فيديو الدرس: العمليات على الأحداث الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد احتمال الحدث المكمل لحدث ما، وتقاطع الأحداث واتحادها.

١٤:٤٦

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد احتمال الحدث المكمل لحدث ما، وتقاطع الأحداث واتحادها. وسنبدأ بتناول بعض التعريفات والرموز الأساسية للاحتمالات، بالإضافة إلى تمثيلها باستخدام شكل «فن».

الحدث المكمل للحدث ﺃ في فضاء العينة ﻑ، ويرمز إليه بـ ﺃ شرطة، هو مجموعة كل النواتج في ﻑ التي ليست عناصر في المجموعة ﺃ. وبعبارة أخرى، الحدث ﺃ شرطة يمثل حدث عدم وقوع ﺃ. وتنص قاعدة احتمال الحدث المكمل على أن احتمال ﺃ شرطة يساوي واحدًا ناقص احتمال ﺃ. ويمكن باستخدام شكل «فن» تمثيل الحدث المكمل للحدث ﺃ بالمنطقة المظللة الموضحة. إذ نظلل المنطقة التي توجد خارج الدائرة ﺃ بالكامل.

سوف نتذكر الآن تعريفات تقاطع حدثين واتحادهما. تقاطع الحدثين ﺃ وﺏ، الذي يرمز له بـ ﺃ تقاطع ﺏ، هو مجموعة كل النواتج التي هي عناصر كلتا المجموعتين ﺃ وﺏ. بعبارة أخرى، ﺃ تقاطع ﺏ هو حدث وقوع ﺃ وﺏ معًا. ويمكن تمثيل ذلك باستخدام شكل «فن» كما هو موضح. حيث نظلل المنطقة التي تقع في الدائرة ﺃ والدائرة ﺏ معًا. واتحاد الحدثين ﺃ وﺏ، الذي يرمز إليه بـ ﺃ اتحاد ﺏ، هو مجموعة كل النواتج التي هي عناصر إحدى المجموعتين ﺃ وﺏ أو كلتيهما. بعبارة أخرى، ﺃ اتحاد ﺏ هو حدث وقوع ﺃ أو ﺏ أو كل من ﺃ وﺏ معًا. ويمكننا تمثيل اتحاد الحدثين ﺃ وﺏ باستخدام شكل «فن» عن طريق تظليل كل المنطقة التي توجد داخل الدائرة ﺃ والدائرة ﺏ.

يقودنا هذان التعريفان لتقاطع الحدثين واتحادهما إلى قاعدة أساسية من قواعد الاحتمال. وتنص قاعدة الجمع للاحتمالات على أن احتمال ﺃ اتحاد ﺏ يساوي احتمال ﺃ زائد احتمال ﺏ ناقص احتمال ﺃ تقاطع ﺏ. ويمكن توضيح ذلك أيضًا باستخدام أشكال «فن». فعند إضافة احتمال الحدث ﺃ إلى احتمال الحدث ﺏ، نجمع التقاطع مرتين. ويعني هذا أنه بطرح احتمال تقاطع الحدثين ﺃ وﺏ من مجموعهما، نحصل على احتمال الاتحاد.

تقودنا المعطيات المذكورة سابقًا إلى ست صيغ إضافية يمكننا استخدامها لحل المسائل التي تتضمن الاحتمال باستخدام أشكال «فن». أولًا، لدينا الحدث المكمل لاتحاد الحدثين ﺃ وﺏ. وهذا يساوي واحدًا ناقص احتمال اتحاد الحدثين ﺃ وﺏ. باستخدام شكل «فن»، يمكن تمثيل ذلك بتظليل كل ما يقع خارج اتحاد الحدثين ﺃ وﺏ. وبالطريقة نفسها، لدينا احتمال الحدث المكمل لتقاطع الحدثين ﺃ وﺏ. وهذا يساوي واحدًا ناقص احتمال تقاطع الحدثين ﺃ وﺏ. في هذه الحالة، سنظلل كل شيء ما عدا تقاطع الحدثين. في الشكل الأول، نلاحظ أن مجموع قيمتي احتمال الاتحاد واحتمال حدثه المكمل يساوي واحدًا، وفي الشكل الثاني، فإن مجموع قيمتي احتمال التقاطع واحتمال حدثه المكمل يساوي واحدًا.

