شارح الدرس: الأحداث المستقلة وغير المستقلة الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

مثال ١: تحديد السيناريوهات التي تمثِّل الأحداث المستقلة

في أيٍّ من السيناريوهات الآتية يكون الحدثان ، حدثين مستقلَّيْن؟

1. غادر طالب — أو طالبة — منزله في طريقه إلى المدرسة. الحدث يمثِّل وصوله — أو وصولها — إلى محطة الحافلات في الوقت المُحدَّد من أجل اللحاق بالحافلة، والحدث يمثِّل الوصول إلى المدرسة في الوقت المُحدَّد.
2. أُلقِيَ حجر نرد. الحدث يمثِّل الحصول على عدد زوجي، والحدث يمثِّل الحصول على عدد أوَّلي.
3. أُلقِيَ حجر نرد وعُملة معدنية. الحدث يمثِّل الحصول على العدد ٦ على حجر النرد، والحدث يمثِّل استقرار العُملة وظهور وجه الصورة.
4. أخذ طفل قطعتَيْن من الحلوى عشوائيًّا من حقيبة تحتوي على قطع حلوى للمضغ، وقطع حلوى مقرمشة. الحدث يمثِّل الحصول على حلوى للمضغ في المرة الأولى، والحدث يمثِّل الحصول على حلوى مقرمشة في المرة الثانية.
5. اختار مدرسٌ طالبَيْن عشوائيًّا من مجموعة تحتوي على خمسة فتيان وخمس فتيات. الحدث يمثِّل اختيار المدرس فتًى في المرة الأولى، والحدث يمثِّل اختيار المدرس فتاة في المرة الثانية.

الحل

نحن نتذكَّر أن الحدثين ، يكونان مستقلَّيْن إذا كان وقوع لا يؤثِّر على احتمال وقوع . لتحديد إذا ما كان الحدثان ، مستقلَّيْن أو غير مستقلَّيْن، علينا التحقُّق من تغيُّر احتمال وقوع عندما نفترض وقوع بالفعل. هيا نفكِّر في كل سيناريو باستخدام التعريف.

1. الحدث يمثِّل وصول الطالب إلى محطة الحافلات في الوقت المحدَّد من أجل اللحاق بالحافلة، والحدث يمثِّل وصول الطالب إلى المدرسة في الوقت المحدَّد. نفترض أن احتمال الوصول إلى المدرسة في الوقت المحدَّد يزيد بدرجة كبيرة إذا كان الطالب قد لحق بالحافلة؛ لأن الطالب سيتأخَّر غالبًا عن المدرسة إذا لم يلحق بالحافلة. من ثَمَّ، فإن وقوع الحدث يؤثِّر على احتمال وقوع الحدث ، وهو ما يعني أن الحدثين غير مستقلَّيْن.
2. الحدث يمثِّل الحصول على عدد زوجي ، أما الحدث فيمثِّل الحصول على عدد أوَّلي . احتمال الحصول على عدد أوَّلي هو ؛ لأن هناك ٣ أعداد أوَّلية من أصل ٦ نواتج متساوية الاحتمال. على الجانب الآخر، إذا افترضنا أننا حصلنا على عدد زوجي، فلا بد أن يكون هذا العدد الذي حصلنا عليه هو ٢ ليكون عددًا أوَّليًّا. بعبارةٍ أخرى، الحدث بشرط وقوع الحدث يمثِّل الحصول على ٢ من . إذن، . وبما أن ، إذن الحدثان غير مستقلَّيْن.
3. الحدث يمثِّل ظهور العدد ٦ على حجر النرد، والحدث يمثِّل استقرار العُملة المعدنية على وجه الصورة. نفترض أننا حصلنا بالفعل على العدد ٦ على حجر النرد. هل يتغيَّر احتمال استقرار العُملة المعدنية على وجه الصورة؟ لا؛ فاحتمال وقوع هذا الحدث لا يزال دون النظر إلى ما نحصل عليه من إلقاء حجر النرد. إذن ، حدثان مستقلان.
4. الحدث يمثِّل حصول الطفل على حلوى المضغ في المرة الأولى، والحدث يمثِّل حصوله على الحلوى المقرمشة في المرة الثانية. لتحديد إذا ما كان الحدثان مستقلَّيْن، علينا معرفة إذا ما كانت قيمة احتمال حدوث تختلف بناءً على وقوع الحدث أو عدم وقوعه. نفترض أن الحقيبة كان بها في البداية قطعة حلوى مضغ واحدة، وقطعة حلوى مقرمشة واحدة. إذا أخذ الطفل حلوى المضغ عند الاختيار أول مرة، فإننا نقول إن الحدث قد وقع. وبما أن هذه الحلوى ستظل خارج الحقيبة وسيتم الاختيار بعد ذلك ممَّا تبقى بداخل الحقيبة، فمن المؤكد أنه سيتم اختيار الحلوى المقرمشة في المرة الثانية، إذن . إذا أخذ الطفل الحلوى المقرمشة أولًا، فإننا نقول إن الحدث لم يقع، وفي هذه الحالة من المستحيل أن يختار الطفل حلوى مقرمشة في المرة الثانية؛ وذلك لأنه لم يتبقَّ في الحقيبة سوى حلوى المضغ، إذن . وبما أن قيمة احتمال وقوع الحدث تختلف عند وقوع الحدث عن قيمته عند عدم وقوع الحدث ، إذن الحدث يعتمد على الحدث . إذن الحدثان ، غير مستقلَّيْن.
5. هذه الحالة تشبه الحالة السابقة الموجودة في د، واحتمال اختيار فتاة في المرة الثانية يعتمد على إذا ما تم اختيار فتاة أو فتى في المرة الأولى؛ فالمجموعة المتبقية للاختيار الثاني ستكون مختلفة التكوين اعتمادًا على إذا ما تم اختيار فتى أو فتاة أولًا. إذا وقع الحدث ، إذن سيكون هناك ٤ فتيان و٥ فتيات للاختيار الثاني، ويصبح بذلك . لكن إذا لم يقع الحدث ، فسيكون هناك ٥ فتيان و٤ فتيات للاختيار الثاني، ويصبح بذلك . إذن الحدثان غير مستقلَّيْن.

