص ثمانية زائد سبعة ﺱ تربيع ناقص ثمانية ﺱ ناقص سبعة في ١٨ﺱ ناقص واحد. والآن نفك الأقواس بحرص، ونجمع الحدود المتشابهة. لنحصل على مشتقة ﺩﺱ تساوي ٢٥٢ﺱ تكعيب ناقص ٢٣٧ﺱ تربيع ناقص ٢٠٨ﺱ زائد ٦٣.

لكننا لم ننته بعد. مطلوب إيجاد قيمة المشتقة عند ﺱ يساوي سالب واحد. هذه النقطة على المستوى الديكارتي حيث ﺱ يساوي سالب واحد وﺹ يساوي ٢٤. إذن سنعوض بـ ﺱ يساوي سالب واحد في المشتقة. وبذلك يصبح لدينا ٢٥٢ في سالب واحد تكعيب ناقص ٢٣٧ في سالب واحد تربيع ناقص ٢٠٨ في سالب واحد زائد ٦٣، وهذا يساوي سالب ٢١٨. من المهم أن تتذكر أن هذا يعطينا ميل مماس المنحنى عند النقطة سالب واحد، ٢٤.

في المثال الآتي، سنتناول كيف نطبق قاعدة حاصل الضرب لاشتقاق مقدار هو عبارة عن حاصل ضرب أكثر من دالتين.

تنص قاعدة حاصل الضرب على أن مشتقة ﺩﻉ تساوي مشتقة ﺩ في ﻉ زائد ﺩ في مشتقة ﻉ. استخدم ذلك لاستنتاج صيغة تعبر عن مشتقة ﺩ في ﻉ في ﺣ.

في هذا السؤال، لدينا قاعدة حاصل الضرب ومطلوب أن نستخدمها لإيجاد صيغة لمشتقة حاصل ضرب ثلاث دوال. هذه الدوال هي ﺩ وﻉ وﺣ. سنبدأ بتقسيم ﺩ في ﻉ في ﺣ. ونكتبه على صورة ﺩﻉ في ﺣ. تذكر أن عملية الضرب إبدالية، ولهذا يمكن أن نكتبه على صورة ﺩ في ﻉﺣ وسنحصل على النتيجة نفسها في الحالتين. إذن، يمكننا القول إن مشتقة ﺩﻉﺣ تساوي مشتقة ﺩﻉ في ﺣ.

والآن سنطبق قاعدة حاصل الضرب. ونجد أننا نحصل على مشتقة ﺩﻉ في ﺣ زائد ﺩﻉ في مشتقة ﺣ. ونلاحظ هنا أن الحد الأول هو مشتقة ﺩﻉ. نعلم من خلال تعريف قاعدة حاصل الضرب أن هذا هو نفسه مشتقة ﺩ في ﻉ زائد ﺩ في مشتقة ﻉ. لذلك، سنعوض بذلك في الصيغة التي لدينا. وسنقوم بفك هذه الأقواس.

بعدئذ نجد أن صيغة مشتقة ﺩﻉﺣ تساوي مشتقة ﺩ في ﻉ في ﺣ زائد ﺩ في مشتقة ﻉ في ﺣ زائد ﺩ في ﻉ في مشتقة ﺣ. ربما تفكر أيضًا في تطبيق هذه الفكرة لإيجاد صيغة لمشتقة حاصل ضرب أربع دوال، ولتكن ﺩﻉﺣﻥ.

فيما يلي، سنرى كيف يمكن أن يساعدنا هذا المثال في إيجاد مشتقة مقدار هو حاصل ضرب ثلاث دوال.

أوجد المشتقة الأولى لـ ﺩﺱ يساوي ﺱ أس ثمانية زائد أربعة في ثلاثة ﺱ جذر ﺱ ناقص سبعة في ثلاثة ﺱ جذر ﺱ زائد سبعة عند ﺱ يساوي سالب واحد.

