شارح الدرس: معكوس المصفوفة: طريقة المصفوفة الملحقة الرياضيات

في هذا الشارح، سنتعلم كيف نوجد معكوس المصفوفات ٣×٣ باستخدام طريقة المصفوفة الملحقة.

عند التعامل مع مصفوفة مربعة 𞸀، فإننا نريد عادةً إيجاد المعكوس الضربي للمصفوفة، 𞸀١، إن وجد. وهناك طريقة نموذجية تُستخدم لتحقيق ذلك هي استخدام العمليات الصفية لإيجاد الصيغة الدرجية المختزلة للمصفوفة 𞸀 عندما تُكتب مع مصفوفة الوحدة ذات الصلة بطريقة محددة. تتميز هذه الطريقة بسهولة فهمها بمجرد فهم طريقة جاوس-جوردان للحذف. وعيب هذه الطريقة هو أنه عادةً ما يكون من الصعب إكمال العمليات الحسابية دون الحصول على كسور، كما قد يكون من السهل جدًّا ارتكاب الأخطاء كجزء طبيعي من العمليات الحسابية.

من المثير للاهتمام في الرياضيات عادةً فهم الطرق البديلة المتاحة لحل مسألةٍ ما. وبهذا الشكل، يكون الجبر الخطي مجالًا ممتازًا لفهم النظريات العميقة والنتائج بعدة طرق. بالنسبة إلى هذا الشارح، سنرى كيف يمكن حساب معكوس المصفوفة باستخدام طريقة المصفوفة الملحقة. يرى كثير من الناس أن طريقة المصفوفة الملحقة أبسط من طريقة جاوس-جوردان. على الرغم من أن طريقة المصفوفة الملحقة هي في الأساس عملية سهلة لحساب معكوس أي مصفوفة مربعة، فإنها تتطلب مراجعة عدة مفاهيم وفهمها قبل استكمال هذه العملية.

تعريف: المصفوفات الصغرى

انظر المصفوفة 𞸀 من الرتبة 𞸌×𞸍. إذن، المصفوفة “الصغرى” 𞸀𞸕𞹑 هي المصفوفة الابتدائية 𞸀 بعد حذف الصف 𞸕 والعمود 𞹑. وهذا يعني أن 𞸀𞸕𞹑 هي مصفوفة من الرتبة (𞸌١)×(𞸍١).

سنشرح هذا المفهوم بتعريف المصفوفة 𞸀=󰃭٣٠٦٨٢١١٠٣٤٢٤󰃬.

افترض أننا أردنا تكوين المصفوفة الصغرى 𞸀٢٣، التي ستتضمن إزالة الصف الثاني والعمود الثالث من 𞸀. يمكننا تحديد هذه العناصر كما هو موضح: 𞸀=󰃭٣٠٦٨٢١١٠٣٤٢٤󰃬، ثم نكتب المصفوفة الصغرى الناتجة 𞸀=󰂔٣٠٨٣٤٤󰂓.٢٣

إذا أردنا الآن تكوين المصفوفة الصغرى 𞸀٣١، إذن سنحذف الصف الثالث والعمود الأول: 𞸀=󰃭٣٠٦٨٢١١٠٣٤٢٤󰃬، وهو ما يعطينا المصفوفة الصغرى 𞸀=󰂔٠٦٨١١٠󰂓.٣١

في معظم ما تبقى من هذا الشارح، سنركز على حساب المعكوس الضربي لمصفوفات ٣×٣، التي كما سنرى، تتطلب منا فهم محدد مصفوفة ٢×٢ عامة.

تعريف: محدد مصفوفة 2 × 2

بالنسبة لمصفوفة ٢×٢𞸀=󰃁󰏡𞸁𞸢𞸃󰃀، “ محدد” 𞸀 يرمز له |𞸀| وهو موضح بالصيغة |𞸀|=󰍾󰏡𞸁𞸢𞸃󰍾=󰏡𞸃𞸁𞸢.

يمكننا توضيح هذا التعريف من خلال مثال بسيط. انظر المصفوفة 𞸀=󰂔١٣٢١󰂓.

يمكن حساب المحدد، باستخدام الصيغة الموجودة في التعريف أعلاه، على الصورة |𞸀|=󰍻١٣٢١󰍻=(١)×١(٣)×(٢)=٥.

