فيديو الدرس: الوسط الحسابي لمجموعة بيانات الرياضيات • الصف الأول الإعدادي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو سوف نتعلم كيف نحسب الوسط الحسابي لمجموعة بيانات. عادة ما تكون مجموعات البيانات كبيرة نوعًا ما، ومن المفيد أن نتمكن من تلخيص البيانات في قيمة واحدة أو مجموعة أصغر من القيم. هذه القيم التي تمثل مجموعة البيانات تعطي مؤشرًا للقيمة النموذجية أو القيمة المتوسطة. الوسط الحسابي هو أحد هذه المقاييس التي تسمى مجتمعة مقاييس النزعة المركزية لأنها تصف مركز أي مجموعة بيانات. ويمكن حساب هذا الوسط الحسابي باستخدام الصيغة الآتية. إنها تنص على أن الوسط الحسابي يساوي مجموع كل القيم مقسومًا على عدد القيم. وبمعنى آخر: نجمع القيم كلها، ونقسم على عددها.

ونظرًا لوجود أنواع أخرى من الوسط تحسب بطريقة مختلفة؛ مثل الوسط الهندسي، عندما نرى كلمة «الوسط» فقط يمكننا أن نعتبر أنه هو الوسط الحسابي الذي نتناوله هنا. في المثال الأول سنحسب الوسط الحسابي لمجموعة من ست قيم.

ما الوسط الحسابي للأعداد الآتية: ستة، وأربعة، وخمسة، وثلاثة، وخمسة، وواحد؟

نبدأ بتذكر أنه يمكننا حساب الوسط الحسابي لمجموعة بيانات بقسمة مجموع كل القيم على عددها. في هذا السؤال لدينا ستة أعداد صحيحة؛ إذن عدد القيم هو ستة. ويمكننا إيجاد مجموع القيم بجمع ستة وأربعة وخمسة وثلاثة وخمسة وواحد. وهذا يساوي 24. وعليه فإن الوسط الحسابي لمجموعة الأعداد يساوي 24 مقسومًا على ستة. وهو ما يساوي أربعة.

في هذه المرحلة تجدر الإشارة إلى أنه حتى إذا كانت البيانات نفسها قيمًا صحيحة، فليس بالضرورة أن يكون الوسط الحسابي عددًا صحيحًا. لذا من المهم أن نقرب قيمة الوسط الحسابي إلى درجة مناسبة من الدقة إذا لزم الأمر. وتعد هذه إحدى الخطوات الأساسية لعملية حساب الوسط الحسابي. خطوتنا الأولى هي تحديد عدد القيم الموجودة في مجموعة البيانات. بعد ذلك نوجد مجموع كل قيم البيانات. وبعدها نقسم مجموع قيم البيانات على عدد قيم البيانات. وأخيرًا نقرب الناتج إلى درجة مناسبة من الدقة إذا لزم الأمر.

سنتناول الآن مثالين نحتاج فيهما إلى اتباع هذه العملية؛ حيث مثلت مجموعة البيانات بطريقتين مختلفتين. سنبدأ بالمثال الذي مثلت فيه البيانات باستخدام التمثيل البياني بالأعمدة.

في إحدى المدارس ينتمي كل طالب إلى فرقة واحدة من أربع فرق؛ حيث تتنافس هذه الفرق لاكتساب النقاط على مدار السنة. يوضح التمثيل البياني عدد النقاط التي حصلت عليها كل فرقة في نهاية السنة. احسب الوسط الحسابي لعدد النقاط المكتسبة. صف ما الذي يمثله الوسط الحسابي.

يوضح التمثيل البياني بالأعمدة عدد النقاط التي حصلت عليها كل فرقة من الفرق الأربع في نهاية العام. حصلت الفرقة الزرقاء على 30 نقطة. حصلت الفرقة البرتقالية على 70 نقطة. حصلت الفرقة الوردية على 50 نقطة. حصلت الفرقة الخضراء على 90 نقطة. المطلوب منا في الجزء الأول من السؤال حساب الوسط الحسابي لعدد النقاط المكتسبة. لعلنا نتذكر أنه يمكن حساب الوسط الحسابي لمجموعة بيانات بإيجاد مجموع كل القيم وقسمته على عدد القيم. وفي هذا السؤال بما أن هناك أربع فرق؛ إذن سيكون المقام هو العدد أربعة. ويمكننا إيجاد مجموع كل القيم؛ أي إجمالي عدد النقاط المكتسبة، بجمع 30 و70 و50 و90. هذا يساوي 240؛ وهو بسط الكسر.