بعد ذلك، سنتناول احتمال وقوع حدث واحد فقط. ويقودنا هذا إلى حالتين محتملتين: أولًا، احتمال وقوع الحدث ﺃ وعدم وقوع الحدث ﺏ، وثانيًا، احتمال وقوع الحدث ﺏ وعدم وقوع الحدث ﺃ. وهذان هما تقاطع الحدث ﺃ والحدث المكمل للحدث ﺏ وتقاطع الحدث ﺏ والحدث المكمل للحدث ﺃ. إذا أردنا وقوع الحدث ﺃ فقط، فإننا نظلل المنطقة التي تقع في المجموعة ﺃ ولكن لا تقع في المجموعة ﺏ. وبالتالي، فإن هذا يساوي احتمال ﺃ ناقص احتمال ﺃ تقاطع ﺏ. ويمكن استخدام الطريقة نفسها للتعبير عن احتمال وقوع الحدث ﺏ فقط. وهو احتمال ﺏ ناقص احتمال ﺃ تقاطع ﺏ.

تمثل الصيغتان الأخيرتان الحدثين المكملين للحدثين ﺃ وﺏ هذين. أولًا، ننظر إلى احتمال اتحاد الحدث المكمل لـ ﺃ والحدث ﺏ، وثانيًا، احتمال اتحاد الحدث ﺃ والحدث المكمل لـ ﺏ. في شكل «فن» المرسوم، يكون الحدث المكمل لـ ﺃ مظللًا باللون البرتقالي والحدث ﺏ مظللًا باللون الوردي. وبما أننا نريد اتحاد هذين، فمن الممكن أن يحدث أحدهما أو الآخر أو كلاهما. ويعني هذا أننا نريد المنطقة المظللة بأكملها. كما رأينا توًّا، فإن المساحة غير المظللة هي احتمال وقوع الحدث ﺃ بالضبط، وتكتب على صورة احتمال ﺃ تقاطع الحدث المكمل لـ ﺏ. ويمكننا إذن استنتاج أن احتمال اتحاد الحدث المكمل لـ ﺃ والحدث ﺏ يساوي واحدًا ناقص هذه القيمة. وبالطريقة نفسها، لدينا احتمال اتحاد ﺃ والحدث المكمل لـ ﺏ يساوي واحدًا ناقص احتمال تقاطع الحدث المكمل لـ ﺃ والحدث ﺏ.

سنتناول الآن بعض الأمثلة حيث يمكننا استخدام هذه التعريفات والصيغ لحل مسائل تتضمن الأحداث المكملة وتقاطع الأحداث واتحادها.

افترض أن ﺃ وﺏ حدثان لهما الاحتمالان: احتمال ﺃ يساوي ٠٫٢ واحتمال ﺏ يساوي ٠٫٤٧. إذا كان احتمال ﺃ تقاطع ﺏ يساوي ٠٫١٨، فأوجد احتمال ﺃ اتحاد ﺏ.

نبدأ بتذكر رمزي الاتحاد والتقاطع في هذا السؤال. ويمكننا بعد ذلك الإجابة عن هذا السؤال باستخدام قاعدة الجمع للاحتمالات. وتنص هذه القاعدة على أن احتمال ﺃ اتحاد ﺏ يساوي احتمال ﺃ زائد احتمال ﺏ ناقص احتمال ﺃ تقاطع ﺏ. ويمكن توضيح ذلك أيضًا باستخدام أشكال «فن». وبالتعويض بالقيم المعطاة، يصبح لدينا احتمال ﺃ اتحاد ﺏ يساوي ٠٫٢ زائد ٠٫٤٧ ناقص ٠٫١٨. وهذا يساوي ٠٫٤٩. إذا كان احتمال ﺃ يساوي ٠٫٢، واحتمال ﺏ يساوي ٠٫٤٧، واحتمال ﺃ تقاطع ﺏ يساوي ٠٫١٨، فإن احتمال ﺃ اتحاد ﺏ يساوي ٠٫٤٩.