بفهم ذلك، نكون جاهزين الآن لتحديد الفكرة الرئيسية التي سنستخدمها مرارًا وتكرارًا في بقية هذا الشارح. على الرغم من أننا سنختار التركيز على المصفوفات من الرتبة ٣×٣، يمكن توسيع المفاهيم التي نحن على وشك وصفها لتشمل مصفوفات مربعة من أي بُعد. بالنسبة للتدريب الأخير في هذا الشارح، سنعطي مثالًا على الطريقة المطبقة على مصفوفة ٤×٤ ونناقش المزايا النسبية لطريقة المصفوفة الملحقة في تلك الحالة.

تعريف: مصفوفة العوامل المرافقة

افترض أن لدينا مصفوفة مربعة 𞸀 من الرتبة 𞸍×𞸍 ويشار إلى مصفوفاتها الصغرى بـ 𞸀𞸕𞹑. إذن، نحصل على مصفوفة العوامل المرافقة 𞸎 من خلال محددات كل المصفوفات الصغرى لـ 𞸀 بالطريقة الآتية: 𞸎=(١)|𞸀|(١)|𞸀|(١)|𞸀|(١)|𞸀|(١)|𞸀|(١)|𞸀|(١)|𞸀|(١)|𞸀|(١)|𞸀|.١+١١١١+٢١٢١+𞸍١𞸍٢+١٢١٢+٢٢٢٢+𞸍٢𞸍𞸍+١𞸍١𞸍+٢𞸍٢𞸍+𞸍𞸍𞸍

بعبارةٍ أخرى، نحصل على عناصر 𞸎 بواسطة الصيغة 𞸢=(١)|𞸀|.𞸕𞹑𞸕+𞹑𞸕𞹑

سنوضح كيف نحسب مصفوفة العوامل المرافقة باستخدام المصفوفة 𞸀=󰃭٣٠٣٢٣٦٧٣٥󰃬.

الخطوة الأولى هي حساب جميع المصفوفات الصغرى للمصفوفة 𞸀. ليس هذا الأمر شيقًا، على الرغم من أنه على الأقل، يمثل نشاطًا بسيطًا إلى حدٍ ما. نجد أن 𞸀=󰂔٣٦٣٥󰂓،𞸀=󰂔٢٦٧٥󰂓،𞸀=󰂔٢٣٧٣󰂓،𞸀=󰂔٠٣٣٥󰂓،𞸀=󰂔٣٣٧٥󰂓،𞸀=󰂔٣٠٧٣󰂓،𞸀=󰂔٠٣٣٦󰂓،𞸀=󰂔٣٣٢٦󰂓،𞸀=󰂔٣٠٢٣󰂓.١١١٢١٣٢١٢٢٢٣٣١٣٢٣٣

نحدد إشارة كل عنصر من عناصر مصفوفة العوامل المرافقة عن طريق كتابة (١)𞸕+𞹑 أمام كل عنصر، ويتوجب علينا أن نتذكر ذلك. بوضع ذلك في الاعتبار، وباستخدام صيغة محدد مصفوفة ٢×٢ يعطينا +|𞸀|=+󰍻٣٦٣٥󰍻=٣٣،|𞸀|=󰍻٢٦٧٥󰍻=٢٥،+|𞸀|=+󰍻٢٣٧٣󰍻=٥١،|𞸀|=󰍻٠٣٣٥󰍻=٩،+|𞸀|=+󰍻٣٣٧٥󰍻=٦،|𞸀|=󰍻٣٠٧٣󰍻=٩،+|𞸀|=+󰍻٠٣٣٦󰍻=٩،|𞸀|=󰍻٣٣٢٦󰍻=٤٢،+|𞸀|=+󰍻٣٠٢٣󰍻=٩.١١١٢١٣٢١٢٢٢٣٣١٣٢٣٣

بعد ذلك نحصل على مصفوفة العوامل المرافقة عن طريق كتابة جميع الأعداد المخرجة في مصفوفة تحديدًا على الصورة الموضحة: 𞸎=󰃭٣٣٢٥٥١٩٦٩٩٤٢٩󰃬.

في هذه المرحلة، قد لا يكون من الواضح على الإطلاق لماذا قمنا بتكوين مصفوفة العوامل المرافقة للمصفوفة 𞸀. ويمكن تفسير ذلك في التعريف والنظرية أدناه، اللذان يربطان مصفوفة العوامل المرافقة بمعكوس مصفوفةٍ ما عبر المصفوفة الملحقة.

