فيديو السؤال: إيجاد احتمال تقاطع حدثين غير مستقلين الإحصاء • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

تحتوي حقيبة على ثماني كرات حمراء وثماني كرات سوداء. إذا سحبت كرتان دون إحلال، فما احتمال أن تكون إحدى الكرتين حمراء والأخرى سوداء؟

أحد المعطيات الأساسية في هذا السؤال هو أن الكرتين سحبتا دون إحلال، وهو ما يعني أن الكرة الأولى لم يتم إرجاعها في الحقيبة قبل اختيار الكرة الثانية. فالكرتان تم سحبهما فعليًّا في الوقت نفسه. وهذا يؤثر على احتمالات الكرة الثانية. وعلينا أن نضع ذلك في اعتبارنا عند الإجابة على السؤال.

يمكننا استخدام مخطط الشجرة البيانية ليساعدنا في تمثيل جميع نواتج ألوان الكرتين. المجموعة الأولى من الفروع خاصة بلون الكرة الأولى، وهو الذي قد يكون أحمر أو أسود، ونرمز لهما بـ ﺣ وﺱ. أما المجموعة الثانية من الفروع، فتخص لون الكرة الثانية، وهو الذي قد يكون أحمر أو أسود. ومن ثم، نجد أن هناك أربعة احتمالات لألوان الكرتين. قد تكون كلتاهما حمراء، أو قد تكون الأولى حمراء والثانية سوداء، أو قد تكون الأولى سوداء والثانية حمراء، أو قد تكون كلتا الكرتين سوداء.

ما يعنينا هو احتمال الحصول على كرة حمراء وكرة سوداء. وبما أنه لم يذكر أن الكرة الحمراء يجب أن تأتي قبل الكرة السوداء، فهذا يعني أننا نركز على الاحتمالين الأوسطين في مخطط الشجرة البيانية؛ أحمر ثم أسود أو أسود ثم أحمر.

علينا كتابة الاحتمالات على مخطط الشجرة نفسه لنتمكن من إيجاد احتمالات هذين الحدثين. الاحتمالات في مجموعة الفروع الأولى واضحة نسبيًّا. في البداية، توجد في الحقيبة ثماني كرات حمراء وثماني كرات سوداء. إذن، إجمالًا، لدينا ١٦ كرة في هذه الحقيبة. توجد ثماني كرات حمراء؛ إذن احتمال اختيار كرة حمراء هو ثمانية على ١٦. وتوجد ثماني كرات سوداء؛ إذن احتمال اختيار كرة سوداء هو ثمانية على ١٦ أيضًا. يمكننا تبسيط هذين الاحتمالين إلى نصف. لكننا لن نفعل ذلك إلى أن نوجد الاحتمالات في المجموعة الثانية من الفروع بمخطط الشجرة البيانية.

النقطة الأساسية هنا هي أنه كانت هناك في البداية ١٦ كرة في الحقيبة. لكن تذكر أن الكرتين سحبتا دون إحلال. إذن، عند اختيار الكرة الثانية، تكون هناك ١٥ كرة فقط في الحقيبة؛ لأننا سحبنا واحدة. إذن، جميع احتمالات مجموعة الفروع الثانية سيكون المقام بها ١٥. لكن البسوط ستختلف بناء على ما حدث. إذا كانت الكرة التي اختيرت أولًا حمراء، فستتبقى سبع كرات حمراء في الحقيبة. إذن، احتمال أن تكون الكرة الثانية حمراء إذا كانت الكرة الأولى حمراء هو سبعة من ١٥. وإذا كانت الكرة الأولى حمراء، فلا تزال هناك ثماني كرات سوداء متبقية في الحقيبة. إذن، احتمال أن تكون الكرة الثانية سوداء إذا كانت الكرة الأولى حمراء هو ثمانية من ١٥.

