فيديو السؤال: التحقق إذا ما كانت المصفوفة قابلة للعكس الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

هل المصفوفة ﺃ التي رتبتها ثلاثة في ثلاثة، وعناصرها هي خمسة، سالب أربعة، سالب خمسة، صفر، سالب تسعة، صفر، اثنان، سبعة، سالب اثنين، لها معكوس ضربي؟

في هذا السؤال، لدينا مصفوفة ﺃ، ونلاحظ أن هذه المصفوفة لها ثلاثة صفوف وثلاثة أعمدة. مطلوب منا تحديد إذا ما كان للمصفوفة ﺃ معكوس ضربي. للإجابة عن هذا السؤال، من المهم أولًا أن ندرك ما يطلبه بالضبط. مطلوب منا تحديد إذا ما كان للمصفوفة ﺃ معكوس ضربي أم لا. لم يطلب منا حساب هذا المعكوس الضربي إذا كان موجودًا. إذن للإجابة عن هذا السؤال، كل ما علينا فعله هو تحديد إذا ما كان هذا المعكوس الضربي موجودًا أم لا. ولفعل ذلك، علينا استرجاع بعض المعلومات عن المصفوفات.

في البداية، نتذكر أن المصفوفة ﺃ يكون لها دائمًا معكوس ضربي إذا كان محدد ﺃ لا يساوي صفرًا. وفي الواقع، إذا عرفنا أن محدد المصفوفة لا يساوي صفرًا، فيمكننا دائمًا حساب معكوسها. ويمكننا إجراء ذلك باستخدام طريقة المصفوفة الملحقة. وبالمثل، نعلم أيضًا أن المصفوفة ﺃ لن يكون لها معكوس ضربي في أي حالة أخرى. على سبيل المثال، إذا كان محدد المصفوفة يساوي صفرًا، فإننا نسمي هذه المصفوفة «مصفوفة منفردة».

ولكن، هناك حالة أخرى لا يمكننا فيها حساب محدد المصفوفة. وهذا عندما تكون المصفوفة مستطيلة وليست مصفوفة مربعة. فعندئذ لا يكون للمصفوفة معكوس ضربي؛ إذ قد يكون لها معكوس ضربي أيمن أو أيسر، لكن لن يكونا متساويين. هذا يعني أن كل ما علينا فعله للتحقق إذا ما كان للمصفوفة معكوس ضربي أم لا هو تحديد إذا ما كان محددها يساوي صفرًا. لنبدأ إذن بحساب قيمة محدد المصفوفة ﺃ التي رتبتها ثلاثة في ثلاثة. وللقيام بذلك، لدينا بضعة خيارات مختلفة. ولأن ﺃ مصفوفة رتبتها ثلاثة في ثلاثة، سنفعل ذلك بفك الأقواس باستخدام صف أو عمود.

تذكر أنه عندما نريد إيجاد قيمة محدد مصفوفة من خلال الفك باستخدام صف أو عمود، علينا دائمًا البحث عن الصف أو العمود الذي يحتوي على أكبر عدد من الأصفار؛ لأن هذا سيجعل العملية الحسابية أسهل. وفي السؤال لدينا، نلاحظ أن هذا يتحقق في الصف الثاني؛ لأنه يحتوي على صفرين، ونعرف أنه عند الفك باستخدام هذا الصف، ستصبح عناصره هي معاملات الحدود. إذن، سيكون معامل الحد الأول ومعامل الحد الثالث صفرًا. بعبارة أخرى، سيساويان صفرًا فقط. ومن ثم، فإن الحد الوحيد الذي لن يساوي صفرًا هو الحد الذي نحصل عليه عند الفك باستخدام الصف الثاني والعمود الثاني.

تذكر أنه علينا ضرب سالب تسعة في محدد المصفوفة الصغرى التي نحصل عليها عن طريق حذف الصف الثاني والعمود الثاني من المصفوفة ﺃ. وعلينا أيضًا ضرب هذا في سالب واحد أس رقم الصف زائد رقم العمود. وفي هذه الحالة، نحصل على المعامل من الصف الثاني والعمود الثاني، إذن يصبح المعامل هو سالب واحد أس اثنين زائد اثنين. ومن ثم، نكون قد أوضحنا أن قيمة محدد المصفوفة ﺃ تساوي سالب واحد أس اثنين زائد اثنين مضروبًا في سالب تسعة في محدد المصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين وعناصرها هي خمسة، سالب خمسة، اثنان، سالب اثنين.

لإيجاد قيمة هذا المقدار، علينا تذكر كيفية إيجاد قيمة محدد مصفوفة رتبتها اثنان في اثنين. لعلنا نتذكر أن محدد المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين وعناصرها هي ﺃ،‏ ﺏ،‏ ﺟ،‏ ﺩ يساوي ﺃﺩ ناقص ﺏﺟ. هذا لأننا نحسب الفرق بين حاصل ضرب القطرين. وبتطبيق هذا على المعادلة لدينا وتبسيط سالب واحد أس اثنين زائد اثنين إلى واحد، نحصل على واحد في سالب تسعة مضروبًا في خمسة في سالب اثنين ناقص سالب خمسة في اثنين. وإذا حسبنا قيمة هذا المقدار، فسنحصل على سالب تسعة في سالب ١٠ زائد ١٠، وهو ما يمكن تبسيطه إلى سالب تسعة مضروبًا في صفر، ما يساوي صفرًا بالطبع.

هكذا نكون قد أوضحنا أن محدد المصفوفة ﺃ يساوي صفرًا، ونعرف أن هذا يعني أن المصفوفة ﺃ ليس لها معكوس ضربي. وبذلك، نكون قد أثبتنا أن المصفوفة التي رتبتها ثلاثة في ثلاثة، وعناصرها هي خمسة، سالب أربعة، سالب خمسة، صفر، سالب تسعة، صفر، اثنان، سبعة، سالب اثنين، ليس لها معكوس ضربي لأن محددها يساوي صفرًا.