فيديو الدرس: الأحداث المستقلة وغير المستقلة الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحسب احتمالات حدث غير مستقل وآخر مستقل، ونتحقق مما إذا كان الحدثان مستقلين. تذكر أنه في الاحتمال، يكون الحدث هو مجموعة نواتج من تجربة. على سبيل المثال، في حالة إلقاء حجر نرد، يكون الحصول على عدد فردي هو مثالًا على حدث. النواتج التي يتكون منها هذا الحدث هي الأعداد واحد وثلاثة وخمسة. في حالة تدوير القرص الدوار، يكون استقرار القرص الدوار على العدد واحد مثالًا على حدث. هذان الحدثان هما مثالان على حدثين مستقلين.

في هذا الفيديو، سوف نتعرف على سبب ذلك، وكيف يمكننا حساب احتمال وقوع هذين الحدثين باستخدام الصيغة الموضحة على الشاشة. وسنعرض أيضًا صيغة مختلفة يمكننا استخدامها لحساب احتمال وقوع حدثين إذا كانا غير مستقلين. سنتناول الآن ما يعنيه أن يكون حدثان مستقلين. سنفترض أن لدينا الحدثين ﺃ وﺏ. يكون هذان الحدثان مستقلين إذا كان وقوع أحدهما لا يؤثر على احتمال وقوع الآخر. بعبارة أخرى، هذا يعني أنه إذا وقع حدث ما، فإنه لا يجعل وقوع الحدث الآخر أكثر احتمالًا أو أقل احتمالًا.

وبالطريقة نفسها، إذا لم يقع حدث ما، فلن يؤثر على احتمال وقوع الحدث الآخر. على سبيل المثال، افترض أننا نلقي حجر نرد مرتين. رميات حجر النرد المتتالية مستقلة. العدد الذي نحصل عليه في المرة الأولى لا يؤثر على احتمالات العدد الذي نحصل عليه في المرة الثانية. لذا، على سبيل المثال، الحدثان أن يكون العدد الأول فرديًّا والعدد الثاني أوليًّا، هما حدثان مستقلان. حسنًا، لقد قلنا إن الحدثين ﺃ وﺏ يكونان مستقلين إذا كان وقوع أحدهما لا يؤثر على احتمال وقوع الآخر. يمكننا أن نذكر ذلك بطريقة منهجية أكثر بقول إن احتمال وقوع الحدث ﺏ بشرط وقوع الحدث ﺃ يساوي احتمال وقوع الحدث ﺏ. وهذا يعني أن الاحتمال الشرطي لوقوع الحدث ﺏ بشرط وقوع الحدث ﺃ هو نفسه احتمال وقوع الحدث ﺏ.

هذا يساوي احتمال وقوع الحدث ﺏ بشرط عدم وقوع الحدث ﺃ، وينطبق الأمر نفسه بالعكس. احتمال وقوع الحدث ﺃ بشرط وقوع الحدث ﺏ يجب أن يساوي احتمال وقوع الحدث ﺃ. إذا لم يكن أي من هذا صحيحًا، يمكننا القول إن الحدثين ﺃ وﺏ حدثان مستقلان. سنتناول الآن خمسة سيناريوهات مختلفة، وسنتحقق مما إذا كان الحدثان اللذان يعبران عن تلك السيناريوهات مستقلين أو غير مستقلين.