والآن يمكننا حساب الوسط الحسابي بقسمة 240 على أربعة. وهذا يعادل إيجاد ربع العدد 240؛ الذي يساوي 60. إذن الوسط الحسابي لعدد النقاط التي حصلت عليها كل فرقة هو60.

المطلوب في الجزء الثاني من السؤال هو وصف ما يمثله هذا الوسط. نتذكر أن الوسط الحسابي هو أحد مقاييس النزعة المركزية. وتحديدًا إنه يمثل المتوسط. وعلى هذا النحو فإن الوسط الحسابي في هذا السؤال هو عدد النقاط التي كانت ستحصل عليها كل فرقة إذا حصلت جميع الفرق على عدد النقاط نفسه؛ حيث إنه عند ضرب الوسط الحسابي لعدد النقاط وهو60 في عدد الفرق وهو أربعة، نحصل على إجمالي عدد النقاط المكتسبة الذي يساوي 240 نقطة.

في المثال الآتي لدينا معلومات معروضة في جدول، وعلينا استخراج المعلومات التي تعنينا من أجل حساب الوسط الحسابي.

يوضح الجدول الدرجات التي حصل عليها أربعة طلاب في امتحانات نهاية السنة. احسب الوسط الحسابي لدرجات الطالب ج.

في هذا السؤال مع أن لدينا معلومات عن أربعة طلاب، فنحن مهتمون فقط بالطالب ج. يعني ذلك أن علينا التركيز فقط على ذلك الصف من الجدول. مطلوب منا حساب الوسط الحسابي لدرجات هذا الطالب. نتذكر أن الوسط الحسابي لمجموعة بيانات يساوي مجموع كل القيم مقسومًا على عدد القيم. حصل جميع الطلاب على درجات لخمسة اختبارات؛ وهي: الرياضيات، والكيمياء، والفيزياء، والأحياء، والتاريخ. إذن المقام يساوي خمسة. يمكننا إيجاد مجموع كل القيم بجمع ثمانية، و13، وسبعة، وخمسة، و12. ناتج الجمع يساوي 45. إذن إجمالي عدد الدرجات التي حصل عليها الطالب ج هو45 درجة. يمكننا الآن حساب الوسط الحسابي للدرجات بقسمة 45 على خمسة. ناتج ذلك يساوي تسعة. إذن الوسط الحسابي لدرجات الطالب ج هو تسع درجات.

يمكننا تكرار هذه العملية مع الطلاب أ، ب، د للمقارنة بين متوسطات درجاتهم، مع أن هذا ليس مطلوبًا في هذا السؤال. ستكون هذه المعلومات مفيدة لأي معلم عند قياس تحسن المستوى الدراسي لطلابه.

في المثال الآتي لدينا الوسط الحسابي لمجموعة بيانات، وجميع قيم البيانات باستثناء قيمة واحدة. ولذلك سنعمل بطريقة عكسية باستخدام القيمة المعروفة للوسط الحسابي لحساب القيمة الناقصة. ولفعل ذلك علينا تكوين معادلة ثم حلها باستخدام صيغة حساب الوسط الحسابي.

إذا كان الوسط الحسابي للقيم أربعة، و‪𝑥‬‏، وخمسة، وثمانية، و18 هو10، فأوجد قيمة ‪𝑥‬‏.

للإجابة عن هذا السؤال نبدأ بتذكر أنه يمكننا حساب الوسط الحسابي لمجموعة بيانات بقسمة مجموع كل القيم على عدد القيم. في هذا السؤال توجد خمس قيم في مجموعة البيانات؛ وهي: أربعة، و‪𝑥‬‏، وخمسة، وثمانية، و18. وعلمنا أيضًا أن الوسط الحسابي لمجموعة البيانات يساوي 10. حسنًا يمكننا البدء بكتابة تعبير لمجموع كل القيم كما هو موضح. إنه: أربعة زائد ‪𝑥‬‏ زائد خمسة زائد ثمانية زائد 18. نعلم أن قسمة ذلك على خمسة، أي على عدد القيم، يعطينا الناتج 10.

لحل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ‪𝑥‬‏ نبدأ بضرب طرفي المعادلة في خمسة. هذا يعطينا: 50 يساوي أربعة زائد ‪𝑥‬‏ زائد خمسة زائد ثمانية زائد 18. بجمع الحدود المتشابهة في الطرف الأيمن، تبسط المعادلة إلى: 50 يساوي ‪𝑥‬‏ زائد 35. بعد ذلك يمكننا طرح 35 من كلا الطرفين لنحصل على‪: 𝑥‬‏ يساوي 15. إذا كان الوسط الحسابي للقيم الخمس؛ وهي: أربعة، و‪𝑥‬‏، وخمسة، وثمانية، و18، يساوي 10، فإن قيمة ‪𝑥‬‏ هي 15. إذن بتكوين معادلة ثم حلها باستخدام صيغة حساب الوسط الحسابي، تمكنا من إيجاد القيمة الناقصة في مجموعة البيانات.