كان يمكننا أيضًا إيجاد هذا الحل بإكمال كل جزء على حدة في شكل «فن». وبتفريغ بعض المساحة، يمكننا أن نبدأ بجمع احتمال تقاطع الحدثين ﺃ وﺏ، والذي يساوي ٠٫١٨. وبما أن احتمال الحدث ﺃ يساوي ٠٫٢، فيمكننا حساب احتمال وقوع الحدث ﺃ فقط بطرح ٠٫١٨ من ٠٫٢. وهذا يساوي ٠٫٠٢. وبالمثل، فإن احتمال وقوع الحدث ﺏ فقط يساوي ٠٫٤٧ ناقص ٠٫١٨. وهذا يساوي ٠٫٢٩. وعليه، فإن احتمال اتحاد الحدثين يساوي مجموع ٠٫٠٢ و٠٫١٨ و٠٫٢٩. وهذا يساوي ٠٫٤٩. ولإكمال شكل «فن»، من المهم أن نضيف احتمال عدم وقوع الحدث ﺃ أو الحدث ﺏ، وهو في هذه الحالة يساوي ٠٫٥١. وهو ما يساوي واحدًا ناقص ٠٫٤٩.

في المثال التالي، علينا حساب احتمال عدم وقوع أي من الحدثين ﺃ أو ﺏ.

افترض أن ﺃ وﺏ حدثان، احتمال الحدث ﺃ يساوي ٠٫٦ واحتمال الحدث ﺏ يساوي ٠٫٥. إذا كان احتمال ﺃ تقاطع ﺏ يساوي ٠٫٤، فما احتمال عدم وقوع أي حدث من الحدثين؟

في هذا السؤال، علينا حساب احتمال عدم وقوع أي حدث من الحدثين. كما هو موضح في شكل «فن»، هذا يماثل الحدث المكمل لاتحاد الحدثين ﺃ وﺏ. وبما أن مجموع احتمال حدث ما واحتمال حدثه المكمل يساوي واحدًا، فيمكننا حساب احتمال عدم وقوع أي حدث من الحدثين ﺃ أو ﺏ بطرح احتمال ﺃ اتحاد ﺏ من واحد. لا يعطينا هذا السؤال قيمة احتمال الاتحاد. لكن لدينا احتمال الحدث ﺃ واحتمال الحدث ﺏ واحتمال تقاطع الحدثين ﺃ وﺏ. ويعني هذا أنه يمكننا البدء باستخدام قاعدة الجمع للاحتمالات، التي تنص على أن احتمال ﺃ اتحاد ﺏ يساوي احتمال ﺃ زائد احتمال ﺏ ناقص احتمال ﺃ تقاطع ﺏ.

وبالتعويض بالقيم المعطاة، يصبح الطرف الأيسر ٠٫٦ زائد ٠٫٥ ناقص ٠٫٤. إذن، احتمال ﺃ اتحاد ﺏ يساوي ٠٫٧. وهذه هي المساحة المظللة باللون الوردي في شكل «فن». ويمكننا الآن إيجاد الحدث المكمل لهذا الحدث بطرح ٠٫٧ من واحد، وهو ما يساوي ٠٫٣. وهكذا، يمكننا استنتاج أنه إذا كان احتمال ﺃ يساوي ٠٫٦، واحتمال ﺏ يساوي ٠٫٥، واحتمال ﺃ تقاطع ﺏ يساوي ٠٫٤، فإن احتمال عدم وقوع أي حدث من الحدثين ﺃ أو ﺏ يساوي ٠٫٣. وهذا هو الجزء الموجود خارج الدائرتين في شكل «فن».