في أي من السيناريوهات الآتية يكون الحدثان ﺃ وﺏ حدثين مستقلين؟ (أ) غادر طالب منزله في طريقه إلى المدرسة. الحدث ﺃ هو وصول الطالب إلى محطة الحافلات في الوقت المحدد من أجل اللحاق بالحافلة، والحدث ﺏ هو الوصول إلى المدرسة في الوقت المحدد. (ب) ألقي حجر نرد. الحدث ﺃ هو الحصول على عدد زوجي، والحدث ﺏ هو الحصول على عدد أولي. (ج) ألقي حجر نرد وعملة معدنية. الحدث ﺃ هو الحصول على العدد ستة على حجر النرد، والحدث ﺏ هو استقرار العملة وظهور وجه الصورة. (د) أخذ طفل قطعتين من الحلوى عشوائيًّا من حقيبة تحتوي على قطع حلوى للمضغ وقطع حلوى هشة. الحدث ﺃ هو الحصول على حلوى المضغ في المرة الأولى، والحدث ﺏ هو الحصول على حلوى هشة في المرة الثانية. (هـ) اختار مدرس طالبين عشوائيًّا من مجموعة تحتوي على خمسة فتيان وخمس فتيات. الحدث ﺃ هو اختيار المدرس فتى في المرة الأولى، والحدث ﺏ هو اختيار المدرس فتاة في المرة الثانية.

تذكر أن الحدثين يكونان مستقلين إذا كان وقوع أحدهما لا يؤثر على احتمال وقوع الآخر. إذن، لتحديد إذا ما كان كل من أزواج الأحداث هذه مستقلًّا، علينا أن نتحقق مما إذا كان وقوع الحدث ﺃ يؤثر على احتمال وقوع الحدث ﺏ. سنتناول السيناريوهات لدينا واحدًا تلو الآخر. في السيناريو الأول، الحدث ﺃ هو وصول الطالب إلى محطة الحافلات في الوقت المحدد من أجل اللحاق بالحافلة، والحدث ﺏ هو وصول الطالب إلى المدرسة في الوقت المحدد. يبدو من المنطقي أن نفترض أن احتمال الوصول إلى المدرسة في الوقت المحدد يزيد بدرجة كبيرة إذا كان الطالب قد لحق بالحافلة؛ وذلك لأن الطالب سيتأخر غالبًا عن المدرسة إذا لم يلحق بالحافلة. ومن ثم، فإن وقوع الحدث ﺃ يؤثر على احتمال وقوع الحدث ﺏ، وهو ما يعني أن هذين الحدثين غير مستقلين.

في السيناريو (ب)، يلقى حجر النرد مرة واحدة فقط، ويشير كلا الحدثين إلى ناتج هذه الرمية الواحدة. الحدث ﺃ هو الحصول على عدد زوجي، والحدث ﺏ هو الحصول على عدد أولي. بافتراض أن حجر النرد هذا ذو ستة أوجه، فإن الحدث ﺃ هو الحصول على أي من النواتج اثنين أو أربعة أو ستة. الحدث ﺏ؛ وهو الحصول على عدد أولي، يعني الحصول على أي من النواتج اثنين أو ثلاثة أو خمسة. بافتراض أن حجر النرد منتظم، أي ستكون جميع احتمالات هذه النتائج متساوية، فإن احتمال الحصول على عدد أولي هو ثلاثة من ستة، وهو ما يمكن تبسيطه إلى واحد على اثنين. ومن ثم، يمكننا القول إن احتمال ﺏ يساوي نصفًا.

والآن إذا افترضنا بدلًا من ذلك أن الحدث ﺃ قد وقع فعلًا، فهذا يعني أننا نعرف بالفعل أن العدد الذي حصلنا عليه هو عدد زوجي. فهو اثنان أو أربعة أو ستة. ما الاحتمال الشرطي الذي يكون فيه العدد أوليًّا؛ أي احتمال وقوع الحدث ﺏ بشرط وقوع الحدث ﺃ؟ حسنًا، نحن نعلم أن العدد لدينا زوجي؛ أي إنه اثنان أو أربعة أو ستة، ومن ثم لكي يكون العدد أوليًّا، لا بد أن يكون العدد هو اثنين. بعبارة أخرى، احتمال الحصول على عدد أولي بشرط أن يكون لدينا عدد زوجي هو نفسه احتمال الحصول على العدد اثنين من مجموعة الأعداد اثنين وأربعة وستة. وهذا واحد من ثلاثة نواتج متساوية الاحتمال. إذن، هذا يساوي ثلثًا. لقد وجدنا إذن أن احتمال وقوع الحدث ﺏ لا يساوي احتمال وقوع الحدث ﺏ بشرط وقوع الحدث ﺃ. إذن، هذان الحدثان غير مستقلين.

