فيديو السؤال: استخدام قاعدة الجمع لحل مسائل الاحتمالات الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

نسخة الفيديو النصية

أدار ماجد قرصين دوارين لهما أربعة أوجه، ومرقمين من واحد إلى أربعة. افترض أن ﺃ هو حدث ظهور عددين حاصل ضربهما أربعة، وﺏ هو حدث ظهور عددين زوجيين. أوجد احتمال وقوع ﺃ، وأعط الإجابة على صورة كسر في أبسط صورة. أوجد احتمال وقوع ﺏ، وأعط الإجابة على صورة كسر في أبسط صورة. أوجد احتمال ﺃ تقاطع ﺏ، وأعط الإجابة على صورة كسر في أبسط صورة. وأخيرًا، أوجد احتمال ﺃ اتحاد ﺏ، وأعط الإجابة على صورة كسر في أبسط صورة.

بدءًا بالجزء الأول، أي احتمال وقوع الحدث ﺃ، عندما يدير دانييل القرص الدوار الأول، يمكن أن تظهر الأعداد واحد أو اثنان أو ثلاثة أو أربعة. إذا ظهر العدد واحد في القرص الدوار الأول، فيمكن أن تظهر الأعداد واحد أو اثنان أو ثلاثة أو أربعة في القرص الدوار الثاني. وينطبق الأمر نفسه إذا ظهرت الأعداد اثنان، أو ثلاثة، أو أربعة في القرص الدوار الأول. ما يعنيه هذا هو أنه يوجد إجمالي ١٦ ناتجًا. بمعنى أنه قد يظهر العددان واحد، واحد؛ أو واحد، اثنان؛ أو واحد، ثلاثة؛ وهكذا. ولكي يقع الحدث ﺃ، يجب أن يظهر عددان حاصل ضربهما أربعة، لذا يجب أن نضرب العددين اللذين يظهران على القرص الدوار الأول والقرص الدوار الثاني معًا، ونرى متى يساوي حاصل الضرب العدد أربعة. إذا ضربنا واحدًا في أربعة، نحصل على أربعة. وإذا ضربنا اثنين في اثنين، نحصل على أربعة. وإذا ضربنا أربعة في واحد، نحصل على أربعة.

إذن، التوليفات واحد، أربعة؛ واثنان، اثنان؛ وأربعة، واحد هي الطرق الوحيدة لوقوع الحدث ﺃ. وهذا يعني أنه توجد ثلاث طرق لكي يقع الحدث ﺃ من بين ١٦ ناتجًا ممكنًا، وهو ما يجعل احتمال وقوع الحدث ﺃ هو ثلاثة على ١٦، وهو على صورة كسر في أبسط صورة بالفعل. وبذلك، نقول إن احتمال وقوع الحدث ﺃ هو ثلاثة على ١٦. سنتبع عملية مشابهة لإيجاد احتمال وقوع الحدث ﺏ. لكي يقع الحدث ﺏ، يجب أن يظهر عددان زوجيان. إذا أدار دانييل القرص الدوار الأول وظهر العدد واحد، فسيكون هذا عددًا فرديًّا، ومن ثم لا يمكن أن يحصل على عددين زوجيين. وهذا ينطبق أيضًا إذا ظهر العدد ثلاثة على القرص الدوار الأول، لذا سنركز على الحالات التي يظهر فيها العددان اثنان أو أربعة على القرص الدوار الأول.

إذا ظهر العدد اثنان على القرص الدوار الأول وظهر العددان اثنان أو أربعة على القرص الدوار الثاني، فإن كلًّا منهما يكون عددًا زوجيًّا. وهكذا، يكون لدينا التوليفة اثنان، اثنان؛ واثنان، أربعة. إذا ظهر العدد أربعة على القرص الدوار الأول، نقول إنه لكي نحصل على عددين زوجيين، يجب أن يظهر العددان اثنان أو أربعة على القرص الدوار الثاني، وهو ما يعطينا التوليفة أربعة، اثنين؛ وأربعة، أربعة. من بين إجمالي ١٦ ناتجًا، يوجد أربع حالات يحصل فيها ماجد على عددين زوجيين. وعليه، يكون احتمال ظهور عددين زوجيين هو أربعة على ١٦. وكل من أربعة و١٦ يقبلان القسمة على أربعة، ما يعني أن احتمال وقوع الحدث ﺏ في أبسط صورة يساوي ربعًا.

في الجزء الثالث، نبحث عن احتمال ﺃ تقاطع ﺏ. إذا استخدمنا شكل فن لتمثيل الحدثين ﺃ وﺏ، نجد أن تقاطع الحدثين ﺃ وﺏ هو التداخل. وهو احتمال أن يحدث كلاهما في الوقت نفسه. هذا يعني أننا نبحث عن المواضع التي يحصل فيها ماجد على قيمتين حاصل ضربهما أربعة، وكلتاهما عدد زوجي. بالنظر إلى قائمة الحدث ﺃ والحدث ﺏ، نجد أن هذا لا يحدث إلا مرة واحدة فقط في حالة ظهور العدد اثنين على كلا القرصين الدوارين. أي إن الطريقة الوحيدة التي يمكن بها لماجد أن يحصل على قيمتين حاصل ضربهما أربعة وكلتاهما عدد زوجي هو أن يظهر على كلا القرصين الدوارين العدد اثنان. وذلك أحد النواتج من بين إجمالي ١٦ ناتجًا. وهذا يعني أن احتمال وقوع الحدثين ﺃ وﺏ، أي احتمال ﺃ تقاطع ﺏ، هو واحد على ١٦، وهو بالطبع في أبسط صورة.

وأخيرًا، نريد إيجاد احتمال ﺃ اتحاد ﺏ. وأحيانًا نطلق على هذا احتمال وقوع ﺃ أو ﺏ. إذا مثلنا الحدثين ﺃ وﺏ على شكل فن، نجد أن احتمال ﺃ اتحاد ﺏ يساوي احتمال كل من ﺃ وﺏ. وإذا نظرنا إلى القائمة، فسنجد أن لدينا الحالات الثلاث التي يقع فيها ﺃ، ثم لدينا ثلاث حالات إضافية يقع فيها ﺏ. ويجب علينا ألا نعد الحالة اثنين، اثنين مرتين. على الرغم من وجود ثلاث طرق لوقوع ﺃ وأربع طرق لوقوع ﺏ، فإنه توجد ست طرق فقط لوقوع ﺃ أو ﺏ. وذلك لأن إحدى التوليفات مشتركة بين القائمتين، وهكذا، نحصل على قيمة الاحتمال هذا من الصيغة التي تنص على أن احتمال ﺃ اتحاد ﺏ يساوي احتمال ﺃ زائد احتمال ﺏ ناقص احتمال ﺃ تقاطع ﺏ.

وبذلك، يمكننا توضيح أن ثلاثة على ١٦ زائد أربعة على ١٦ ناقص واحد على ١٦ يساوي ستة على ١٦. ويمكننا اختزال ذلك لأن ستة و١٦ يقبلان القسمة على اثنين. وهكذا، يكون احتمال ﺃ اتحاد ﺏ يساوي ثلاثة أثمان.