للإجابة عن هذا السؤال، لدينا خياران. يمكن أن نستخدم قاعدة حاصل الضرب مرتين أو نتذكر تعريف مشتقة حاصل ضرب ثلاث دوال. مشتقة ﺩ في ﻉ في ﺣ تساوي مشتقة ﺩ في ﻉ في ﺣ زائد ﺩ في مشتقة ﻉ في ﺣ زائد ﺩ في ﻉ زائد مشتقة ﺣ. وبما أن الدالة التي لدينا هي ﺩﺱ بالفعل، فقد غيرت الدوال في هذه الصيغة لتصبح ﻉ وﻕ وﻱ. دعونا إذن نستكشف ماهية الدوال ﻉ وﻕ وﻱ. يمكننا القول إن ﻉﺱ تساوي ﺱ أس ثمانية زائد أربعة. وﻕﺱ تساوي ثلاثة ﺱ جذر ﺱ ناقص سبعة. وﻱﺱ تساوي ثلاثة ﺱ جذر ﺱ زائد سبعة.

علينا اشتقاق كل دالة من هذه الدوال بالنسبة إلى ﺱ وفقًا لصيغة قاعدة حاصل الضرب لثلاث دوال. مشتقة ﻉ يمكن إيجادها بصورة مباشرة. فهي تساوي ثمانية ﺱ أس سبعة. لكن ماذا عن ﻕ وﻱ؟ حسنًا، يمكننا استخدام قاعدة حاصل الضرب. لكن ببساطة يمكن أن نعيد كتابة كل مقدار من هذه المقادير. نعلم أن الجذر التربيعي لـ ﺱ هو نفسه ﺱ أس نصف. وطبقًا لقوانين الأسس، يمكن أن نبسط هذا المقدار عن طريق جمع الأسس.

وبذلك، يمكن أن نكتب ﻕﺱ على صورة ثلاثة ﺱ أس ثلاثة على اثنين ناقص سبعة، وﻱﺱ يساوي ثلاثة ﺱ أس ثلاثة على اثنين زائد سبعة. وهذا يعني أن مشتقة ﻕ تساوي ثلاثة على اثنين في ثلاثة ﺱ أس نصف أو تسعة على اثنين ﺱ أس نصف. وفي الواقع فإن مشتقة ﻱ مطابقة لذلك.

لدينا الآن كل ما نحتاجه للتعويض في صيغة قاعدة حاصل الضرب. في هذه المرحلة، قد تتسرع بالتعويض مباشرة بـ ﺱ يساوي سالب واحد في المشتقة. لكن لدينا هنا بعض الجذور التي يمكن أن تسبب مشكلة. لذلك، سنقوم بفك كل هذه الأقواس بحذر ونبسط بالكامل. ومن ثم نجد أن مشتقة ﺩﺱ تساوي ٩٩ﺱ أس ١٠ ناقص ٣٩٢ﺱ أس سبعة زائد ١٠٨ﺱ أس اثنين.

يمكننا الآن أن نحسب ذلك عند ﺱ يساوي سالب واحد. نحصل على ٩٩ في سالب واحد أس ١٠ ناقص ٣٩٢ في سالب واحد أس سبعة زائد ١٠٨ في سالب واحد تربيع، وهذا يساوي ٥٩٩.

في المثال الأخير، سنرى كيف نستخدم قاعدة حاصل الضرب لحل مسائل تتضمن نقاطًا حرجة.

أوجد إحداثيات النقاط الحرجة على المنحنى الذي معادلته ﺹ يساوي ﺱ على ١٦ زائد ﺱ تربيع.

نحصل على النقاط الحرجة للمنحنى عندما نساوي المشتقة بالصفر. سنبدأ باشتقاق المعادلة حيث ﺹ دالة في المتغير ﺱ. يمكن أن نبدأ بإعادة كتابة المعادلة على صورة ﺱ في ١٦ زائد ﺱ تربيع أس سالب واحد. والآن يمكننا اشتقاق ذلك باستخدام قاعدة حاصل الضرب. لنفترض أن الدالة الأولى — نسميها ﻉ — تساوي ﺱ. ولنفترض أن الدالة الثانية هي ١٦ زائد ﺱ تربيع أس سالب واحد. من السهل الآن إيجاد مشتقة ﻉ. إنها تساوي واحدًا. لكن سنحتاج إلى استخدام قاعدة السلسلة لاشتقاق ١٦ زائد ﺱ تربيع أس سالب واحد.