والآن، دعونا نتناول السيناريو الثالث. الحدث ﺃ هنا هو ظهور العدد ستة على حجر النرد، والحدث ﺏ هو استقرار العملة المعدنية وظهور وجه الصورة. هيا نفكر في هذا بشكل بديهي. سنفترض أننا حصلنا بالفعل على العدد ستة على حجر النرد. هل سيتغير احتمال استقرار العملة المعدنية وظهور وجه الصورة نتيجة لذلك؟ لا، بالطبع لا. فناتج إلقاء حجر النرد لا يؤثر على ما سيحدث عند إلقاء العملة المعدنية. إذن، لا يزال احتمال استقرار العملة المعدنية وظهور وجه الصورة يساوي نصفًا، دون النظر إلى ما نحصل عليه من إلقاء حجر النرد. هذا يعني أن الحدثين ﺃ وﺏ مستقلان.

علينا التحقق من السيناريوهات المتبقية. في السيناريو (د)، يأخذ الطفل الحلوى من حقيبة. الحدث ﺃ هو الحصول على حلوى المضغ في المرة الأولى، والحدث ﺏ هو الحصول على حلوى هشة في المرة الثانية. لتحديد إذا ما كان هذان الحدثان مستقلين أو لا، علينا أن نعرف إذا ما كان احتمال وقوع الحدث ﺏ يختلف بناء على ما إذا كان الحدث ﺃ قد وقع بالفعل أو لا. نحن لا نعرف عدد قطع الحلوى في الحقيبة، لكننا نعرف أنه عند إخراج الحلوى، يغير الطفل نسب الحصول على حلوى المضغ والحلوى الهشة في الحقيبة. في حالة وقوع الحدث ﺃ؛ أي إن أول قطعة حلوى يأخذها الطفل هي حلوى المضغ، فإن نسبة الحلوى الهشة في الحقيبة ستصبح أكبر مما كانت عليه في البداية.

على الجانب الآخر، إذا كانت الحلوى الأولى التي أخذها الطفل هشة، فعندئذ ستصبح نسبة الحلوى الهشة في الحقيبة أقل. ومن ثم، إذا كانت الحلوى الأولى التي يأخذها الطفل حلوى مضغ، فسيكون احتمال أن يأخذ الطفل حلوى هشة في المرة الثانية أكبر مما إذا كانت الحلوى التي يأخذها الطفل في المرة الأولى حلوى هشة. إذن، وقوع الحدث ﺃ أو عدم وقوعه يؤثر على احتمال وقوع الحدث ﺏ، وهذا يعني أن هذين الحدثين غير مستقلين. السيناريو الأخير يشبه السيناريو السابق. الحدث ﺃ هو اختيار المدرس فتى في المرة الأولى، والحدث ﺏ هو اختيار المدرس فتاة في المرة الثانية. يمكننا استخدام حجة منطقية مماثلة لما فعلناه مع قطع الحلوى. إذا وقع الحدث ﺃ واختار المدرس فتى أولًا، فسيتبقى تسعة من الطلاب، خمسة منهم من الفتيات. هذا يعني أن احتمال وقوع الحدث ﺏ بشرط وقوع الحدث ﺃ يساوي خمسة على تسعة.

ومن ناحية أخرى، إذا لم يقع الحدث ﺃ، فإن هذا يعني أن المدرس لا بد أن يكون قد اختار فتاة أولًا. إذن، سيتبقى تسعة طلاب، لكن أربعة منهم فقط من الفتيات. إذن، احتمال أن يختار المدرس فتاة في المرة الثانية هو أربعة على تسعة. وعليه، فإن احتمال وقوع الحدث ﺏ بشرط وقوع الحدث ﺃ مختلف عن احتمال وقوع الحدث ﺏ بشرط عدم وقوع ﺃ. هذا يعني أن وقوع الحدث ﺃ أو عدم وقوعه يؤثر على احتمال وقوع الحدث ﺏ. إذن الحدثان الموضحان في السيناريو (هـ) هما أيضًا حدثان غير مستقلين. إذن، لدينا حالة واحدة فقط من السيناريوهات الخمسة تعبر عن أحداث مستقلة؛ وهي السيناريو (ج).

