فيديو الدرس: معكوس المصفوفة: طريقة المصفوفة الملحقة الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

معكوس المصفوفة: طريقة المصفوفة الملحقة

في هذا الفيديو، سوف نناقش كيف نوجد معكوس أي مصفوفة مربعة محددها لا يساوي صفرًا، باستخدام طريقة المصفوفة الملحقة. وسنستعرض هذه الطريقة بالتفصيل ونشرح كيفية إيجاد محددات المصفوفات الصغرى وكيفية تكوين مصفوفة العوامل المرافقة، ثم كيفية تكوين المصفوفات الملحقة للمصفوفة. بعد ذلك، سنستعرض بعض الأمثلة التي توضح كيف يمكننا تطبيق هذه الطريقة لإيجاد معكوسات المصفوفات.

قبل مناقشة هذه الطريقة الجديدة لإيجاد معكوس المصفوفة المربعة، علينا أولًا استعراض بعض المفاهيم الجديدة. سنبدأ بتعريف المصفوفة الصغرى. إذا كان لدينا مصفوفة ﺃ رتبتها ﻡ في ﻥ، فإن المصفوفة الصغرى، التي نمثلها بالرمز ﺃﺹﻉ، تساوي المصفوفة ﺃ حيث نحذف الصف ﺹ والعمود ﻉ من المصفوفة ﺃ. إذن، المصفوفة الصغرى ﺃﺹﻉ هي نفسها المصفوفة ﺃ. لكننا حذفنا الصف ﺹ والعمود ﻉ. ونحن نعلم أنه إذا حذفنا صفًّا واحدًا وعمودًا واحدًا من المصفوفة ﺃ، فستكون الرتبة الجديدة ﻡ ناقص واحد في ﻥ ناقص واحد. وأسهل طريقة لفهم هذا المفهوم هي من خلال مثال.

لنبدأ بالمصفوفة ﺃ، وهي مصفوفة رتبتها ثلاثة في أربعة على النحو التالي. والآن، دعونا نر كيف نكون المصفوفة الصغرى ﺃ اثنان ثلاثة. من خلال تعريفنا للمصفوفة الصغرى، نلاحظ أنه علينا أن نحذف الصف ﺹ والعمود ﻉ من المصفوفة ﺃ. أولًا، قيمة ﺹ هي اثنان. إذن، علينا أن نحذف الصف الثاني من المصفوفة ﺃ. بعد ذلك، يمكننا أن نلاحظ أن قيمة ﻉ تساوي ثلاثة. إذن، علينا أن نحذف العمود الثالث من المصفوفة ﺃ. بناء على ذلك تكون المصفوفة الصغرى ﺃ اثنان ثلاثة هي جميع العناصر المتبقية التي لم نحذفها. ‏ﺃ اثنان ثلاثة ستكون المصفوفة التالية.

لكن، بالطبع، هذه ليست المصفوفة الصغرى الوحيدة التي يمكننا تكوينها. والآن، دعونا نكون المصفوفة الصغرى ﺃ ثلاثة واحد. هذه المرة، يمكننا أن نلاحظ أن قيمة ﺹ تساوي ثلاثة. لذا، علينا أن نحذف الصف الثالث من المصفوفة ﺃ. ونلاحظ أن قيمة ﻉ تساوي واحدًا. لذا، علينا أن نحذف العمود الأول من المصفوفة ﺃ. بعد ذلك، يمكننا تكوين المصفوفة ﺃ ثلاثة واحد باستخدام جميع العناصر المتبقية، أي العناصر التي لم نحذفها من المصفوفة ﺃ. وبذلك نصل إلى أن المصفوفة ﺃ ثلاثة واحد هي المصفوفة التالية.

ستساعدنا الطرق التي سنتناولها في هذا الفيديو على تحديد إمكانية إيجاد معكوس أي مصفوفة رتبتها ﻥ في ﻥ. لكن سيكون علينا إيجاد محدد أي مصفوفة نريد إيجاد معكوسها. وقد رأينا من قبل صعوبة حساب محدد المصفوفات المربعة الكبيرة. لذلك سنركز بشكل أساسي على مصفوفات من الرتبة ثلاثة في ثلاثة.

