شارح الدرس: معكوس المصفوفة: طريقة المصفوفة الملحقة الرياضيات

في هذا الشارح، سنتعلم كيف نوجد معكوس المصفوفات باستخدام طريقة المصفوفة الملحقة.

عند التعامل مع مصفوفة مربعة ، فإننا نريد عادةً إيجاد المعكوس الضربي للمصفوفة، ، إن وجد. وهناك طريقة نموذجية تُستخدم لتحقيق ذلك هي استخدام العمليات الصفية لإيجاد الصيغة الدرجية المختزلة للمصفوفة عندما تُكتب مع مصفوفة الوحدة ذات الصلة بطريقة محددة. تتميز هذه الطريقة بسهولة فهمها بمجرد فهم طريقة جاوس-جوردان للحذف. وعيب هذه الطريقة هو أنه عادةً ما يكون من الصعب إكمال العمليات الحسابية دون الحصول على كسور، كما قد يكون من السهل جدًّا ارتكاب الأخطاء كجزء طبيعي من العمليات الحسابية.

من المثير للاهتمام في الرياضيات عادةً فهم الطرق البديلة المتاحة لحل مسألةٍ ما. وبهذا الشكل، يكون الجبر الخطي مجالًا ممتازًا لفهم النظريات العميقة والنتائج بعدة طرق. بالنسبة إلى هذا الشارح، سنرى كيف يمكن حساب معكوس المصفوفة باستخدام طريقة المصفوفة الملحقة. يرى كثير من الناس أن طريقة المصفوفة الملحقة أبسط من طريقة جاوس-جوردان. على الرغم من أن طريقة المصفوفة الملحقة هي في الأساس عملية سهلة لحساب معكوس أي مصفوفة مربعة، فإنها تتطلب مراجعة عدة مفاهيم وفهمها قبل استكمال هذه العملية.

سنشرح هذا المفهوم بتعريف المصفوفة

افترض أننا أردنا تكوين المصفوفة الصغرى ، التي ستتضمن إزالة الصف الثاني والعمود الثالث من . يمكننا تحديد هذه العناصر كما هو موضح: ثم نكتب المصفوفة الصغرى الناتجة

إذا أردنا الآن تكوين المصفوفة الصغرى ، إذن سنحذف الصف الثالث والعمود الأول: وهو ما يعطينا المصفوفة الصغرى

في معظم ما تبقى من هذا الشارح، سنركز على حساب المعكوس الضربي لمصفوفات ، التي كما سنرى، تتطلب منا فهم محدد مصفوفة عامة.

يمكننا توضيح هذا التعريف من خلال مثال بسيط. انظر المصفوفة

يمكن حساب المحدد، باستخدام الصيغة الموجودة في التعريف أعلاه، على الصورة

بفهم ذلك، نكون جاهزين الآن لتحديد الفكرة الرئيسية التي سنستخدمها مرارًا وتكرارًا في بقية هذا الشارح. على الرغم من أننا سنختار التركيز على المصفوفات من الرتبة ، يمكن توسيع المفاهيم التي نحن على وشك وصفها لتشمل مصفوفات مربعة من أي بُعد. بالنسبة للتدريب الأخير في هذا الشارح، سنعطي مثالًا على الطريقة المطبقة على مصفوفة ونناقش المزايا النسبية لطريقة المصفوفة الملحقة في تلك الحالة.

سنوضح كيف نحسب مصفوفة العوامل المرافقة باستخدام المصفوفة

الخطوة الأولى هي حساب جميع المصفوفات الصغرى للمصفوفة . ليس هذا الأمر شيقًا، على الرغم من أنه على الأقل، يمثل نشاطًا بسيطًا إلى حدٍ ما. نجد أن

نحدد إشارة كل عنصر من عناصر مصفوفة العوامل المرافقة عن طريق كتابة أمام كل عنصر، ويتوجب علينا أن نتذكر ذلك. بوضع ذلك في الاعتبار، وباستخدام صيغة محدد مصفوفة يعطينا

بعد ذلك نحصل على مصفوفة العوامل المرافقة عن طريق كتابة جميع الأعداد المخرجة في مصفوفة تحديدًا على الصورة الموضحة:

في هذه المرحلة، قد لا يكون من الواضح على الإطلاق لماذا قمنا بتكوين مصفوفة العوامل المرافقة للمصفوفة . ويمكن تفسير ذلك في التعريف والنظرية أدناه، اللذان يربطان مصفوفة العوامل المرافقة بمعكوس مصفوفةٍ ما عبر المصفوفة الملحقة.

لاحظ كيف تكون معرفة طالما أن ، ولا نستطيع ان نسمح بعكس ذلك، لأنه يعني أننا نحاول القسمة على صفر. قبل محاولة حساب معكوس المصفوفة المربعة باستخدام طريقة المصفوفة الملحقة، علينا أولًا حساب قيمة المحدد. إذا كان المحدد يساوي صفرًا، إذن معكوس المصفوفة لن يكون معرفًا، ومن ثم لن نتمكن من استخدام طريقة المصفوفة الملحقة (أو أي طريقة) لإيجاده.