وبناءً على ذلك، فإن الإجابة الصحيحة هي جـ.

مثال ٢: استخدام مخطَّط الشجرة البيانية للاحتمالات لتحديد هل الأحداث مستقلة أو لا

تحتوي حقيبة على ٥ قِطع حلوى حمراء و٤ قِطع حلوى زرقاء. نأخذ قطعة عشوائية، ونُلاحِظ لونها، ونأكلها. نُكرِّر هذه العملية بعد ذلك مع قطعة أخرى. يوضِّح الشكل التالي شجرة الاحتمالات المرتبطة بهذه المسألة. هل «الحصول على قطعة حلوى زرقاء أولًا» ثم «الحصول على قطعة حلوى حمراء ثانيًا» حدثان مستقلان؟

الحل

نحن نتذكَّر أن الحدثين ، يكونان مستقلَّيْن إذا كان وقوع لا يؤثِّر على احتمال وقوع . لتحديد إذا ما كان الحدثان ، مستقلَّيْن أو لا، يجب أن نتحقَّق إذا ما كان احتمال وقوع سيتغيَّر اعتمادًا على نتيجة وقوع أو لا.

إذا أخذنا قطعة حلوى زرقاء أولًا، فإن احتمال الحصول على قطعة حلوى حمراء ثانيًا يُعطَى بالفروع السفلية لمخطَّط الشجرة البيانية للاحتمالات.

إذن يصبح لدينا:

على الجانب الآخر، احتمال الحصول على قطعة حلوى حمراء ثانيًا، دون النظر إلى ما اختير أولًا، هو نفسه احتمال الحصول على قطعة حلوى حمراء أولًا. وهذا لأن ترتيب الاختيار لا يؤثِّر على احتماله، إلا إذا افترضنا شرطًا في الخيار السابق. نلاحظ فيما يلي احتمال الحصول على قطعة حلوى حمراء أولًا.

وهذا يساوي احتمال الحصول على قطعة حلوى حمراء ثانيًا؛ ومن ثَمَّ، يصبح لدينا:

وهذا يُعطينا:

وبما أن احتمال «الحصول على قطعة حلوى حمراء ثانيًا» يتغيَّر عندما نفترض أننا نحصل على قطعة حلوى زرقاء أولًا، إذن الحدثان غير مستقلَّيْن.

مثال ٣: الأحداث المتنافية والأحداث المستقلة

إذا كان ، ، ، فهل ، حدثان مستقلان؟

الحل

نحن نتذكَّر أنه إذا كان الحدثان ، مستقلَّيْن، فإن:

علمنا من المعطيات أن ، وهو ما يعني أنهما متنافيان. بعبارة أخرى، لا يمكن وقوع الحدثين في الوقت نفسه. ونتذكَّر أن احتمال المجموعة الخالية يساوي صفرًا، إذن:

على الجانب الآخر، يمكننا حساب:

وبما أن ، إذن ، حدثان غير مستقلَّيْن.