وقبل فعل ذلك، يتعين علينا تذكر كيفية إيجاد محدد مصفوفة بالرتبة اثنين في اثنين. افترض أن ﺃ هي مصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين وعناصرها هي ﺃ، ﺏ، ﺟ، ﺩ. إذن محدد المصفوفة ﺃ يساوي ﺃﺩ ناقص ﺏﺟ. نحن الآن مستعدون لمناقشة الجزء الأساسي الذي سيساعدنا على إيجاد معكوس أي مصفوفة مربعة محددها لا يساوي صفرًا. علينا مناقشة مفهوم مصفوفة العوامل المرافقة للمصفوفة ﺃ.

أولًا، نظرًا لأننا نستخدم ذلك لإيجاد معكوس المصفوفة، يلزم أن تكون المصفوفة ﺃ مصفوفة مربعة. لنفترض أن رتبتها هي ﻥ في ﻥ. بعد ذلك، لتكوين مصفوفة العوامل المرافقة، سيتعين علينا إيجاد جميع المصفوفات الصغرى للمصفوفة ﺃ. وسنسميها ﺃﺹﻉ. نحن الآن جاهزون لتكوين مصفوفة العوامل المرافقة للمصفوفة ﺃ. سنسمي هذه المصفوفة ﻡ. وسنحددها عنصرًا تلو الآخر. القيمة المدخلة في الصف ﺹ والعمود ﻉ في مصفوفة العوامل المرافقة تساوي سالب واحد أس ﺹ زائد ﻉ مضروبًا في محدد المصفوفة الصغرى ﺃﺹﻉ. تذكر أن المصفوفة ﺃ هي مصفوفة مربعة رتبتها ﻥ في ﻥ. إذن، نحصل على قيم ﺹ من خلال عدد صفوف المصفوفة ﺃ. ونحصل على قيم ﻉ من خلال عدد أعمدة المصفوفة ﺃ. لذا، فإن قيم ﺹ تتراوح من واحد إلى ﻥ، وقيم ﻉ تتراوح من واحد إلى ﻥ. وهذا يعني أن مصفوفة العوامل المرافقة ستكون مصفوفة مربعة. ستكون رتبتها ﻥ في ﻥ.

وتجدر الإشارة أيضًا إلى أنك سترى ذلك أحيانًا مكتوبًا على صورة مصفوفة بأكملها. وإذا فعلنا ذلك، فسنحصل على التمثيل التالي لمصفوفة العوامل المرافقة. وتجدر بنا الإشارة إلى أن كل ما فعلناه هنا هو تكوين مصفوفة مربعة رتبتها ﻥ في ﻥ، حيث استخدمنا الصيغة الموجودة لدينا في الصف ﺹ والعمود ﻉ لتكوين مدخلات المصفوفة. لكن عادة يكون من الأسهل بكثير أن نستخدم تعريفنا لكل قيمة مدخلة على حدة. قبل مناقشة كيفية استخدام مصفوفة العوامل المرافقة لإيجاد معكوس أي مصفوفة، دعونا نتناول بعض الأمثلة.

إذا كانت ﺃ مصفوفة رتبتها ثلاثة في ثلاثة، وعناصرها هي سالب خمسة، ثمانية، سالب سبعة، ستة، صفر، واحد، خمسة، سالب أربعة، سالب ثمانية، فأوجد قيمة سالب واحد أس واحد زائد اثنين مضروبًا في محدد المصفوفة الصغرى ﺃ واحد اثنين.

لدينا مصفوفة مربعة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة. ومطلوب منا إيجاد قيمة سالب واحد أس واحد زائد اثنين مضروبًا في محدد المصفوفة الصغرى ﺃ واحد اثنين. وعلى الرغم من أن ما سأذكره ليس ضروريًّا للإجابة عن هذا السؤال، فإن القيمة المطلوبة هي القيمة المدخلة في الصف الأول والعمود الثاني من مصفوفة العوامل المرافقة.

الخطوة الأولى لحل هذا السؤال هي تذكر معنى المصفوفة ﺃ واحد اثنين. نسمي ذلك بالمصفوفة الصغرى. والمصفوفة الصغرى ﺃﺹﻉ تعني أننا نحذف الصف ﺹ والعمود ﻉ من المصفوفة ﺃ. في حالتنا هذه، يمكننا أن نرى أن قيمة ﺹ تساوي واحدًا وﻉ تساوي اثنين. يمكننا إذن كتابة ذلك في تعريفنا للمصفوفة الصغرى. نلاحظ أن المصفوفة الصغرى ﺃ واحد اثنين تعني أننا نحذف الصف الأول والعمود الثاني من المصفوفة ﺃ.