حسنًا، لقد تناولنا العديد من السيناريوهات لمساعدتنا على فهم الفرق بين الأحداث المستقلة وغير المستقلة. سنتعرف الآن على كيفية حساب احتمال وقوع حدثين معًا، وعلينا أن نحرص على التمييز إذا ما كان الحدثان مستقلين أو غير مستقلين. إذا أوضحنا الحدثين ﺃ وﺏ على شكل فن، فإن احتمال وقوع الحدثين ﺃ وﺏ معًا يمثله التداخل أو التقاطع بين الدائرتين اللتين تمثلان الحدث ﺃ والحدث ﺏ. علينا أن نتذكر صيغة الاحتمال الشرطي، والتي تخبرنا أن الاحتمال الشرطي للحدث ﺏ الذي يقع بشرط وقوع الحدث ﺃ يساوي احتمال وقوع الحدثين ﺃ وﺏ مقسومًا على احتمال وقوع الحدث ﺃ. وهذا هو احتمال ﺃ تقاطع ﺏ على احتمال ﺃ.

ينطبق هذا على جميع أزواج الأحداث ﺃ وﺏ حيث احتمال ﺃ لا يساوي صفرًا، بغض النظر عما إذا كان الحدثان مستقلين أو غير مستقلين. يمكننا إعادة ترتيب هذه الصيغة بضرب طرفي المعادلة في احتمال ﺃ ليصبح لدينا احتمال ﺃ مضروبًا في احتمال ﺏ بشرط وقوع ﺃ يساوي احتمال ﺃ تقاطع ﺏ. ويمكننا كتابة الطرفين بالعكس. وتعرف هذه القاعدة باسم «قاعدة الضرب العامة». وهي تنطبق على أي حدثين ﺃ وﺏ سواء أكانا مستقلين أم غير مستقلين. لكننا نعلم أنه في الأحداث المستقلة، وقوع الحدث ﺃ أو عدم وقوعه ليس له تأثير على احتمال وقوع الحدث ﺏ. إذن، احتمال ﺏ بشرط وقوع ﺃ يساوي احتمال ﺏ.

هذا يؤدي إلى وضع قواعد ضرب للأحداث المستقلة تحديدًا. إذا كان الحدثان ﺃ وﺏ مستقلين، فإن احتمال ﺃ تقاطع ﺏ يساوي احتمال ﺃ مضروبًا في احتمال ﺏ. تنطبق هذه القاعدة في كلا الاتجاهين. ويمكننا استخدامها لحساب احتمال وقوع حدثين مستقلين إذا عرفنا احتمال وقوع كل منهما على حدة. أو إذا عرفنا هذه الاحتمالات الثلاثة، فيمكننا استخدام هذه الصيغة كاختبار لتحديد إذا ما كان الحدثان مستقلين أو لا. إذا حققت الاحتمالات هذه القاعدة، فسيكون الحدثان مستقلين. لكن إذا لم تحققها، فهما عندئذ غير مستقلين. سنتناول الآن مثالًا نستخدم فيه الاحتمالات الموضحة على شكل فن لتحديد إذا ما كان الحدثان مستقلين أو غير مستقلين.