تعريف: المصفوفة الملحقة

المصفوفة “الملحقة” (𞸀) هي مدور مصفوفة العوامل المرافقة 𞸎. بعبارةٍ أخرى (𞸀)=𞸎󰎨.

نظرية: معكوس مصفوفة مربعة باستخدام طريقة المصفوفة الملحقة

بالنسبة لمصفوفة مربعة 𞸀 حيث معكوس المصفوفة 𞸀١ معرف، نحصل على 𞸀=١|𞸀|(𞸀)،١ حيث |𞸀| يمثل محدد 𞸀.

لاحظ كيف تكون 𞸀١ معرفة طالما أن |𞸀|٠، ولا نستطيع ان نسمح بعكس ذلك، لأنه يعني أننا نحاول القسمة على صفر. قبل محاولة حساب معكوس المصفوفة المربعة باستخدام طريقة المصفوفة الملحقة، علينا أولًا حساب قيمة المحدد. إذا كان المحدد يساوي صفرًا، إذن معكوس المصفوفة لن يكون معرفًا، ومن ثم لن نتمكن من استخدام طريقة المصفوفة الملحقة (أو أي طريقة) لإيجاده.

ومن المعلوم أنه للمصفوفة ٢×٢𞸀=󰃁󰏡𞸁𞸢𞸃󰃀 يمكن كتابة المعكوس على الصورة 𞸀=١󰏡𞸃𞸁𞸢󰃁𞸃𞸁𞸢󰏡󰃀.١

يمكننا استخدام هذه النتيجة للتأكد من أن طريقة المصفوفة الملحقة ستنتج المعكوس الصحيح لمصفوفة ٢×٢ عامة. المصفوفات الصغرى للمصفوفة ٢×٢ ستكون مصفوفات من الرتبة ١×١، التي يشار إليها على نحوٍ أكثر شيوعًا بـ “الأعداد”، على الرغم من أننا نكتب هذه الأعداد في صيغة المصفوفات على الصورة 𞸀=(𞸃)،𞸀=(𞸢)،𞸀=(𞸁)،𞸀=(󰏡).١١١٢٢١٢٢

على الرغم من أنها صحيحة من الناحية العلمية، ليس من الضروري إلى حد ما كتابة محددات هذه المصفوفات الصغرى، لأن أخذ محدد المصفوفة ١×١ سيعيد العدد الوحيد في هذه المصفوفة. من أجل الاتساق، نكتب هذه الأعداد بدلالة محددات. متضمنة (١)𞸕+𞹑 يعطينا +|𞸀|=𞸃،|𞸀|=𞸢،|𞸀|=𞸁،+|𞸀|=󰏡.١١١٢٢١٢٢

مصفوفة العوامل المرافقة هي أيضًا مصفوفة ٢×٢ وتتكون من العناصر أعلاه، بالترتيب. مصفوفة العوامل المرافقة هي 𞸎=󰃁𞸃𞸢𞸁󰏡󰃀.

لإيجاد المصفوفة الملحقة لـ 𞸀، لا بد أن نأخذ مدور مصفوفة العوامل المرافقة. نجد أن (𞸀)=𞸎=󰃁𞸃𞸢𞸁󰏡󰃀=󰃁𞸃𞸁𞸢󰏡󰃀.󰎨󰎨

نعرف أنه للمصفوفة 𞸀، تكون صيغة المحدد هي |𞸀|=󰏡𞸃𞸁𞸢. بضم هذه المعلومة إلى النظرية السابقة، التي تربط بين معكوس المصفوفة 𞸀 بالمحدد والمصفوفة الملحقة لـ 𞸀، نحصل على 𞸀=١|𞸀|(𞸀)=١󰏡𞸃𞸁𞸢󰃁𞸃𞸁𞸢󰏡󰃀.١

وهذا يتفق تمامًا مع الصيغة المعروفة لمعكوس مصفوفة ٢×٢، وهي إشارة مشجعة أن هذه الطريقة صحيحة كما وصفنا. في المثال التالي، نوضح كيف يمكن استخدام المصفوفة الملحقة لإيجاد معكوس مصفوفة ٣×٣ وهي طريقة بديلة لطريقة جاوس-جوردان.

