تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: الأحداث المستقلة وغير المستقلة الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نحسب احتمالات الأحداث غير المستقلة والأحداث المستقلة، وكذلك نتحقَّق إذا ما كان حدثان مستقلَّيْن.

نبدأ بتذكُّر التعريف الآتي.

تعريف: الأحداث المستقلة وغير المستقلة

يكون الحدثان 󰏡، 𞸁 مستقلَّيْن إذا كان وقوع 󰏡 لا يؤثِّر على احتمال وقوع 𞸁. أي إن: 𞸋󰁓𞸁󰏡󰁒=𞸋(𞸁)، حيث يمثِّل 𞸋󰁓𞸁󰏡󰁒 احتمال وقوع الحدث 𞸁، بشرط وقوع الحدث 󰏡 بالفعل.

إذا لم يتحقَّق الشرط السابق، فإننا نقول إن 󰏡، 𞸁 حدثان غير مستقلَّيْن. على سبيل المثال، إذا ألقينا حجر نرد مرتين، فسيكون ظهور عدد زوجي في الرمية الأولى وظهور العدد ٤ في الرمية الثانية حدثين مستقلَّيْن؛ لأن حقيقة ظهور عدد زوجي في الرمية الأولى لا تزيد أو تنقص من فرصة ظهور العدد ٤ في الرمية الثانية. من ناحية أخرى، ظهور عدد زوجي وظهور العدد ٤ في الرمية نفسها حدثان غير مستقلَّيْن؛ لأن ظهور عدد زوجي يُضاعِف فرصة ظهور العدد ٤.

دعونا نتناول بعض السيناريوهات في المثال الأول، ونتحقَّق إذا ما كانت تَصِف أحداثًا غير مستقلة أو مستقلة باستخدام التعريف.

مثال ١: تحديد السيناريوهات التي تمثِّل الأحداث المستقلة

في أيٍّ من السيناريوهات الآتية يكون الحدثان 󰏡، 𞸁 حدثين مستقلَّيْن؟

  1. غادر طالب — أو طالبة — منزله في طريقه إلى المدرسة. الحدث 󰏡 يمثِّل وصوله — أو وصولها — إلى محطة الحافلات في الوقت المُحدَّد من أجل اللحاق بالحافلة، والحدث 𞸁 يمثِّل الوصول إلى المدرسة في الوقت المُحدَّد.
  2. أُلقِيَ حجر نرد. الحدث 󰏡 يمثِّل الحصول على عدد زوجي، والحدث 𞸁 يمثِّل الحصول على عدد أوَّلي.
  3. أُلقِيَ حجر نرد وعُملة معدنية. الحدث 󰏡 يمثِّل الحصول على العدد ٦ على حجر النرد، والحدث 𞸁 يمثِّل استقرار العُملة وظهور وجه الصورة.
  4. أخذ طفل قطعتَيْن من الحلوى عشوائيًّا من حقيبة تحتوي على قطع حلوى للمضغ، وقطع حلوى مقرمشة. الحدث 󰏡 يمثِّل الحصول على حلوى للمضغ في المرة الأولى، والحدث 𞸁 يمثِّل الحصول على حلوى مقرمشة في المرة الثانية.
  5. اختار مدرسٌ طالبَيْن عشوائيًّا من مجموعة تحتوي على خمسة فتيان وخمس فتيات. الحدث 󰏡 يمثِّل اختيار المدرس فتًى في المرة الأولى، والحدث 𞸁 يمثِّل اختيار المدرس فتاة في المرة الثانية.

الحل

نحن نتذكَّر أن الحدثين 󰏡، 𞸁 يكونان مستقلَّيْن إذا كان وقوع 󰏡 لا يؤثِّر على احتمال وقوع 𞸁. لتحديد إذا ما كان الحدثان 󰏡، 𞸁 مستقلَّيْن أو غير مستقلَّيْن، علينا التحقُّق من تغيُّر احتمال وقوع 𞸁 عندما نفترض وقوع 󰏡 بالفعل. هيا نفكِّر في كل سيناريو باستخدام التعريف.