سننتقل الآن إلى مثال أخير لخصت فيه بالفعل مجموعة البيانات جزئيًّا. مطلوب منا إيجاد الوسط الحسابي للطول لمجموعة من طلاب المدارس بمعلومية الوسط الحسابي للطول في كل صف.

أخذ ديفيد عينات من الطلاب من كل صف في مدرسته لحساب الوسط الحسابي لطول الطلاب. كان ملخص النتائج كما هو موضح. استخدم بياناته لإيجاد الوسط الحسابي لطول الطلاب في المدرسة. قرب إجابتك لأقرب سنتيمتر.

نبدأ بتذكر أنه يمكن حساب الوسط الحسابي باستخدام الصيغة الموضحة. نقسم مجموع كل القيم على عدد القيم. في هذا السؤال لإيجاد الوسط الحسابي للطول سنقسم إجمالي أطوال جميع الطلاب على عدد الطلاب. ولإيجاد عدد الطلاب نحسب مجموع الأعداد المعطاة في الصف الثاني من الجدول. يوجد 14 طالبًا في رياض الأطفال، و16 طالبًا في الصف الأول، و15 طالبًا في الصف الثاني، وهكذا. بجمع 14 و16 و15 و19 و17 و18، نحصل على 99. إذن إجمالي عدد الطلاب وفقًا للجدول 99 طالبًا.

يمكن إيجاد مجموع أطوال الطلاب في كل صف باستخدام عدد الطلاب في كل صف، والوسط الحسابي للطول لهذا الصف. نضيف صفًّا جديدًا إلى الجدول، ثم نوجد مجموع أطوال الطلاب في رياض الأطفال بضرب 14 في 116 سنتيمترًا. وهذا يساوي 1624 سنتيمترًا. نكرر هذه العملية لطلاب الصف الأول؛ حيث نضرب عدد الطلاب، وهو16، في الوسط الحسابي للطول، وهو122 سنتيمترًا. نجد أن الناتج يساوي 1952 سنتيمترًا. وفي الصف الثاني يكون مجموع أطوال الطلاب البالغ عددهم 15 طالبًا هو1905 سنتيمترات. وفي الصفوف الثالث والرابع والخامس نحصل على القيم: 2508 سنتيمترات، و2329 سنتيمترًا، و2574 سنتيمترًا، على الترتيب.

يمكننا الآن إيجاد إجمالي أطوال جميع الطلاب عن طريق إيجاد مجموع القيم الست في الصف السفلي. هذا يساوي 12892 سنتيمترًا. يمكننا الآن حساب الوسط الحسابي للطول في المدرسة بقسمة 12892 على 99. هذا يساوي 130.2 دوري. وبما أن المطلوب منا هو تقريب الإجابة لأقرب سنتيمتر، فإن الوسط الحسابي لطول الطلاب في المدرسة يساوي 130 سنتيمترًا.

سنختتم الآن هذا الفيديو بتلخيص النقاط الرئيسية. رأينا في هذا الفيديو أن الوسط الحسابي لمجموعة بيانات يعطينا مقياسًا لمركز البيانات. يمكننا حساب هذا الوسط الحسابي باستخدام الصيغة التي تنص على أن الوسط الحسابي يساوي مجموع كل القيم مقسومًا على عدد القيم. ورأينا أنه يمكن إيجاد الوسط الحسابي للبيانات المقدمة في جدول أو مخطط. إذا كان معلومًا لدينا كل من الوسط الحسابي لمجموعة بيانات وجميع القيم باستثناء قيمة واحدة، يمكننا العمل بطريقة عكسية لإيجاد القيمة الناقصة عن طريق تكوين معادلة وحلها. نفعل ذلك باستخدام صيغة الوسط الحسابي.

وأخيرًا في المثال الأخير رأينا أنه يمكن حساب الوسط الحسابي الكلي لمجموعة بيانات بمعلومية الوسط الحسابي لكل مجموعة منفردة. نفعل ذلك عن طريق حساب مجموع جميع قيم البيانات بإيجاد ناتج جمع قيم كل مجموعة أولًا. بعد ذلك نقسم على إجمالي عدد العناصر؛ وهو مجموع أعداد العناصر في كل مجموعة.