مثال ١: إيجاد معكوس مصفوفة ٣ × ٣

انظر المصفوفة 󰃭١٠٣١٠١٣١٠󰃬.

حدد إذا ما كانت المصفوفة لها معكوس من خلال تحديد إذا ما كان المحدد لا يساوي صفرًا. إذا كان المحدد لا يساوي صفرًا، أوجد المعكوس باستخدام صيغة المعكوس، التي تتضمن مصفوفة العوامل المرافقة.

الحل

أولًا، سنرمز للمصفوفة أعلاه بـ 𞸀 ثم نحسب المحدد باستخدام قاعدة ساروس. نجد أن |𞸀|=󰏡|𞸀|𞸀|𞸀|+𞸀|𞸀|=١×󰍻٠١١٠󰍻٠×󰍻١١٣٠󰍻+٣×󰍻١٠٣١󰍻=١×(١)٠×(٣)+٣×١=٢.١١١١١٢١٢١٣١٣

المحدد لا يساوي صفرًا، إذن المصفوفة قابلة للعكس. ولذا، يمكننا الاستمرار في حساب 𞸀١ باستخدام طريقة المصفوفة الملحقة. نبدأ أولًا بحساب جميع المصفوفات الصغرى 𞸀=󰂔٠١١٠󰂓،𞸀=󰂔١١٣٠󰂓،𞸀=󰂔١٠٣١󰂓،𞸀=󰂔٠٣١٠󰂓،𞸀=󰂔١٣٣٠󰂓،𞸀=󰂔١٠٣١󰂓،𞸀=󰂔٠٣٠١󰂓،𞸀=󰂔١٣١١󰂓،𞸀=󰂔١٠١٠󰂓.١١١٢١٣٢١٢٢٢٣٣١٣٢٣٣

تحتوي هذه المصفوفات الصغرى على العديد من العنصر صفر من المصفوفة الأصلية 𞸀، وهو ما يسهل حساب محدداتها. باستخدام صيغة محدد المصفوفة ٢×٢، وتذكر أن كل محدد يجب أن يكتب بإشارته، نحصل على +|𞸀|=+󰍻٠١١٠󰍻=١،|𞸀|=󰍻١١٣٠󰍻=٣،+|𞸀|=+󰍻١٠٣١󰍻=١،|𞸀|=󰍻٠٣١٠󰍻=٣،+|𞸀|=+󰍻١٣٣٠󰍻=٩،|𞸀|=󰍻١٠٣١󰍻=١،+|𞸀|=+󰍻٠٣٠١󰍻=٠،|𞸀|=󰍻١٣١١󰍻=٢،+|𞸀|=+󰍻١٠١٠󰍻=٠.١١١٢١٣٢١٢٢٢٣٣١٣٢٣٣

بعد ذلك، تتكون مصفوفة العوامل المرافقة من جميع المحددات الـ ٩ التي حسبناها في الحل أعلاه. وهذا يعطينا 𞸎=󰃭١٣١٣٩١٠٢٠󰃬.

ثم نأخذ مدور مصفوفة العوامل المرافقة للحصول على المصفوفة الملحقة (𞸀)=󰃭١٣٠٣٩٢١١٠󰃬.

والآن أصبح لدينا كل المركبات اللازمة لحساب معكوس المصفوفة باستخدام النتيجة التالية: 𞸀=١|𞸀|(𞸀)=١٢󰃭١٣٠٣٩٢١١٠󰃬.١

يجب التحقق من أن 𞸀 و𞸀١ كل منهما معكوس الآخر عن طريق إظهار أن 𞸀𞸀=𝐼١٣ أو 𞸀𞸀=𝐼١٣، حيث أن 𝐼٣ هي مصفوفة الوحدة ٣×٣.

عادةً، عند حساب معكوس مصفوفة مربعة باستخدام طريقة جاوس-جوردان، يكون هناك احتمال بوجود كسور عندما يكون المحدد لا يساوي ±١. وكما رأينا في طريقة المصفوفة الملحقة، يمكننا حساب معكوس مصفوفةٍ ما، حيث علينا فقط أن نضع حدًا كسريًّا في نهاية المصفوفة. يتعلق الأمر بالتفضيل الشخصي بشأن الطريقة المستخدمة لحساب معكوس مصفوفة مربعة، على الرغم من أن العديد من الأشخاص يفضلون طريقة المصفوفة الملحقة لهذا السبب على وجه التحديد. وسنرى مثالين آخرين على استخدام هذه الطريقة لحساب معكوس مصفوفة ٣×٣، ثم سنطبق الطريقة نفسها على مصفوفة ٤×٤.