في مجموعة الفروع الموجودة بالأسفل، إذا اختيرت كرة سوداء أولًا، فستتبقى لدينا ثماني كرات حمراء في الحقيبة. إذن، احتمال أن تكون الكرة الثانية حمراء إذا كانت الكرة الأولى سوداء هو ثمانية على ١٥. حسنًا، لم يتبق سوى سبع كرات سوداء في الحقيبة. إذن، احتمال أن تكون الكرة الثانية سوداء إذا كانت الأولى سوداء هو سبعة من ١٥.

يمكننا ملاحظة أن احتمال أن تكون الكرة الثانية حمراء يختلف حسب لون الكرة الأولى. والآن علينا إيجاد الاحتمالات لهذين الفرعين الأوسطين بمخطط الشجرة البيانية. أي احتمال الحصول على كرة حمراء ثم كرة سوداء، واحتمال الحصول على كرة سوداء ثم كرة حمراء.

لإيجاد هذين الاحتمالين، سنضرب القيم الموضحة على فروع مخطط الشجرة البيانية. إذن، يمكن إيجاد احتمال الحصول على كرة حمراء ثم كرة سوداء بضرب ثمانية على ١٦ في ثمانية على ١٥. سنبسط الاحتمال ثمانية على ١٦ إلى نصف في هذه المرحلة؛ وذلك لأنه يجعل عملية الضرب أسهل كثيرًا. يمكننا أيضًا قسمة العدد اثنين في مقام الكسر الأول والعدد ثمانية في بسط الكسر الثاني على اثنين؛ لنحصل على: واحد على واحد مضروبًا في أربعة على ١٥. يبسط حاصل الضرب هذا إلى أربعة على ١٥. إذن، احتمال الحصول على كرة حمراء ثم كرة سوداء هو أربعة على ١٥.

حسنًا، وفقًا للتماثل، سيكون احتمال الحصول على كرة سوداء ثم كرة حمراء هو نفسه الاحتمال الذي توصلنا إليه عند الحصول على كرة حمراء ثم كرة سوداء. ذلك لأننا علمنا في البداية أن الحالة متطابقة بالنسبة إلى اللونين الأحمر والأسود. إذ توجد ثماني كرات حمراء وثماني كرات سوداء في الحقيبة. لكن يمكننا أن نوضح ذلك بالكتابة على أي حال. احتمال الحصول على كرة سوداء ثم كرة حمراء هو ثمانية على ١٦، وهو ما نبسطه إلى نصف، مضروبًا في ثمانية على ١٥. وكما فعلنا من قبل، سنقسم على اثنين، وسيكون حاصل الضرب أربعة على ١٥.

حسنًا، في هذه المرحلة، لدينا احتمالان منفردان. لكن علينا جمعهما معًا. نلاحظ أننا نبحث عن احتمال الحصول على كرة حمراء ثم كرة سوداء، أو احتمال الحصول على كرة سوداء ثم كرة حمراء. تنص قاعدة «الاتحاد» في الاحتمالات على أنه إذا كان الحدثان ﺃ وﺏ متنافيين؛ أي لا يتقاطعان أو لا يمكن وقوعهما في الوقت نفسه، فإن احتمال وقوع الحدث ﺃ أو الحدث ﺏ يساوي مجموع احتمالاتهما المنفردة؛ أي احتمال وقوع ﺃ زائد احتمال وقوع ﺏ.

حدثا الحصول على كرة حمراء ثم كرة سوداء أو كرة سوداء ثم كرة حمراء هما حدثان متنافيان. إذ يقع أحد الحدثين أولًا. فلا يمكن أن يقع هذان الحدثان في نفس الوقت. إذن، لإيجاد احتمال الحصول على كرة حمراء ثم كرة سوداء أو كرة سوداء ثم كرة حمراء، فإننا نجمع أربعة على ١٥ وأربعة على ١٥. هذان الكسران لهما المقام نفسه. لذلك، سنجمع البسطين، ويصبح لدينا ثمانية على ١٥. وبهذا نكون قد توصلنا إلى أن احتمال الحصول على كرة حمراء وكرة سوداء بأي من الترتيبين يساوي ثمانية على ١٥.