إذن، لكي نوجد المصفوفة الصغرى ﺃ واحد اثنين، علينا البدء بالمصفوفة ﺃ ثم نحذف الصف الأول. هذا يعني أن نحذف القيم المدخلة الثلاثة التالية. بعد ذلك، علينا أيضًا أن نحذف العمود الثاني. هذا يعني أن علينا أن نحذف العمود الثاني بأكمله من المصفوفة ﺃ. ويمكننا أن نرى أنه يتبقى لدينا أربعة عناصر فقط. بعد ذلك، يمكننا تكوين المصفوفة الصغرى ﺃ واحد اثنين عن طريق تكوين مصفوفة تضم العناصر الأربعة المتبقية. نصل بذلك إلى أن ﺃ واحد اثنين هي مصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين، وعناصرها هي ستة، واحد، خمسة، سالب ثمانية.

لكن السؤال لا يطلب منا إيجاد المصفوفة الصغرى ﺃ واحد اثنين فحسب. بل يتعين علينا أيضًا إيجاد قيمة محددها. وبما أن ﺃ واحد اثنين مصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين، فيمكننا إيجاد قيمة المحدد بتذكر صيغة محدد المصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين. نتذكر أن محدد المصفوفة المربعة ﺃ، ﺏ، ﺟ، ﺩ يساوي ﺃﺩ ناقص ﺏﺟ. في هذا السؤال، يمكننا ملاحظة أن ﺃ يساوي ستة وﺩ يساوي سالب ثمانية. ويمكننا أيضًا ملاحظة أن قيمة ﺏ تساوي واحدًا وﺟ تساوي خمسة. إذن، باستخدام هذه الصيغة، نجد أن محدد ﺃ واحد اثنين يساوي ستة في سالب ثمانية ناقص واحد في خمسة. وإذا حسبنا هذا المقدار، نحصل على سالب ٥٣.

نحن الآن جاهزون لإيجاد قيمة التعبير المعطى في السؤال. لدينا سالب واحد أس واحد زائد اثنين مضروبًا في محدد المصفوفة ﺃ واحد اثنين يساوي سالب واحد تكعيب؛ لأن واحدًا زائد اثنين يساوي ثلاثة، مضروبًا في سالب ٥٣ ؛ لأننا أوجدنا بالفعل قيمة هذا المحدد. ويمكننا تبسيط ذلك لنحصل على ٥٣. ومن ثم، استطعنا توضيح أنه بالنسبة للمصفوفة المربعة ﺃ المعطاة في السؤال، قيمة سالب واحد أس واحد زائد اثنين مضروبًا في محدد المصفوفة الصغرى ﺃ واحد اثنين تساوي ٥٣.

دعونا الآن نستعرض مثالًا على إيجاد مصفوفة العوامل المرافقة لمصفوفة مربعة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة. سنبدأ بالمصفوفة المربعة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة ﺃ تساوي ثلاثة، صفر، سالب ثلاثة، سالب اثنين، سالب ثلاثة، سالب ستة، سبعة، ثلاثة، سالب خمسة. ونتذكر الآن أن العنصر في الصف ﺹ والعمود ﻉ من المصفوفة المرافقة سيساوي سالب واحد أس ﺹ زائد ﻉ مضروبًا في محدد المصفوفة الصغرى ﺃﺹﻉ.

إذن، لإيجاد مصفوفة العوامل المرافقة، سيتعين علينا أولًا إيجاد المصفوفات الصغرى كلها. لنبدأ المصفوفة الصغرى ﺃ واحد واحد. تذكر أن هذا يعني أنه سيتعين علينا حذف الصف الأول والعمود الأول من المصفوفة ﺃ. وبذلك نحصل على المصفوفة التالية من الرتبة اثنين في اثنين. هذا يعطينا أن ﺃ واحد واحد تساوي سالب ثلاثة، سالب ستة، ثلاثة، سالب خمسة. ولإيجاد مصفوفة العوامل المرافقة، سيكون علينا إيجاد المصفوفات الصغرى كلها.