مثال ٢: إيجاد معكوس مصفوفة ٣ × ٣

حدد ما إذا كان للمصفوفة 󰃭١٣٣٢٤١٠١١󰃬 معكوسًا من خلال إيجاد إذا ما كان المحدد لا يساوي صفرًا. إذا كان المحدد لا يساوي صفرًا، أوجد المعكوس باستخدام صيغة المعكوس، التي تتضمن مصفوفة العوامل المرافقة.

الحل

سنرمز للمصفوفة بـ 𞸀، وسنحسب قيمة محددها باستخدام قاعدة ساروس. هذا يعطينا |𞸀|=󰏡|𞸀|𞸀|𞸀|+𞸀|𞸀|=١×󰍻٤١١١󰍻٣×󰍻٢١٠١󰍻+٣×󰍻٢٤٠١󰍻=١×٣٣×٢+٣×٢=٣.١١١١١٢١٢١٣١٣

وبما أن |𞸀|٠، يكون معكوس 𞸀 موجودًا بالفعل ويمكن حسابه أولًا عن طريق إيجاد جميع المصفوفات الصغرى لـ 𞸀، كما هو موضح: 𞸀=󰂔٤١١١󰂓،𞸀=󰂔٢١٠١󰂓،𞸀=󰂔٢٤٠١󰂓،𞸀=󰂔٣٣١١󰂓،𞸀=󰂔١٣٠١󰂓،𞸀=󰂔١٣٠١󰂓،𞸀=󰂔٣٣٤١󰂓،𞸀=󰂔١٣٢١󰂓،𞸀=󰂔١٣٢٤󰂓.١١١٢١٣٢١٢٢٢٣٣١٣٢٣٣

تتكون مصفوفة العوامل المرافقة من محددات هذه المصفوفات الصغرى، مع تضمين الاشارات كما هو موضح أدناه. باستخدام هذا الحل وصيغة محدد المصفوفة ٢×٢ نحصل على المصفوفة +|𞸀|=+󰍻٤١١١󰍻=٣،|𞸀|=󰍻٢١٠١󰍻=٢،+|𞸀|=+󰍻٢٤٠١󰍻=٢،|𞸀|=󰍻٣٣١١󰍻=٠،+|𞸀|=+󰍻١٣٠١󰍻=١،|𞸀|=󰍻١٣٠١󰍻=١،+|𞸀|=+󰍻٣٣٤١󰍻=٩،|𞸀|=󰍻١٣٢١󰍻=٥،+|𞸀|=+󰍻١٣٢٤󰍻=٢.١١١٢١٣٢١٢٢٢٣٣١٣٢٣٣

إذن تتكون مصفوفة العوامل المرافقة عن طريق كتابة هذه العناصر، بالترتيب نفسه، في مصفوفة ٣×٣ جديدة 𞸎=󰃭٣٢٢٠١١٩٥٢󰃬،، التي تدور لتعطينا المصفوفة الملحقة لـ 𞸀:(𞸀)󰃭٣٠٩٢١٥٢١٢󰃬.

الآن، يمكن كتابة معكوس 𞸀 ببساطة بدلالة محدد 𞸀 والمصفوفة الملحقة لـ 𞸀. هذا يعطينا 𞸀=١|𞸀|(𞸀)=١٣󰃭٣٠٩٢١٥٢١٢󰃬.١

وكما هو الحال دائمًا، يجب أن نتحقق من أن معكوس المصفوفة المعطى صحيح. وتحديدًا، يجب أن تكون 𞸀𞸀=𝐼١٣ و𞸀𞸀=𝐼١٣ حيث 𝐼٣ هي مصفوفة وحدة ٣×٣.