  1. الحدث 󰏡 يمثِّل وصول الطالب إلى محطة الحافلات في الوقت المحدَّد من أجل اللحاق بالحافلة، والحدث 𞸁 يمثِّل وصول الطالب إلى المدرسة في الوقت المحدَّد. نفترض أن احتمال الوصول إلى المدرسة في الوقت المحدَّد يزيد بدرجة كبيرة إذا كان الطالب قد لحق بالحافلة؛ لأن الطالب سيتأخَّر غالبًا عن المدرسة إذا لم يلحق بالحافلة. من ثَمَّ، فإن وقوع الحدث 󰏡 يؤثِّر على احتمال وقوع الحدث 𞸁، وهو ما يعني أن الحدثين غير مستقلَّيْن.
  2. الحدث 󰏡 يمثِّل الحصول على عدد زوجي {٢،٤،٦}، أما الحدث 𞸁 فيمثِّل الحصول على عدد أوَّلي {٢،٣،٥}. احتمال الحصول على عدد أوَّلي هو 𞸋(𞸁)=١٢؛ لأن هناك ٣ أعداد أوَّلية من أصل ٦ نواتج متساوية الاحتمال. على الجانب الآخر، إذا افترضنا أننا حصلنا على عدد زوجي، فلا بد أن يكون هذا العدد الذي حصلنا عليه هو ٢ ليكون عددًا أوَّليًّا. بعبارةٍ أخرى، الحدث 𞸁 بشرط وقوع الحدث 󰏡 يمثِّل الحصول على ٢ من {٢،٤،٦}. إذن، 𞸋󰁓𞸁󰏡󰁒=١٣. وبما أن 𞸋󰁓𞸁󰏡󰁒𞸋(𞸁)، إذن الحدثان غير مستقلَّيْن.
  3. الحدث 󰏡 يمثِّل ظهور العدد ٦ على حجر النرد، والحدث 𞸁 يمثِّل استقرار العُملة المعدنية على وجه الصورة. نفترض أننا حصلنا بالفعل على العدد ٦ على حجر النرد. هل يتغيَّر احتمال استقرار العُملة المعدنية على وجه الصورة؟ لا؛ فاحتمال وقوع هذا الحدث لا يزال ١٢ دون النظر إلى ما نحصل عليه من إلقاء حجر النرد. إذن 󰏡، 𞸁 حدثان مستقلان.
  4. الحدث 󰏡 يمثِّل حصول الطفل على حلوى المضغ في المرة الأولى، والحدث 𞸁 يمثِّل حصوله على الحلوى المقرمشة في المرة الثانية. لتحديد إذا ما كان الحدثان مستقلَّيْن، علينا معرفة إذا ما كانت قيمة احتمال حدوث 𞸁 تختلف بناءً على وقوع الحدث 󰏡 أو عدم وقوعه. نفترض أن الحقيبة كان بها في البداية قطعة حلوى مضغ واحدة، وقطعة حلوى مقرمشة واحدة. إذا أخذ الطفل حلوى المضغ عند الاختيار أول مرة، فإننا نقول إن الحدث 󰏡 قد وقع. وبما أن هذه الحلوى ستظل خارج الحقيبة وسيتم الاختيار بعد ذلك ممَّا تبقى بداخل الحقيبة، فمن المؤكد أنه سيتم اختيار الحلوى المقرمشة في المرة الثانية، إذن 𞸋󰁓𞸁󰏡󰁒=١. إذا أخذ الطفل الحلوى المقرمشة أولًا، فإننا نقول إن الحدث 󰏡 لم يقع، وفي هذه الحالة من المستحيل أن يختار الطفل حلوى مقرمشة في المرة الثانية؛ وذلك لأنه لم يتبقَّ في الحقيبة سوى حلوى المضغ، إذن 𞸋󰁓𞸁󰏡󰁒=٠󰍱. وبما أن قيمة احتمال وقوع الحدث 𞸁 تختلف عند وقوع الحدث 󰏡 عن قيمته عند عدم وقوع الحدث 󰏡، إذن الحدث 𞸁 يعتمد على الحدث 󰏡. إذن الحدثان 󰏡، 𞸁 غير مستقلَّيْن.
  5. هذه الحالة تشبه الحالة السابقة الموجودة في د، واحتمال اختيار فتاة في المرة الثانية يعتمد على إذا ما تم اختيار فتاة أو فتى في المرة الأولى؛ فالمجموعة المتبقية للاختيار الثاني ستكون مختلفة التكوين اعتمادًا على إذا ما تم اختيار فتى أو فتاة أولًا. إذا وقع الحدث 󰏡، إذن سيكون هناك ٤ فتيان و٥ فتيات للاختيار الثاني، ويصبح بذلك 𞸋󰁓𞸁󰏡󰁒=٥٩. لكن إذا لم يقع الحدث 󰏡، فسيكون هناك ٥ فتيان و٤ فتيات للاختيار الثاني، ويصبح بذلك 𞸋󰁓𞸁󰏡󰁒=٤٩󰍱. إذن الحدثان غير مستقلَّيْن.