هيا نحدد الآن المصفوفة الصغرى ﺃ واحد اثنين. هذا يعني أن علينا أن نحذف الصف الأول والعمود الثاني من المصفوفة ﺃ. وهكذا يتبقى لدينا العناصر الأربعة التالية. إذن، المصفوفة الصغرى ﺃ واحد اثنين تساوي سالب اثنين، سالب ستة، سبعة، سالب خمسة. وبما أن المصفوفة ﺃ من الرتبة ثلاثة في ثلاثة، فإن قيمتي ﺹ وﻉ ستتراوح من واحد إلى ثلاثة. وبذلك سيتعين علينا إيجاد تسع مصفوفات صغرى إجمالًا. ويمكننا إيجاد هذه المصفوفات الصغرى التسع كلها باستخدام الطريقة نفسها. نحذف الصف ﺹ والعمود ﻉ من المصفوفة ﺃ. وهذا يعطينا المصفوفات الصغرى التسع التالية.

يمكننا أن نلاحظ من تعريفنا لمصفوفة العوامل المرافقة أنه سيتعين علينا الآن إيجاد محددات هذه المصفوفات الصغرى كلها. ولما كانت هذه المصفوفات كلها من الرتبة اثنين في اثنين، يمكننا فعل ذلك من خلال تذكر أن محدد المصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين ﺃ، ﺏ، ﺟ، ﺩ، يساوي ﺃﺩ ناقص ﺏﺟ. لنبدأ إذن بإيجاد محدد المصفوفة الصغرى ﺃ واحد واحد. هذا يساوي سالب ثلاثة في سالب خمسة ناقص سالب ستة مضروبًا في ثلاثة. وإذا حسبنا قيمة هذا التعبير، فإنها تساوي ٣٣.

يمكننا بعد ذلك اتباع الخطوات نفسها بالضبط لإيجاد محدد المصفوفة الصغرى ﺃ واحد اثنين. وهو يساوي سالب اثنين في سالب خمسة ناقص سالب ستة مضروبًا في سبعة. وإذا حسبنا قيمة هذا التعبير، فسنجد أنها تساوي ٥٢. باتباع الطريقة نفسها بالضبط، يمكننا إيجاد محددات المصفوفات الصغرى كلها. وسنحصل على القيم التالية.

الآن بعد أن أوجدنا محددات المصفوفات الصغرى كلها، يمكننا إيجاد جميع عناصر مصفوفة العوامل المرافقة. سنبدأ بالقيمة المدخلة في الصف واحد والعمود واحد من مصفوفة العوامل المرافقة. ستساوي سالب واحد أس واحد زائد واحد مضروبًا في محدد المصفوفة الصغرى ﺃ واحد واحد. حسنًا، نعرف أن سالب واحد أس واحد زائد واحد يساوي واحدًا. وقد أوضحنا بالفعل أن محدد ﺃ واحد واحد يساوي ٣٣. إذن، ﻡ واحد واحد يساوي ٣٣. هكذا أوضحنا أن ﻡ واحد واحد يساوي ٣٣. وفي الواقع، يمكننا إضافة ذلك إلى مصفوفة العوامل المرافقة في الصف الأول والعمود واحد.

يمكننا فعل الأمر نفسه لإيجاد القيمة المدخلة في الصف الأول والعمود الثاني. فنجد أنها تساوي سالب واحد أس واحد زائد اثنين مضروبًا في محدد ﺃ واحد اثنين. وبما أن محدد ﺃ واحد اثنين يساوي ٥٢، يبسط ذلك ليصبح سالب ٥٢. ثم يمكننا إضافة ذلك إلى مصفوفة العوامل المرافقة في الصف الأول والعمود الثاني. وهكذا يمكننا فعل الأمر نفسه لإيجاد قيم القيم المدخلة المتبقية كلها لمصفوفة العوامل المرافقة. عند فعل ذلك، نحصل على القيم التالية. ومثلما فعلنا من قبل، يمكننا إضافة هذه القيم إلى مصفوفة العوامل المرافقة ﻡ.

ثمة أمر واحد يجدر بنا الإشارة إليه هنا. عندما نحسب ﻡﺹﻉ، نضرب محدد المصفوفة الصغرى في سالب واحد أس ﺹ زائد ﻉ. وهذا يعني أننا في الصف الأول والعمود الأول، سنضرب دائمًا في موجب واحد. ثم في الصف الأول والعمود الثاني، سنضرب دائمًا في سالب واحد. ونستمر على هذا النمط. ويفضل بعض الناس استخدام ذلك بدلًا من الضرب في سالب واحد أس ﺹ زائد ﻉ. علينا فقط تذكر أن نضرب المحدد في القيمة.