مثال ٣: إيجاد معكوس مصفوفة

أوجد معكوس المصفوفة 󰃭١٢٠٠٢١٣١١󰃬.، إن وجد

الحل

تتضمن طريقة المصفوفة الملحقة لتكوين مصفوفةٍ ما إيجاد جميع المصفوفات الصغرى لـ 𞸀 ثم استخدام محدداتها لتكوين مصفوفة العوامل المرافقة، التي نوجد منها المصفوفة الملحقة. ومع ذلك، لن يكون هناك فائدة تُذكر من إكمال جميع هذه العمليات الحسابية إذا كانت المصفوفة 𞸀 نفسها قابلة للعكس. يجب أن نتحقق إذن من صحة هذه الحالة بالتحقق من محدد 𞸀، الذي سنحسبه بواسطة قاعدة ساروس كما يلي: |𞸀|=󰏡|𞸀|𞸀|𞸀|+𞸀|𞸀|=١×󰍻٢١١١󰍻٢×󰍻٠١٣١󰍻+٠×󰍻٠٢٣١󰍻=١×١٢×(٣)+٠×(٦)=٧.١١١١١٢١٢١٣١٣

وبما أن المحدد لا يساوي صفرًا، تكون المصفوفة 𞸀 قابلة للعكس ويمكننا المتابعة في تكوين 𞸀١ من خلال طريقة المصفوفة الملحقة. ننتج أولًا جميع المصفوفات الصغرى 𞸀=󰂔٢١١١󰂓،𞸀=󰂔٠١٣١󰂓،𞸀=󰂔٠٢٣١󰂓،𞸀=󰂔٢٠١١󰂓،𞸀=󰂔١٠٣١󰂓،𞸀=󰂔١٢٣١󰂓،𞸀=󰂔٢٠٢١󰂓،𞸀=󰂔١٠٠١󰂓،𞸀=󰂔١٢٠٢󰂓.١١١٢١٣٢١٢٢٢٣٣١٣٢٣٣

بتذكر تضمين الاشارات، إذن نحسب محددات كل هذه المصفوفات الصغرى: +|𞸀|=+󰍻٢١١١󰍻=١،|𞸀|=󰍻٠١٣١󰍻=٣،+|𞸀|=+󰍻٠٢٣١󰍻=٦،|𞸀|=󰍻٢٠١١󰍻=٢،+|𞸀|=+󰍻١٠٣١󰍻=١،|𞸀|=󰍻١٢٣١󰍻=٥،+|𞸀|=+󰍻٢٠٢١󰍻=٢،|𞸀|=󰍻١٠٠١󰍻=١،+|𞸀|=+󰍻١٢٠٢󰍻=٢.١١١٢١٣٢١٢٢٢٣٣١٣٢٣٣

بعد ذلك، تتكون مصفوفة العوامل المرافقة عن طريق كتابة كل قيمة من قيم المحددات أعلاه بالترتيب في مصفوفة جديدة 𞸎=󰃭١٣٦٢١٥٢١٢󰃬.

تُعرّف المصفوفة الملحقة بمدور مصفوفة العوامل المرافقة، ما يعني (𞸀)=𞸎󰎨. باستخدام مدور المصفوفة 𞸎، نجد (𞸀)=󰃭١٢٢٣١١٦٥٢󰃬.

وأخيرًا، يمكننا الآن حساب 𞸀١ من خلال التعبير عن ذلك بدلالة |𞸀| و(𞸀) كالتالي: 𞸀=١|𞸀|(𞸀)=١٧󰃭١٢٢٣١١٦٥٢󰃬.١

وباستعراض المثالين أعلاه، يمكننا التوصل إلى بعض الافتراضات المنطقية عما يمكننا توقعه إذا حاولنا استخدام طريقة المصفوفة الملحقة لحساب معكوس مصفوفة ٤×٤ أو أي مصفوفة مربعة من رتبة أكبر من ٣×٣. يمكننا أن نفترض أن الطريقة الكلية ستتغير قليلًا جدًّا، لكن عدد العمليات الحسابية المتضمنة سيكون أكبر بكثير. على سبيل المثال، لمصفوفة ٤×٤، سنحتاج إلى حساب محددات ١٦ مصفوفة صغرى من الرتبة ٣×٣، وهو ما لا يمثل أمرًا شيقًا. بالرغم من ذلك، يمكننا بالتأكيد إجراء ذلك، فهذا النوع من العمليات الحسابية يمكن اجراءها بسرعة كبيرة بواسطة الحساب الجبري، حتى بالنسبة للمصفوفات المربعة من الرتب الكبيرة جدًّا.

مثال ٤: استخدام المصفوفة الملحقة لإيجاد معكوس مصفوفة ٤ × ٤

استخدم طريقة المصفوفة الملحقة لإيجاد معكوس المصفوفة 𞸀=١٠٢٣٠٣٤١٢١٠٣١٠١١.