وبناءً على ذلك، فإن الإجابة الصحيحة هي جـ.

في المثال التالي، سنستخدم مخطَّط الشجرة البيانية للاحتمالات لتحديد إذا ما كانت الأحداث مستقلة أو لا.

مثال ٢: استخدام مخطَّط الشجرة البيانية للاحتمالات لتحديد هل الأحداث مستقلة أو لا

تحتوي حقيبة على ٥ قِطع حلوى حمراء و٤ قِطع حلوى زرقاء. نأخذ قطعة عشوائية، ونُلاحِظ لونها، ونأكلها. نُكرِّر هذه العملية بعد ذلك مع قطعة أخرى. يوضِّح الشكل التالي شجرة الاحتمالات المرتبطة بهذه المسألة. هل «الحصول على قطعة حلوى زرقاء أولًا» ثم «الحصول على قطعة حلوى حمراء ثانيًا» حدثان مستقلان؟

الحل

نحن نتذكَّر أن الحدثين 󰏡، 𞸁 يكونان مستقلَّيْن إذا كان وقوع 󰏡 لا يؤثِّر على احتمال وقوع 𞸁. لتحديد إذا ما كان الحدثان 󰏡، 𞸁 مستقلَّيْن أو لا، يجب أن نتحقَّق إذا ما كان احتمال وقوع 𞸁 سيتغيَّر اعتمادًا على نتيجة وقوع 󰏡 أو لا.

إذا أخذنا قطعة حلوى زرقاء أولًا، فإن احتمال الحصول على قطعة حلوى حمراء ثانيًا يُعطَى بالفروع السفلية لمخطَّط الشجرة البيانية للاحتمالات.

إذن يصبح لدينا: 𞸋󰁓󰁒=٥٨.الىاءًالىزرءأوً

على الجانب الآخر، احتمال الحصول على قطعة حلوى حمراء ثانيًا، دون النظر إلى ما اختير أولًا، هو نفسه احتمال الحصول على قطعة حلوى حمراء أولًا. وهذا لأن ترتيب الاختيار لا يؤثِّر على احتماله، إلا إذا افترضنا شرطًا في الخيار السابق. نلاحظ فيما يلي احتمال الحصول على قطعة حلوى حمراء أولًا.

وهذا يساوي احتمال الحصول على قطعة حلوى حمراء ثانيًا؛ ومن ثَمَّ، يصبح لدينا: 𞸋󰁓󰁒=٥٩.الىاءً

وهذا يُعطينا: 𞸋󰁓󰁒𞸋󰁓󰁒.الىاءًالىزرءأوًالىاءً

وبما أن احتمال «الحصول على قطعة حلوى حمراء ثانيًا» يتغيَّر عندما نفترض أننا نحصل على قطعة حلوى زرقاء أولًا، إذن الحدثان غير مستقلَّيْن.