في السؤال الأخير، سنستخدم قاعدة الجمع للاحتمالات لحل مسألة كلامية.

شاركت مجموعة مكونة من ٦٨ طالبًا من طلاب المدارس في دراسة استقصائية حول القنوات التليفزيونية المفضلة لديهم. أظهرت النتائج أن ٤٣ من الطلاب يشاهدون القناة ﺃ، و٢٦ يشاهدون القناة ﺏ، و١٢ يشاهدون كلتا القناتين. إذا اختير طالب عشوائيًّا من المجموعة، فما احتمال أن يكون مشاهدًا لإحدى القناتين على الأقل؟

هدفنا في هذا السؤال هو حساب احتمال مشاهدة طالب مختار عشوائيًّا لقناة واحدة على الأقل من القناتين. هذا هو احتمال ﺃ اتحاد ﺏ، ويمكن تمثيله باستخدام شكل «فن»، كما هو موضح. نتذكر أن قاعدة الجمع للاحتمالات تنص على أن احتمال ﺃ اتحاد ﺏ يساوي احتمال ﺃ زائد احتمال ﺏ ناقص احتمال ﺃ تقاطع ﺏ.

تخبرنا المسألة بأن ٤٣ طالبًا من إجمالي ٦٨ طالبًا يشاهدون القناة ﺃ. ويعني هذا أن احتمال اختيار طالب عشوائيًّا يشاهد القناة ﺃ هو ٤٣ من ٦٨. وبالمثل، فإن احتمال اختيار طالب ما يشاهد القناة ﺏ هو ٢٦ من ٦٨، حيث أظهرت نتائج الدراسة الاستقصائية أن ٢٦ من إجمالي عدد الطلاب يشاهدون القناة ﺏ. كما يخبرنا السؤال أن ١٢ طالبًا يشاهدون القناتين. وهذا هو احتمال تقاطع الحدثين ﺃ وﺏ، كما هو موضح باللون الوردي على شكل «فن». واحتمال هذا التقاطع يساوي ١٢ من ٦٨.

بالتعويض بالكسور الثلاثة في الصيغة التي لدينا، نحصل على احتمال ﺃ اتحاد ﺏ يساوي ٤٣ على ٦٨ زائد ٢٦ على ٦٨ ناقص ١٢ على ٦٨. وبما أن المقامات متساوية، و٤٣ زائد ٢٦ ناقص ١٢ يساوي ٥٧، فإن احتمال ﺃ اتحاد ﺏ يساوي ٥٧ على ٦٨. يمكننا إذن استنتاج أن احتمال مشاهدة طالب مختار عشوائيًّا لقناة واحدة من القناتين على الأقل يساوي ٥٧ على ٦٨.

سنلخص الآن النقاط الرئيسية في هذا الفيديو. الحدث المكمل للحدث ﺃ، ويرمز إليه بـ ﺃ شرطة، هو مجموعة كل النواتج التي ليست عناصر في المجموعة ﺃ. وتقاطع الحدثين ﺃ وﺏ، الذي يرمز إليه بـ ﺃ تقاطع ﺏ، هو مجموعة كل النواتج التي هي عناصر كلتا المجموعتين ﺃ وﺏ. اتحاد الحدثين ﺃ وﺏ هو مجموعة كل النواتج التي هي عناصر إحدى المجموعتين ﺃ وﺏ، أو كلتيهما.

وتقودنا هذه التعريفات إلى الصيغ التالية. تنص قاعدة الجمع للاحتمالات على أن احتمال ﺃ اتحاد ﺏ يساوي احتمال ﺃ زائد احتمال ﺏ ناقص احتمال ﺃ تقاطع ﺏ. القواعد الأخرى للاحتمال، التي تتضمن الأحداث المكملة وتقاطع الأحداث واتحادها والتي رأيناها في هذا الفيديو، تلخص في القواعد الست التالية. يمكننا استخدام هذه القواعد مع أشكال «فن» لحساب الاحتمالات وحل المسائل الكلامية.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.