في فضاء العينة ﻑ، تمثل الاحتمالات الموضحة نواتج وقوع الحدثين ﺃ وﺏ. هل الحدثان ﺃ وﺏ مستقلان؟

دعونا نبدأ بتذكر قاعدة الضرب للأحداث المستقلة. إذا كان الحدثان ﺃ وﺏ مستقلين، فإن احتمال تقاطع ﺃ وﺏ يساوي احتمال ﺃ مضروبًا في احتمال ﺏ. يمكننا تحديد كل احتمال من هذه الاحتمالات من مخطط فن، ثم التحقق مما إذا كانت هذه الاحتمالات تحقق قاعدة الضرب للأحداث المستقلة. احتمال تقاطع ﺃ وﺏ هو الاحتمال المكتوب في تقاطع الدائرتين. إنه خمسة على ١٩. احتمال وقوع الحدث ﺃ هو إجمالي الاحتمالات في الدائرة التي تمثل الحدث ﺃ. وهذا يعني أربعة على ١٩ وخمسة على ١٩، ومن ثم فإن الاحتمال الكلي لوقوع الحدث ﺃ يساوي تسعة على ١٩.

بالنسبة إلى الحدث ﺏ، الاحتمال الكلي يساوي خمسة على ١٩ زائد خمسة على ١٩، وهو ما يساوي ١٠ على ١٩. والآن سنوجد حاصل ضرب احتمال ﺃ في احتمال ﺏ. احتمال ﺃ مضروبًا في احتمال ﺏ يساوي تسعة على ١٩ مضروبًا في ١٠ على ١٩. هذا يساوي ٩٠ على ٣٦١، وهو ما لا يمكن تبسيطه أكثر من ذلك. وبما أن هذا الناتج لا يمكن تبسيطه، فسيكون واضحًا أنه لا يساوي خمسة على ١٩. لكن علينا هنا توضيح شيء بخصوص ذلك؛ وهو أن بإمكاننا كتابة الاحتمال خمسة على ١٩ في صورة كسر مكافئ يساوي ٩٥ على ٣٦١. وبذلك نكون قد وجدنا أن احتمال تقاطع ﺃ وﺏ لا يساوي احتمال ﺃ مضروبًا في احتمال ﺏ. إذن، على عكس قاعدة الضرب للأحداث المستقلة، هذا يعني أن ﺃ وﺏ ليسا حدثين مستقلين. إذن، إجابتنا عن السؤال هي لا.

سنتناول الآن مثالًا أخيرًا نحسب فيه احتمال تقاطع حدثين. علينا أن نحرص هنا على تحديد إذا ما كان الحدثان مستقلين أو غير مستقلين.

تحتوي حقيبة على ١٨ كرة بيضاء وتسع كرات سوداء. إذا سحبت كرتان على التوالي دون إحلال، فما احتمال أن تكون الكرة الثانية سوداء والأولى بيضاء؟

هيا نستخدم ﺃ لتمثيل الحدث أن تكون الكرة الأولى بيضاء، وﺏ لتمثيل الحدث أن تكون الكرة الثانية سوداء. مطلوب منا في هذا السؤال تحديد احتمال وقوع هذين الحدثين. هذا يعني أننا نبحث عن احتمال تقاطع الحدثين ﺃ وﺏ. والآن، عند قراءة السؤال جيدًا، نلاحظ أن الكرة الثانية اختيرت دون إحلال الكرة الأولى. وهذا يعني أن الشروط التي نختار فيها الكرة الثانية تختلف عن الشروط التي نختار فيها الكرة الأولى. ومن ثم، فإن الحدثين غير مستقلين.

دعونا نسترجع قاعدة الضرب العامة. احتمال تقاطع الحدثين ﺃ وﺏ يساوي احتمال ﺃ مضروبًا في احتمال ﺏ بشرط وقوع الحدث ﺃ. سنفكر الآن في الاحتمالات التي نحتاجها. أولًا، احتمال وقوع الحدث ﺃ؛ أي احتمال أن تكون الكرة الأولى بيضاء. حسنًا، في البداية، هناك ١٨ كرة بيضاء وتسع كرات سوداء في الحقيبة. وبما أنه من المحتمل أن نختار أي كرة، فإن احتمال أن تكون الكرة الأولى التي نختارها بيضاء هو ١٨ على ١٨ زائد تسعة. هذا هو عدد الكرات البيضاء على إجمالي عدد الكرات في الحقيبة. هذا يعطينا ١٨ على ٢٧؛ وهو ما يبسط إلى ثلثين.