الحل

للتأكد من أنه من الممكن فعليًّا حساب معكوس 𞸀، سنحسب المحدد أولًا. لفعل ذلك، سنفك الصف العلوي باستخدام المصفوفات الصغرى ذات الصلة. هذا يعطينا |𞸀|=󰏡|𞸀|𞸀|𞸀|+𞸀|𞸀|𞸀|𞸀|=١×󰎁٣٤١١٠٣٠١١󰎁٠×󰎁٠٤١٢٠٣١١١󰎁+٢×󰎁٠٣١٢١٣١٠١󰎁٣×󰎁٠٣٤٢١٠١٠١󰎁.١١١١١٢١٢١٣١٣١٤١٤

يمكن حساب محددات هذه المصفوفات الصغرى ٣×٣ باستخدام قاعدة ساروس أو أي طريقة أخرى مفضلة. هذا سيعطينا |𞸀|=󰏡|𞸀|𞸀|𞸀|+𞸀|𞸀|𞸀|𞸀|=١×٢١٠×(٦)+٢×٢٣×(٠١)=٦٤.١١١١١٢١٢١٣١٣١٤١٤

وبما أن |𞸀|٠، نعلم أن معكوس 𞸀 لا بد أن يكون معرفًا، وهو ما يعني أنه يمكننا المتابعة باستخدام طريقة المصفوفة الملحقة لحساب 𞸀١. في البداية، نوضح جميع المصفوفات الصغرى لـ 𞸀: 𞸀=󰃭٣٤١١٠٣٠١١󰃬،𞸀=󰃭٠٤١٢٠٣١١١󰃬،𞸀=󰃭٠٣١٢١٣١٠١󰃬،𞸀=󰃭٠٣٤٢١٠١٠١󰃬،𞸀=󰃭٠٢٣١٠٣٠١١󰃬،𞸀=󰃭١٢٣٢٠٣١١١󰃬،𞸀=󰃭١٠٣٢١٣١٠١󰃬،𞸀=󰃭١٠٢٢١٠١٠١󰃬،𞸀=󰃭٠٢٣٣٤١٠١١󰃬،𞸀=󰃭١٢٣٠٤١١١١󰃬،𞸀=󰃭١٠٣٠٣١١٠١󰃬،𞸀=󰃭١٠٢٠٣٤١٠١󰃬،𞸀=󰃭٠٢٣٣٤١١٠٣󰃬،𞸀=󰃭١٢٣٠٤١٢٠٣󰃬،𞸀=󰃭١٠٣٠٣١٢١٣󰃬،𞸀=󰃭١٠٢٠٣٤٢١٠󰃬.١١١٢١٣١٤٢١٢٢٢٣٢٤٣١٣٢٣٣٣٤٤١٤٢٤٣٤٤

قبل تكوين مصفوفة العوامل المرافقة، علينا حساب محدد جميع المصفوفات الصغرى، مع الحرص دائمًا على الاشارات الصحيحة: +|𞸀|=+󰎁٣٤١١٠٣٠١١󰎁=٢١،|𞸀|=󰎁٠٤١٢٠٣١١١󰎁=٦،+|𞸀|=+󰎁٠٣١٢١٣١٠١󰎁=٢،|𞸀|=󰎁٠٣٤٢١٠١٠١󰎁=٠١،|𞸀|=󰎁٠٢٣١٠٣٠١١󰎁=١،+|𞸀|=+󰎁١٢٣٢٠٣١١١󰎁=١١،|𞸀|=󰎁١٠٣٢١٣١٠١󰎁=٤،+|𞸀|=+󰎁١٠٢٢١٠١٠١󰎁=٣،+|𞸀|=+󰎁٠٢٣٣٤١٠١١󰎁=٣،|𞸀|=󰎁١٢٣٠٤١١١١󰎁=٣١،+|𞸀|=+󰎁١٠٣٠٣١١٠١󰎁=٢١،|𞸀|=󰎁١٠٢٠٣٤١٠١󰎁=٩،|𞸀|=󰎁٠٢٣٣٤١١٠٣󰎁=٨٢،+|𞸀|=+󰎁١٢٣٠٤١٢٠٣󰎁=٢٣،|𞸀|=󰎁١٠٣٠٣١٢١٣󰎁=٦٢،+|𞸀|=+󰎁١٠٢٠٣٤٢١٠󰎁=٨.١١١٢١٣١٤٢١٢٢٢٣٢٤٣١٣٢٣٣٣٤٤١٤٢٤٣٤٤