والآن بعد أن كونا مصفوفة العوامل المرافقة، يمكننا مناقشة كيفية استخدام ذلك لإيجاد معكوس المصفوفة. أولًا، نحتاج إلى تعريف أخير. المصفوفة الملحقة للمصفوفة ﺃ، ويشار إليها بالمصفوفة الملحقة لـ ﺃ، تساوي مدور المصفوفة ﻡ، حيث ﻡ هي مصفوفة العوامل المرافقة للمصفوفة ﺃ. وجدير أن نتذكر أيضًا أنه عند إيجاد مدور المصفوفة، نبدل وضعي الصفوف والأعمدة.

والآن نحن جاهزون أخيرًا لتحديد كيفية إيجاد معكوس أي مصفوفة مربعة. إذا كانت ﺃ مصفوفة مربعة ومحدد المصفوفة ﺃ لا يساوي صفرًا، فإن معكوس ﺃ سيساوي واحدًا مقسومًا على محدد ﺃ مضروبًا في المصفوفة الملحقة لـ ﺃ. إذن، لإيجاد معكوس أي مصفوفة مربعة، يوجد جزآن. أولًا، علينا إيجاد محدد ﺃ، ثم علينا إيجاد المصفوفة الملحقة لـ ﺃ. وتذكر أنه إذا كان محدد المصفوفة ﺃ يساوي صفرًا، فالمصفوفة ليس لها معكوس. لذا من الطبيعي أن نتحقق من ذلك أولًا.

هيا نتناول الآن بعض الأمثلة على استخدام طريقة المصفوفة الملحقة لإيجاد معكوس بعض المصفوفات.

انظر المصفوفة واحد، صفر، ثلاثة، واحد، صفر، واحد، ثلاثة، واحد، صفر. حدد إذا ما كانت المصفوفة لها معكوس بتحديد إذا ما كان المحدد لا يساوي صفرًا. إذا كان المحدد لا يساوي صفرًا، فأوجد المعكوس مستخدمًا صيغة المعكوس التي تتضمن مصفوفة العوامل المرافقة.

لدينا مصفوفة رتبتها ثلاثة في ثلاثة. وأول شيء مطلوب في السؤال هو تحديد ما إذا كانت المصفوفة لها معكوس بإيجاد محدد المصفوفة أولًا، والتأكد مما إذا كان يساوي صفرًا أم لا. تذكر أنه إذا كان محدد المصفوفة يساوي صفرًا، فإن المصفوفة لا يمكن أن يكون لها معكوس. وبالنسبة للمصفوفة المربعة، إذا كان محددها لا يساوي صفرًا، فإن لها معكوسًا. لذا، علينا البدء بإيجاد محدد المصفوفة. سنسمي هذه المصفوفة ﺃ.

يوجد العديد من الطرق المختلفة لإيجاد محدد أي مصفوفة. وأسهل طريقة هي تحديد الصف أو العمود الذي يحتوي على أكبر عدد من الأصفار. بالنسبة إلى المصفوفة ﺃ، نلاحظ أن ذلك هو العمود اثنان. فهو يحتوي على صفرين. بعد ذلك، علينا تذكر صيغة محدد المصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة، حيث نختار العمود ﻉ. يعطينا ذلك التعبير التالي، حيث ﺃ واحد ﻉ، وﺃ اثنان ﻉ، وﺃ ثلاثة ﻉ هي مدخلات الصف الأول والعمود ﻉ، والصف الثاني والعمود ﻉ، والصف الثالث والعمود ﻉ في المصفوفة ﺃ. وﺃ واحد ﻉ، وﺃ اثنان ﻉ، وﺃ ثلاثة ﻉ هي المصفوفات الصغرى.

بما أننا اخترنا العمود الثاني، فسنجعل قيمة ﻉ تساوي اثنين. باستخدام ﻉ يساوي اثنين، نحصل على التعبير التالي. ويمكننا تبسيط ذلك. أولًا، سالب واحد أس واحد زائد اثنين يساوي سالب واحد. سالب واحد أس اثنين زائد اثنين يساوي واحدًا. وسالب واحد أس ثلاثة زائد اثنين يساوي سالب واحد. هكذا يمكننا تبسيط التعبير لنحصل على ما يلي.