نتذكَّر من ذلك أننا نحسب الاحتمال الشرطي باستخدام الصيغة:

𞸋󰁓𞸁󰏡󰁒=𞸋(󰏡𞸁)𞸋(󰏡).()١

ونعرف أيضًا أن 𞸋󰁓𞸁󰏡󰁒=𞸋(𞸁) بالنسبة إلى الحدثين المستقلَّيْن. بالتعويض بذلك في الصيغة الموضَّحة سابقًا وإعادة ترتيبها، نحصل على: 𞸋(󰏡)×𞸋(𞸁)=𞸋(󰏡𞸁).

يَنتج عن هذا النظرية الآتية.

نظرية: قاعدة الضرب للأحداث المستقلة

يكون الحدثان 󰏡، 𞸁 مستقلَّيْن إذا — وإذا فقط — كان: 𞸋(󰏡𞸁)=𞸋(󰏡)×𞸋(𞸁)، حيث 󰏡𞸁 يمثِّل حدث وقوع الحدثين 󰏡، 𞸁 في آنٍ واحد.

في المثال التالي، سنستخدم هذه النظرية لتوضيح أن أيَّ حدثين متنافيين احتمالاهما لا يساويان صفرًا، لا يمكن أن يكونا مستقلَّيْن.

مثال ٣: الأحداث المتنافية والأحداث المستقلة

إذا كان 𞸋(󰏡)=٣٫٠، 𞸋(𞸁)=٥٢٫٠، 󰏡𞸁=، فهل 󰏡، 𞸁 حدثان مستقلان؟

الحل

نحن نتذكَّر أنه إذا كان الحدثان 󰏡، 𞸁 مستقلَّيْن، فإن: 𞸋(󰏡𞸁)=𞸋(󰏡)×𞸋(𞸁).

علمنا من المعطيات أن 󰏡𞸁=، وهو ما يعني أنهما متنافيان. بعبارة أخرى، لا يمكن وقوع الحدثين في الوقت نفسه. ونتذكَّر أن احتمال المجموعة الخالية يساوي صفرًا، إذن: 𞸋(󰏡𞸁)=𞸋()=٠.

على الجانب الآخر، يمكننا حساب: 𞸋(󰏡)×𞸋(𞸁)=٣٫٠×٥٢٫٠=٥٧٠٫٠.

وبما أن 𞸋(󰏡𞸁)𞸋(󰏡)×𞸋(𞸁)، إذن 󰏡، 𞸁 حدثان غير مستقلَّيْن.

يوضِّح المثال السابق حقيقة عامة، وهي أن أي حدثين متنافيين احتمالاهما لا يساويان صفرًا، لا يمكن أن يكونا مستقلَّيْن. وهذا منطقي بالتجربة؛ لأنه إذا كان الحدثان 󰏡، 𞸁 متنافيين، فإن 󰏡، 𞸁 لا يمكن وقوعهما في آنٍ واحد. من ثَمَّ، إذا افترضنا أن الحدث 󰏡 قد وقع بالفعل، فهذا ينفي احتمالية وقوع الحدث 𞸁. بعبارة أخرى، تؤثِّر نتيجة وقوع 󰏡 على نتيجة وقوع 𞸁، وهو ما يجعلهما غير مستقلَّيْن.

في المثال التالي، سنستخدم الاحتمالات المُعطاة في شكل فِن، لنحدِّد هل الحدثان مستقلان أم لا.

مثال ٤: استخدام الاحتمالات في شكل فِن لتحديد هل الحدثان مستقلان أم لا

في فضاء العيِّنة 𞸐، تمثِّل الاحتمالات الموضَّحة توافيق وقوع الحدثين 󰏡، 𞸁. هل الحدثان 󰏡، 𞸁 مستقلان؟

الحل

نحن نتذكَّر أن الحدثين 󰏡، 𞸁 يكونان مستقلَّيْن إذا كان: 𞸋(󰏡𞸁)=𞸋(󰏡)×𞸋(𞸁).

احتمال التقاطع، 󰏡𞸁، موضَّح كالآتي:

هذا يُعطينا: 𞸋(󰏡𞸁)=٥٩١.

يتحدَّد احتمال 󰏡 بمجموع الاحتمالين الموضَّحين في الشكل الآتي:

وهذا يُعطينا: 𞸋(󰏡)=٤٩١+٥٩١=٩٩١.