سنجعل ﻥ يساوي ١٦ زائد ﺱ تربيع. وباشتقاق ﻥ بالنسبة إلى ﺱ نحصل على اثنين ﺱ. ويمكننا القول الآن إن ﻕ يساوي ﻥ أس سالب واحد. علينا اشتقاق ﻕ بالنسبة إلى ﻥ. وعندما نفعل ذلك، نحصل على سالب ﻥ أس سالب اثنين. مشتقة الدالة ﻕ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﺩﻕ على ﺩﻥ في ﺩﻥ على ﺩﺱ. وهذا يساوي سالب ﻥ أس سالب اثنين في اثنين ﺱ. الآن يمكننا التعويض عن ﻥ بـ ١٦ زائد ﺱ تربيع. وها قد اشتققنا ﻕ بالنسبة إلى ﺱ.

سنفرغ الآن مساحة، ونطبق قاعدة حاصل الضرب. إنها ﻉ مضروبة في مشتقة ﻕ زائد ﻕ مضروبة في مشتقة ﻉ. ثم يمكننا إعادة الكتابة والتبسيط. نقول إن مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ تساوي سالب اثنين ﺱ تربيع على ١٦ زائد ﺱ تربيع الكل تربيع زائد واحد على ١٦ زائد ﺱ تربيع. سنبسط هذا المقدار عن طريق ضرب مقام وبسط الكسر الثاني في ١٦ زائد ﺱ تربيع. وبذلك نحصل على سالب اثنين ﺱ تربيع على ١٦ زائد ﺱ تربيع الكل تربيع زائد ١٦ زائد ﺱ تربيع على ١٦ زائد ﺱ تربيع الكل تربيع.

وبجمع البسطين، نكون قد حصلنا على المشتقة. وهي تساوي سالب ﺱ تربيع زائد ١٦ على ١٦ زائد ﺱ تربيع الكل تربيع. ذكرنا سابقًا أنه يمكننا إيجاد إحداثيات النقاط الحرجة إذا ساوينا المشتقة بالصفر. لذلك سنساوي الكسر سالب ﺱ تربيع زائد ١٦ على ١٦ زائد ﺱ تربيع الكل تربيع بصفر. بعد ذلك، نفكر فيما يجب أن يتحقق لكي يكون ذلك صحيحًا. حسنًا، في الحقيقة مقام هذا الكسر لا يهم. فإذا كان البسط يساوي صفرًا، فإن الكسر بالكامل يساوي صفرًا.

إذن نكتب: سالب ﺱ تربيع زائد ١٦ يساوي صفرًا، ونحل ذلك. نضيف ﺱ تربيع للطرفين لنحصل على ﺱ تربيع يساوي ١٦. بعد ذلك نحسب الجذر التربيعي لطرفي المعادلة، ونتذكر أن نأخذ كلًا من الجذر التربيعي الموجب والسالب للعدد ١٦. وبذلك سيكون لدينا قيمتان لـ ﺱ: موجب وسالب أربعة. إذن، تحدث النقاط الحرجة على المنحنى عند ﺱ يساوي موجب أو سالب أربعة. وسنحتاج إلى التعويض بهاتين القيمتين في المعادلة الأصلية لإيجاد إحداثيات النقاط الحرجة.

عند ﺱ يساوي أربعة، فإن ﺹ يساوي أربعة على ١٦ زائد أربعة تربيع، وهذا يساوي ثمنًا. وعند ﺱ يساوي سالب أربعة، فإن ﺹ يساوي سالب أربعة على ١٦ زائد سالب أربعة تربيع، وهذا يساوي سالب ثمن. إذن، إحداثيات النقطتين الحرجتين على المنحنى الذي معادلته ﺹ يساوي ﺱ على ١٦ زائد ﺱ تربيع هي: أربعة، ثمن، وسالب أربعة، سالب ثمن.

تعلمنا في هذا الفيديو أنه يمكننا تطبيق قاعدة حاصل الضرب لإيجاد مشتقة حاصل ضرب دالتين. وتعلمنا أنه للدالتين ﺩ وﻉ، تكون مشتقة حاصل ضربهما هي ﺩ في مشتقة ﻉ زائد مشتقة ﺩ في ﻉ. وأخيرًا، رأينا أنه في حين يمكننا تطبيق قاعدة حاصل الضرب مرة بعد أخرى، يمكننا أيضًا إيجاد حاصل ضرب ثلاث دوال باستخدام صيغة أخرى.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.