بعد ذلك يمكننا استخدام تعريف المصفوفة ﺃ لإيجاد بعض هذه القيم. أولًا، ﺃ واحد اثنين هي القيمة المدخلة في الصف الأول والعمود الثاني من المصفوفة. يمكننا أن نرى أنها تساوي صفرًا. بعد ذلك، ﺃ اثنان اثنان هي القيمة المدخلة في الصف الثاني والعمود الثاني. يمكننا أن نرى أنها تساوي صفرًا أيضًا. وأخيرًا، ﺃ ثلاثة اثنان هي القيمة المدخلة في الصف الثالث والعمود الثاني. يمكننا أن نرى أنها تساوي واحدًا. لذا، فإن عامل الحدين الأولين يساوي صفرًا؛ ومن ثم، فهما يساويان صفرًا. إذن، يمكن تبسيط هذا التعبير بأكمله ليصبح لدينا سالب واحد في المصفوفة الصغرى ﺃ ثلاثة اثنان. ويمكننا إيجاد المصفوفة الصغرى ﺃ ثلاثة اثنان من تعريف ﺃ.

تذكر أن علينا حذف الصف الثالث والعمود الثاني من المصفوفة ﺃ. وهكذا يتبقى لدينا أربعة عناصر فقط هي واحد، ثلاثة، واحد، واحد. لذا فالمصفوفة ﺃ ثلاثة اثنان هي مصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين عناصرها واحد، ثلاثة، واحد، واحد. إذن، محدد المصفوفة ﺃ يساوي سالب واحد مضروبًا في محدد المصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين والتي عناصرها واحد، ثلاثة، واحد، واحد. ونحن نعرف كيف نوجد قيمة محدد المصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين. محدد المصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين ﺃ، ﺏ، ﺟ، ﺩ، يساوي ﺃﺩ ناقص ﺏﺟ. وباستخدام ذلك، يمكننا توضيح أن محدد المصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين التي عناصرها واحد، ثلاثة، واحد، واحد، يساوي واحد في واحد ناقص ثلاثة في واحد. وبالطبع، ما زال علينا ضرب هذا في سالب واحد. وإذا بسطنا هذا التعبير، فسنحصل على اثنين. ومن ثم، لما كان محدد المصفوفة المربعة لا يساوي صفرًا، يمكننا استنتاج أنه لا بد أن يكون للمصفوفة معكوس.

الجزء التالي من السؤال طلب منا إيجاد معكوس المصفوفة مستخدمًا الصيغة التي تتضمن مصفوفة العوامل المرافقة. دعونا إذن نفرغ بعض المساحة ونتذكر كيفية فعل ذلك للمصفوفة ﺃ. نتذكر أنه يمكننا إيجاد معكوس أي مصفوفة باتباع خمس خطوات.

أولًا، علينا حساب محدد المصفوفة ﺃ. نفعل ذلك أولًا، لأنه إذا كان المحدد يساوي صفرًا، فلا يمكننا إيجاد المعكوس. وقد فعلنا ذلك بالفعل في الجزء الأول من السؤال. ووجدنا أن محدد المصفوفة ﺃ يساوي اثنين.

الأمر الثاني الذي علينا فعله هو إيجاد المصفوفات الصغرى كلها. تذكر أن المصفوفة الصغرى ﺃﺹﻉ هي المصفوفة ﺃ حيث نحذف الصف ﺹ والعمود ﻉ. لنبدأ بإيجاد ﺃ واحد واحد. هذا يعني أن علينا حذف الصف الأول والعمود الأول من المصفوفة ﺃ. لذا، نحذف الصف الأول والعمود الأول من المصفوفة ﺃ. وبذلك، يتبقى لدينا أربعة عناصر فقط. إذن، المصفوفة الصغرى ﺃ واحد واحد هي مصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين وعناصرها صفر، واحد، واحد، صفر. علينا إيجاد المصفوفات الصغرى كلها. فعلينا الآن إيجاد ﺃ واحد اثنين. هذا يعني أن نحذف الصف الأول والعمود الثاني من المصفوفة ﺃ. بذلك، نرى أنه يتبقى لدينا أربعة مدخلات هي واحد وواحد وثلاثة وصفر. إذن، المصفوفة الصغرى ﺃ واحد اثنين هي مصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين وعناصرها واحد، واحد، ثلاثة، صفر. ويمكننا اتباع الطريقة نفسها بالضبط لإيجاد المصفوفات الصغرى كلها. وبذلك، نحصل على المصفوفات التسع التالية.