مثال ٤: استخدام الاحتمالات في شكل فِن لتحديد هل الحدثان مستقلان أم لا

في فضاء العيِّنة ، تمثِّل الاحتمالات الموضَّحة توافيق وقوع الحدثين ، . هل الحدثان ، مستقلان؟

الحل

نحن نتذكَّر أن الحدثين ، يكونان مستقلَّيْن إذا كان:

احتمال التقاطع، ، موضَّح كالآتي:

هذا يُعطينا:

يتحدَّد احتمال بمجموع الاحتمالين الموضَّحين في الشكل الآتي:

وهذا يُعطينا:

وأخيرًا، يمكننا حساب احتمال بإيجاد مجموع الاحتمالين الموضَّحين في الآتي:

وهذا يُعطينا:

باستخدام هذه القيم، يمكننا التحقُّق من الشرط : وهو ما لا يساوي .

إذن الإجابة لا؛ الحدثان ، غير مستقلَّيْن.

مثال ٥: إيجاد احتمال تقاطع الأحداث المستقلة

إناء به كرات يحتوي على ٤ كرات زرقاء، و٥ كرات حمراء، وكرة خضراء، وكرتين سوداوين. اختيرت كرة عشوائيًّا من الإناء. بعد إحلالها، اختيرت كرة أخرى. أوجد احتمال أن تكون الأولى زرقاء والثانية حمراء.

الحل

علينا إيجاد احتمال أن تكون الكرة الأولى زرقاء والثانية حمراء. نجعل يمثِّل حدث أن تكون الكرة الأولى زرقاء، ونجعل يمثِّل حدث أن تكون الكرة الثانية حمراء. باستخدام ترميز الاحتمال، علينا تحديد .

نلاحظ أن الكرة الأولى تم إحلالها قبل اختيار الكرة الثانية. وهذا يعني أن شرطَي اختيار الكرة الثانية واختيار الكرة الأولى متطابقان. نتيجة الاختيار الأول لا تؤثِّر على احتمال الاختيار الثاني؛ لذلك يكون الحدثان ، مستقلَّيْن. هيا نرسم مخطَّط الشجرة البيانية الذي يَصِف هذا المثال.

نلاحظ أن مجموعة الفروع الثانية لها احتمالات مجموعة الفروع الأولى نفسها. هذا لأن الكرة الأولى المختارة وُضِعت مرةً أخرى في الإناء قبل اختيار الكرة الثانية، وهو ما يُعيد فضاء العيِّنة إلى الوضع الأصلي.

نتذكَّر أنه إذا كان الحدثان ، مستقلَّيْن، فإن قاعدة الضرب تنص على أن:

هيا نحسب ، من شجرة الاحتمالات.

إذن نحصل على ، . يمكننا تطبيق قاعدة الضرب، لنحصل على:

إذن احتمال أن تكون الكرة الأولى زرقاء والثانية حمراء هو .

مثال ٦: إيجاد احتمال تقاطع حدثين غير مستقلَّيْن

تحتوي حقيبة على ١٨ كرة بيضاء و٩ كرات سوداء. إذا سُحِبت كرتان على التوالي دون إحلال، فما احتمال أن تكون الكرة الثانية سوداء والأولى بيضاء؟

الحل

علينا إيجاد احتمال أن تكون الكرة الأولى بيضاء والثانية سوداء. نجعل يمثِّل حدث أن تكون الكرة الأولى بيضاء، ونجعل يمثِّل حدث أن تكون الكرة الثانية سوداء. باستخدام ترميز الاحتمال، علينا تحديد .

نلاحِظ أن الكرة الثانية اختيرت دون إحلال الكرة الأولى. لهذا السبب، يختلف شرط اختيار الكرة الثانية عن شرط اختيار الكرة الأولى. بعبارة أخرى، تؤثِّر نتيجة وقوع الحدث الأول على احتمال وقوع الحدث الثاني. إذن الحدثان ، غير مستقلَّيْن.

نحن نتذكَّر أنه إذا كان الحدثان ، غير مستقلَّيْن، فإن قاعدة الضرب العامة تنص على أن:

هيا نحسب ، .

في البداية، يوجد ١٨ كرة بيضاء من أصل ٢٧ كرة في الحقيبة، إذن احتمال اختيار الكرة البيضاء أولًا هو:

بعد ذلك، نفكِّر في . إذا افترضنا أن الحدث قد وقع، فإننا نفترض أن كرة بيضاء قد أُخِذت من الحقيبة قبل اختيار الكرة الثانية. بذلك يتبقَّى ١٧ كرة بيضاء و٩ كرات سوداء للاختيار الثاني. إذن:

يمكننا رسم مخطَّط الشجرة البيانية للاحتمالات بهاتين القيمتين.

بتطبيق قاعدة الضرب العامة، يكون احتمال التقاطع هو:

نلاحِظ أنه عندما نستخدم مخطَّطات الشجرة البيانية، يمكن إيجاد احتمال التقاطع بضرب القيم على امتداد فروع الأحداث ذات الصلة دون النظر إلى إذا ما كانت الأحداث مستقلة أو لا.

إذن احتمال أن تكون الكرة الأولى بيضاء والثانية سوداء هو .