وأخيرًا، يمكننا حساب احتمال 𞸁 بإيجاد مجموع الاحتمالين الموضَّحين في الآتي:

وهذا يُعطينا: 𞸋(𞸁)=٥٩١+٥٩١=٠١٩١.

باستخدام هذه القيم، يمكننا التحقُّق من الشرط 𞸋(󰏡𞸁)=𞸋(󰏡)×𞸋(𞸁): 𞸋(󰏡)×𞸋(𞸁)=٩٩١×٠١٩١=٠٩١٦٣، وهو ما لا يساوي 𞸋(󰏡𞸁)=٥٩١.

إذن الإجابة لا؛ الحدثان 󰏡، 𞸁 غير مستقلَّيْن.

في المثال التالي، نطبِّق قاعدة الضرب للأحداث المستقلة لحساب احتمال التقاطع.

مثال ٥: إيجاد احتمال تقاطع الأحداث المستقلة

إناء به كرات يحتوي على ٤ كرات زرقاء، و٥ كرات حمراء، وكرة خضراء، وكرتين سوداوين. اختيرت كرة عشوائيًّا من الإناء. بعد إحلالها، اختيرت كرة أخرى. أوجد احتمال أن تكون الأولى زرقاء والثانية حمراء.

الحل

علينا إيجاد احتمال أن تكون الكرة الأولى زرقاء والثانية حمراء. نجعل 󰏡 يمثِّل حدث أن تكون الكرة الأولى زرقاء، ونجعل 𞸁 يمثِّل حدث أن تكون الكرة الثانية حمراء. باستخدام ترميز الاحتمال، علينا تحديد 𞸋(󰏡𞸁).

نلاحظ أن الكرة الأولى تم إحلالها قبل اختيار الكرة الثانية. وهذا يعني أن شرطَي اختيار الكرة الثانية واختيار الكرة الأولى متطابقان. نتيجة الاختيار الأول لا تؤثِّر على احتمال الاختيار الثاني؛ لذلك يكون الحدثان 󰏡، 𞸁 مستقلَّيْن. هيا نرسم مخطَّط الشجرة البيانية الذي يَصِف هذا المثال.

نلاحظ أن مجموعة الفروع الثانية لها احتمالات مجموعة الفروع الأولى نفسها. هذا لأن الكرة الأولى المختارة وُضِعت مرةً أخرى في الإناء قبل اختيار الكرة الثانية، وهو ما يُعيد فضاء العيِّنة إلى الوضع الأصلي.

نتذكَّر أنه إذا كان الحدثان 󰏡، 𞸁 مستقلَّيْن، فإن قاعدة الضرب تنص على أن: 𞸋(󰏡𞸁)=𞸋(󰏡)×𞸋(𞸁).

هيا نحسب 𞸋(󰏡)، 𞸋(𞸁) من شجرة الاحتمالات.

إذن نحصل على 𞸋(󰏡)=٤٢١=١٣، 𞸋(𞸁)=٥٢١. يمكننا تطبيق قاعدة الضرب، لنحصل على: 𞸋(󰏡𞸁)=𞸋(󰏡)×𞸋(𞸁)=١٣×٥٢١=٥٦٣.

إذن احتمال أن تكون الكرة الأولى زرقاء والثانية حمراء هو ٥٦٣.

إذا كان الحدثان 󰏡، 𞸁 غير مستقلَّيْن، فستطبَّق صورة مختلفة قليلًا لقاعدة الضرب. يمكننا الحصول على هذه الصورة بإعادة ترتيب المعادلة (١).

نظرية: قاعدة الضرب العامة

إذا كان الحدثان 󰏡، 𞸁 غير مستقلَّيْن، فإن: 𞸋(󰏡𞸁)=𞸋󰁓𞸁󰏡󰁒×𞸋(󰏡).

في المثال الأخير، سنطبِّق قاعدة الضرب العامة لحساب احتمال التقاطع.