في هذه المرحلة، علينا أن نلاحظ بالتأكيد مدى صعوبة هذا التدريب إذا استثمرنا كل الوقت في حساب المحددات المذكورة أعلاه فقط ثم نجد أن المعكوس 𞸀١ غير معرف. هذا تذكير قوي بضرورة حساب قيمة محدد 𞸀 دائمًا قبل اتخاذ أي خطوات أخرى، وإلا سيكون هناك جهد كبير ضائع! وبما أننا نعرف أن 𞸀١ معرف، وأن لدينا كل المحددات المحسوبة بالأعلى، نملأ مصفوفة العوامل المرافقة بهذه العناصر: 𞸎=٢١٦٢٠١١١١٤٣٣٣١٢١٩٨٢٢٣٦٢٨.

نأخذ مدور هذه المصفوفة لنحصل على المصفوفة الملحقة: (𞸀)=٢١١٣٨٢٦١١٣١٢٣٢٤٢١٦٢٠١٣٩٨.

وأخيرًا، يمكن حساب المعكوس باستخدام الصيغة 𞸀=١|𞸀|(𞸀)=١٦٤٢١١٣٨٢٦١١٣١٢٣٢٤٢١٦٢٠١٣٩٨.١

ووفقًا لرتبة المصفوفة المربعة والعناصر الموجودة، عادةً ما يكون هناك اختيار “أفضل” بشأن الطريقة الأنسب لحساب معكوس مصفوفةٍ ما. يمكن أن تكون طريقة المصفوفة الملحقة التي عرضناها مفيدة جدًّا في الحالات التي يكون فيها المحدد كبيرًا، ما يعني أنه من المحتمل ظهور الحدود الكسرية ذات المقامات الكبيرة مبكرًا إذا استخدمنا بدلًا من ذلك طريقة جاوس-جوردان. فهي تساعد على فهم جيد لكلٍ من طريقة جاوس-جوردان وطريقة المصفوفة الملحقة، وتجعلنا قادرين على تحديد الطريقة التي من المحتمل أن تكون هي الأنسب لحساب معكوس مصفوفةٍ ما. كثير من طلاب الرياضيات يفضلون طريقة المصفوفة الملحقة، وخاصة بالنسبة لمصفوفات ٣×٣، بالرغم من أنه لا توجد مرونة حقيقية فيما يتعلق بالخطوات اللازمة لهذا النهج. على العكس من ذلك، تسمح لنا طريقة جاوس-جوردان باختيار العمليات الصفية التي تُستخدم لإيجاد معكوس المصفوفة، وعادةً ما تسمح باختيار الخطوات لجعل العمليات الحسابية أبسط.

النقاط الرئيسية

  • لأي مصفوفة 𞸀 من الرتبة 𞸌×𞸍 تكون المصفوفة الصغرى 𞸀𞸕𞹑 مطابقة لـ 𞸀 بعد إزالة صف 𞸕 وعمود 𞹑th، بمعنى أن 𞸀𞸕𞹑 لها رتبة (𞸌١)×(𞸍١).
  • بالنسبة لمصفوفة مربعة 𞸀 من الرتبة 𞸍×𞸍، تكون مصفوفة العوامل المرافقة 𞸎 هي أيضًا مصفوفة مربعة من الرتبة 𞸍×𞸍.تنشأ عناصر هذه المصفوفة من خلال محددات المصفوفات الصغرى لـ 𞸀، حيث 𞸢=(١)|𞸀|𞸕𞹑𞸕+𞹑𞸕𞹑.
  • المصفوفة الملحقة هي مدور مصفوفة العوامل المرافقة.بعبارةٍ أخرى (𞸀)=𞸎󰎨.
  • إذا كانت المصفوفة |𞸀|٠، إذن يمكن كتابة معكوس 𞸀 على الصورة 𞸀=١|𞸀|(𞸀)١.
  • ومن الضروري أن نتحقق من أن |𞸀|٠ قبل أن نبدأ في تكوين مصفوفة العوامل المرافقة، لأن المعكوس سيكون غير معرف، إذا كانت المصفوفة |𞸀|=٠.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.