والشيء الثالث الذي علينا فعله هو تكوين مصفوفة العوامل المرافقة. تذكر أن القيمة المدخلة في الصف ﺹ والعمود ﻉ من مصفوفة العوامل المرافقة تساوي سالب واحد أس ﺹ زائد ﻉ مضروبًا في محدد المصفوفة الصغرى ﺃﺹﻉ. هذا يعني أن علينا إيجاد محددات المصفوفات الصغرى التسع كلها. ونعلم كيف نوجد محدد المصفوفات من الرتبة اثنين في اثنين. على سبيل المثال، محدد ﺃ واحد واحد يساوي صفرًا في صفر ناقص واحد في واحد. ويمكننا إيجاد قيمة هذا التعبير. إنها تساوي سالب واحد.

يمكننا فعل الأمر نفسه لإيجاد محدد مصفوفة العوامل المرافقة الثانية. فنجد أنه يساوي واحدًا في صفر ناقص واحد في ثلاثة، ويمكننا حساب ذلك لنجد أنه يساوي سالب ثلاثة. ويمكننا فعل الأمر نفسه لإيجاد محدد جميع المصفوفات الصغرى المتبقية. فنحصل على القيم التالية. لكن تذكر أن علينا ضرب هذه القيم في سالب واحد أس ﺹ زائد ﻉ. بعبارة أخرى، نضرب محدد المصفوفة ﺃ واحد واحد في واحد. ثم نضرب محدد المصفوفة ﺃ واحد اثنين في سالب واحد، وهذا يعطينا موجب ثلاثة، ونضرب محدد المصفوفة ﺃ واحد ثلاثة في واحد. ونضرب محدد المصفوفة ﺃ اثنين واحد في سالب واحد. هذا يعطينا موجب ثلاثة. ويمكننا المتابعة بهذه الطريقة مع جميع محددات المصفوفات الصغرى. وهو ما يعطينا القيم التالية.

تذكر أن كل قيمة من هذه القيم هي قيمة مدخلة في مصفوفة العوامل المرافقة. بالتعويض بهذه القيم في كل من الصف ﺹ والعمود ﻉ، نحصل على المصفوفة المرافقة ﻡ، وهي المصفوفة التالية من الرتبة ثلاثة في ثلاثة. لنفسح بعض المساحة وننتقل إلى الخطوة الرابعة. علينا الآن إيجاد المصفوفة الملحقة. وهي مدور مصفوفة العوامل المرافقة.

تذكر أن مدور المصفوفة يعني أن علينا تبديل الصفوف بالأعمدة. إذن عند تدوير مصفوفة العوامل المرافقة، سيكون الصف الأول سالب واحد، ثلاثة، صفر. نكتب في الصف الأول سالب واحد، ثلاثة، صفر. وسيكون الصف الثاني ثلاثة، سالب تسعة، اثنان. والصف الثالث سيكون واحد، سالب واحد، صفر. هذه هي المصفوفة الملحقة للمصفوفة ﺃ. كل ما تبقى علينا فعله الآن هو أن نستخدم الصيغة لإيجاد معكوس ﺃ.

باستخدام الصيغة لمعرفة معكوس ﺃ، نجد أن معكوس ﺃ يساوي التعبير التالي. بعد ذلك، يمكننا تبسيط المصفوفة لإيجاد المصفوفة التي رتبتها ثلاثة في ثلاثة، وهي معكوس ﺃ.

لنراجع الآن النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الفيديو. أولًا، نحصل على المصفوفة الصغرى ﺃﺹﻉ من المصفوفة ﺃ بحذف الصف ﺹ والعمود ﻉ من المصفوفة ﺃ. وعرفنا أيضًا أنه بالنسبة للمصفوفة المربعة، تكون مصفوفة العوامل المرافقة لها من نفس الرتبة. ويمكن إيجاد مدخلات مصفوفة العوامل المرافقة باستخدام الصيغة التالية. رأينا كذلك أن المصفوفة الملحقة لـ ﺃ هي مدور مصفوفة العوامل المرافقة. وأخيرًا، بالنسبة للمصفوفة المربعة التي محددها لا يساوي صفرًا، وجدنا أن معكوس المصفوفة ﺃ يساوي واحدًا على محدد المصفوفة ﺃ مضروبًا في المصفوفة الملحقة لـ ﺃ.