مثال ٦: إيجاد احتمال تقاطع حدثين غير مستقلَّيْن

تحتوي حقيبة على ١٨ كرة بيضاء و٩ كرات سوداء. إذا سُحِبت كرتان على التوالي دون إحلال، فما احتمال أن تكون الكرة الثانية سوداء والأولى بيضاء؟

الحل

علينا إيجاد احتمال أن تكون الكرة الأولى بيضاء والثانية سوداء. نجعل 󰏡 يمثِّل حدث أن تكون الكرة الأولى بيضاء، ونجعل 𞸁 يمثِّل حدث أن تكون الكرة الثانية سوداء. باستخدام ترميز الاحتمال، علينا تحديد 𞸋(󰏡𞸁).

نلاحِظ أن الكرة الثانية اختيرت دون إحلال الكرة الأولى. لهذا السبب، يختلف شرط اختيار الكرة الثانية عن شرط اختيار الكرة الأولى. بعبارة أخرى، تؤثِّر نتيجة وقوع الحدث الأول على احتمال وقوع الحدث الثاني. إذن الحدثان 󰏡، 𞸁 غير مستقلَّيْن.

نحن نتذكَّر أنه إذا كان الحدثان 󰏡، 𞸁 غير مستقلَّيْن، فإن قاعدة الضرب العامة تنص على أن: 𞸋(󰏡𞸁)=𞸋󰁓𞸁󰏡󰁒×𞸋(󰏡).

هيا نحسب 𞸋(󰏡)، 𞸋󰁓𞸁󰏡󰁒.

في البداية، يوجد ١٨ كرة بيضاء من أصل ٢٧ كرة في الحقيبة، إذن احتمال اختيار الكرة البيضاء أولًا هو: 𞸋(󰏡)=٨١٧٢=٢٣.

بعد ذلك، نفكِّر في 𞸋󰁓𞸁󰏡󰁒. إذا افترضنا أن الحدث 󰏡 قد وقع، فإننا نفترض أن كرة بيضاء قد أُخِذت من الحقيبة قبل اختيار الكرة الثانية. بذلك يتبقَّى ١٧ كرة بيضاء و٩ كرات سوداء للاختيار الثاني. إذن: 𞸋󰁓𞸁󰏡󰁒=٩٦٢.

يمكننا رسم مخطَّط الشجرة البيانية للاحتمالات بهاتين القيمتين.

بتطبيق قاعدة الضرب العامة، يكون احتمال التقاطع هو: 𞸋(󰏡𞸁)=𞸋󰁓𞸁󰏡󰁒×𞸋(󰏡)=٩٦٢×٢٣=٣٣١.

نلاحِظ أنه عندما نستخدم مخطَّطات الشجرة البيانية، يمكن إيجاد احتمال التقاطع بضرب القيم على امتداد فروع الأحداث ذات الصلة دون النظر إلى إذا ما كانت الأحداث مستقلة أو لا.

إذن احتمال أن تكون الكرة الأولى بيضاء والثانية سوداء هو ٣٣١.

هيا نلخِّص بعض النقاط المهمة المستخلَصة من الشارح.

النقاط الرئيسية

  • يكون الحدثان 󰏡، 𞸁 مستقلَّيْن إذا كان وقوع 󰏡 لا يؤثِّر على احتمال وقوع 𞸁.
  • باستخدام ترميز الاحتمال، يكون الحدثان 󰏡، 𞸁 مستقلَّيْن إذا كان: 𞸋󰁓𞸁󰏡󰁒=𞸋(𞸁).
  • يكون الحدثان 󰏡، 𞸁 مستقلَّيْن إذا — وإذا فقط — كان: 𞸋(󰏡𞸁)=𞸋(󰏡)×𞸋(𞸁).
  • إذا كان الحدثان 󰏡، 𞸁 غير مستقلَّيْن، فإن: 𞸋(󰏡𞸁)=𞸋󰁓𞸁󰏡󰁒×𞸋(󰏡).
  • أيُّ حدثين متنافيين احتمالاهما لا يساويان صفرًا، لا يمكن أن يكونا مستقلَّيْن.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.