والآن سنفكر في احتمال وقوع الحدث الثاني. لقد أوضحنا بالفعل أن هذين الحدثين غير مستقلين، لذا نحتاج إلى الاحتمال الشرطي للحدث ﺏ بشرط وقوع الحدث ﺃ؛ أي احتمال أن تكون الكرة الثانية سوداء بشرط أن تكون الكرة الأولى بيضاء. حسنًا، بغض النظر عن لون الكرة الأولى، أخذت كرة واحدة من الحقيبة. هذا يعني أن إجمالي عدد الكرات المتبقية في الحقيبة أصبح أقل بمقدار واحد. إذن، إجمالي عدد الكرات أصبح ٢٦ كرة. إذا وقع الحدث ﺃ؛ أي كانت الكرة الأولى التي أخذناها كرة بيضاء، فلن يتغير عدد الكرات السوداء في الحقيبة. لذا، ما زالت توجد تسع كرات سوداء.

ومن ثم، فإن احتمال أن تكون الكرة الثانية سوداء بشرط أن الكرة الأولى كانت بيضاء هو تسعة من ٢٦. يمكننا الآن التعويض بهذين الاحتمالين في قاعدة الضرب العامة، وسنجد أن احتمال تقاطع ﺃ وﺏ يساوي ثلثين مضروبًا في تسعة على ٢٦. يمكننا حذف العامل ثلاثة من العددين ثلاثة وتسعة، والعامل اثنين من العددين اثنين و٢٦. ويتبقى لدينا واحد مضروبًا في ثلاثة على واحد مضروبًا في ١٣، وهو ما يساوي ثلاثة على ١٣. إذن، باستخدام قاعدة الضرب العامة، وجدنا أن احتمال أن تكون الكرة الثانية سوداء والكرة الأولى بيضاء يساوي ثلاثة على ١٣.

دعونا الآن نلخص النقاط الرئيسية في هذا الفيديو. يكون الحدثان ﺃ وﺏ مستقلين إذا كان وقوع الحدث الأول لا يؤثر على احتمال وقوع الحدث الآخر. وباستخدام ترميز الاحتمال، يمكننا التعبير عن ذلك هكذا؛ يكون الحدثان ﺃ وﺏ مستقلين إذا كان الاحتمال الشرطي للحدث ﺏ بشرط وقوع الحدث ﺃ يساوي احتمال وقوع ﺏ. والعكس صحيح، الاحتمال الشرطي للحدث ﺃ بشرط وقوع الحدث ﺏ يجب أن يساوي احتمال وقوع ﺃ.

تنص قاعدة الضرب العامة على أنه لأي حدثين ﺃ وﺏ — بغض النظر عما إذا كانا مستقلين أو غير مستقلين — فإن احتمال تقاطع الحدثين ﺃ وﺏ؛ أي احتمال وقوع كلا الحدثين ﺃ وﺏ، يساوي احتمال وقوع الحدث ﺃ مضروبًا في الاحتمال الشرطي للحدث ﺏ بشرط وقوع الحدث ﺃ. وأخيرًا، قاعدة الضرب للأحداث المستقلة. لا يكون الحدثان ﺃ وﺏ مستقلين إلا إذا كان احتمال تقاطع ﺃ وﺏ يساوي احتمال وقوع ﺃ مضروبًا في احتمال وقوع ﺏ. وتذكر أن هذه القاعدة تنطبق في الاتجاهين. ويمكننا استخدامها لحساب احتمال تقاطع حدثين مستقلين، أو إذا عرفنا هذه الاحتمالات الثلاثة، يمكننا استخدامها لمعرفة إذا ما كان حدثان مستقلين أو لا.