ومن المعلوم أنه للمصفوفة يمكن كتابة المعكوس على الصورة

يمكننا استخدام هذه النتيجة للتأكد من أن طريقة المصفوفة الملحقة ستنتج المعكوس الصحيح لمصفوفة عامة. المصفوفات الصغرى للمصفوفة ستكون مصفوفات من الرتبة ، التي يشار إليها على نحوٍ أكثر شيوعًا بـ “الأعداد”، على الرغم من أننا نكتب هذه الأعداد في صيغة المصفوفات على الصورة

على الرغم من أنها صحيحة من الناحية العلمية، ليس من الضروري إلى حد ما كتابة محددات هذه المصفوفات الصغرى، لأن أخذ محدد المصفوفة سيعيد العدد الوحيد في هذه المصفوفة. من أجل الاتساق، نكتب هذه الأعداد بدلالة محددات. متضمنة يعطينا

مصفوفة العوامل المرافقة هي أيضًا مصفوفة وتتكون من العناصر أعلاه، بالترتيب. مصفوفة العوامل المرافقة هي

لإيجاد المصفوفة الملحقة لـ ، لا بد أن نأخذ مدور مصفوفة العوامل المرافقة. نجد أن

نعرف أنه للمصفوفة ، تكون صيغة المحدد هي . بضم هذه المعلومة إلى النظرية السابقة، التي تربط بين معكوس المصفوفة بالمحدد والمصفوفة الملحقة لـ ، نحصل على

وهذا يتفق تمامًا مع الصيغة المعروفة لمعكوس مصفوفة ، وهي إشارة مشجعة أن هذه الطريقة صحيحة كما وصفنا. في المثال التالي، نوضح كيف يمكن استخدام المصفوفة الملحقة لإيجاد معكوس مصفوفة وهي طريقة بديلة لطريقة جاوس-جوردان.

عادةً، عند حساب معكوس مصفوفة مربعة باستخدام طريقة جاوس-جوردان، يكون هناك احتمال بوجود كسور عندما يكون المحدد لا يساوي . وكما رأينا في طريقة المصفوفة الملحقة، يمكننا حساب معكوس مصفوفةٍ ما، حيث علينا فقط أن نضع حدًا كسريًّا في نهاية المصفوفة. يتعلق الأمر بالتفضيل الشخصي بشأن الطريقة المستخدمة لحساب معكوس مصفوفة مربعة، على الرغم من أن العديد من الأشخاص يفضلون طريقة المصفوفة الملحقة لهذا السبب على وجه التحديد. وسنرى مثالين آخرين على استخدام هذه الطريقة لحساب معكوس مصفوفة ، ثم سنطبق الطريقة نفسها على مصفوفة .

وباستعراض المثالين أعلاه، يمكننا التوصل إلى بعض الافتراضات المنطقية عما يمكننا توقعه إذا حاولنا استخدام طريقة المصفوفة الملحقة لحساب معكوس مصفوفة أو أي مصفوفة مربعة من رتبة أكبر من . يمكننا أن نفترض أن الطريقة الكلية ستتغير قليلًا جدًّا، لكن عدد العمليات الحسابية المتضمنة سيكون أكبر بكثير. على سبيل المثال، لمصفوفة ، سنحتاج إلى حساب محددات ١٦ مصفوفة صغرى من الرتبة ، وهو ما لا يمثل أمرًا شيقًا. بالرغم من ذلك، يمكننا بالتأكيد إجراء ذلك، فهذا النوع من العمليات الحسابية يمكن اجراءها بسرعة كبيرة بواسطة الحساب الجبري، حتى بالنسبة للمصفوفات المربعة من الرتب الكبيرة جدًّا.

ووفقًا لرتبة المصفوفة المربعة والعناصر الموجودة، عادةً ما يكون هناك اختيار “أفضل” بشأن الطريقة الأنسب لحساب معكوس مصفوفةٍ ما. يمكن أن تكون طريقة المصفوفة الملحقة التي عرضناها مفيدة جدًّا في الحالات التي يكون فيها المحدد كبيرًا، ما يعني أنه من المحتمل ظهور الحدود الكسرية ذات المقامات الكبيرة مبكرًا إذا استخدمنا بدلًا من ذلك طريقة جاوس-جوردان. فهي تساعد على فهم جيد لكلٍ من طريقة جاوس-جوردان وطريقة المصفوفة الملحقة، وتجعلنا قادرين على تحديد الطريقة التي من المحتمل أن تكون هي الأنسب لحساب معكوس مصفوفةٍ ما. كثير من طلاب الرياضيات يفضلون طريقة المصفوفة الملحقة، وخاصة بالنسبة لمصفوفات ، بالرغم من أنه لا توجد مرونة حقيقية فيما يتعلق بالخطوات اللازمة لهذا النهج. على العكس من ذلك، تسمح لنا طريقة جاوس-جوردان باختيار العمليات الصفية التي تُستخدم لإيجاد معكوس المصفوفة، وعادةً ما تسمح باختيار الخطوات لجعل العمليات الحسابية أبسط.