فيديو السؤال: إيجاد معكوس مصفوفة مثلثية عليا الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

انظر المصفوفة الآتية: ﺭ يساوي ﻙ، ﺃ، ﺏ، صفرًا، ﻝ، ﺟ، صفرًا، صفرًا، ﻡ. أوجد معكوس هذه المصفوفة، إذا كانت على الصورة: ﺱ،‏ ﻭ،‏ ﻁ، صفر، ﺹ، ‏ﺯ، صفر، صفر، ﻉ؛ حيث ﺱ وﺹ وﻉ وﻭ وﻁ وﺯ مقادير تتضمن ﻙ، ‏ﻝ، ‏ﻡ، ‏ﺃ، ‏ﺏ، ‏ﺟ التي يجب إيجادها.

حسنًا، أول ما يمكننا ملاحظته من المصفوفة هو أن لدينا مصفوفة مثلثية عليا. ويمكننا ملاحظة ذلك، إذ لدينا شكل مثلث يحتوي على العناصر المعطاة، ويوجد في الجانب الأيمن السفلي أصفار. تعرف هذه المصفوفة باسم «المصفوفة المثلثية العليا». لكن ما أهمية ذلك؟ أولًا، هذا يعني أن المعكوس سيكون على هذه الصورة أيضًا، ونلاحظ أنه كذلك بالفعل، لأن لدينا في عناصر المصفوفة ثلاثة أصفار في الجانب الأيمن السفلي. ولكن هذا يعني أيضًا أنه عندما نحاول إيجاد المعكوس، توجد بضع خطوات لتسهيل الأمر.

دعونا نبدأ الآن في إيجاد المعكوس. تتكون هذه العملية من أربع خطوات. فدعونا نسترجعها سويًّا. الخطوة الأولى هي إيجاد مصفوفة المحددات الصغرى. والخطوة الثانية هي إيجاد مصفوفة العوامل المرافقة. بعد ذلك علينا إيجاد المصفوفة الملحقة. وأخيرًا، علينا في الخطوة الرابعة الضرب في واحد على محدد المصفوفة الأصلية. حسنًا، هذا رائع! عرفنا الخطوات الأربع، دعونا إذن نبدأ في اتباعها لحل المسألة.

كما نلاحظ هنا، فإننا قد كتبنا مصفوفة المحددات الصغرى. لكن دعونا نسترجع الطريقة التي أوجدنا بها المحددات الصغرى. حسنًا، لنتناول العنصر الأول. لدينا المحدد الأصغر ﻝ، ‏ﺟ، صفر، ﻡ. وإذا نظرنا إلى العنصر المناظر في المصفوفة الأصلية لدينا، فسنلاحظ أن لدينا ﻙ. بعد ذلك نحذف الصف والعمود اللذين يقع فيهما العنصر ﻙ. وبذلك يتبقى لدينا ﻝ، ‏ﺟ، صفر، ‏ﻡ. ومن ثم، يصبح المحدد الأصغر هو محدد هذه المصفوفة الجزئية التي رتبتها اثنان في اثنين. علينا الآن أن نسترجع كيفية إيجاد قيمة محدد مصفوفة رتبتها اثنان في اثنين. حسنًا، إذا كانت لدينا المصفوفة ﺃ، ‏ﺏ، ‏ﺟ، ‏ﺩ، فإن محددها سيساوي ﺃﺩ ناقص ﺏﺟ. هذا لأننا نجري عملية ضرب تبادلي ثم نطرح.

في هذه المرحلة، وقبل البدء في إيجاد المحددات الصغرى، يمكننا استخدام إحدى خواص المصفوفة المثلثية العليا. بمعنى أنه إذا نظرنا إلى المحددات الصغرى الثلاثة الموجودة هنا المرسوم دوائر حول بعض الأصفار فيها، فيمكننا ملاحظة أن هناك أصفارًا في قطري كل منها. إذن، كل من هذه المحددات يساوي صفرًا. وهذا لأن هذه الأجزاء تمثل الجانب السفلي الأيمن من المصفوفة الأصلية، حيث يوجد في عناصرها ثلاثة أصفار. إذن، يمكننا كتابة هذه الأصفار في مصفوفة المحددات الصغرى مباشرة. وبذلك، يكون العنصر الأول لدينا هو ﻝﻡ؛ لأنه عبارة عن ﻝ مضروبًا في ﻡ، ناقص ﺟ مضروبًا في صفر، فيصبح لدينا ﻝ مضروبًا في ﻡ، أي ‏ﻝﻡ، ناقص صفر.

إذا انتقلنا إلى العنصر التالي، فسنحصل على ﺃﻡ؛ لأنه لدينا ﺃ مضروبًا في ﻡ ناقص ﺏ مضروبًا في صفر. وﻙﻡ هو العنصر التالي. ننتقل بعد ذلك إلى الصف السفلي. بالنسبة إلى العنصر السفلي الأيمن، يوجد حدان هنا؛ لأنه لدينا ﺃﺟ ناقص ﺏﻝ. والعنصران الأخيران هما ﻙﺟ وﻙﻝ. حسنًا، هذا رائع! بذلك نكون قد أوجدنا مصفوفة المحددات الصغرى لدينا، وهذه هي الخطوة الأولى.

دعونا ننتقل إلى الخطوة الثانية، وهي إيجاد مصفوفة العوامل المرافقة، وهي خطوة بسيطة ومباشرة؛ لأن كل ما علينا فعله هو تحديد بعض الإشارات للعناصر لدينا باستخدام قاعدة الإشارة. وهذه الإشارات هي موجب، سالب، موجب، سالب، موجب، سالب، موجب، سالب، موجب، بهذا الترتيب. وبتطبيق ذلك، فإن العنصرين الوحيدين اللذين سيتأثران هما سالب ﺃﻡ وسالب ﻙﺟ، هذا لأن لدينا أصفارًا في عناصر المصفوفة. وبذلك، نكون قد أوجدنا مصفوفة العوامل المرافقة، وانتهينا من الخطوة الثانية.

ننتقل الآن إلى الخطوة الثالثة، حيث علينا إيجاد المصفوفة الملحقة. ولكي نفعل ذلك، علينا تبديل العناصر حول القطر. لذا، رسمنا بعض الأسهم لنوضح ما سنفعله هنا. بذلك، نكون انتهينا من الخطوة الثالثة؛ فقد أصبح لدينا المصفوفة المرافقة، وهي ﻝﻡ، سالب ﺃﻡ، ‏ﺃﺟ ناقص ﺏﻝ، صفر، ﻙﻡ، سالب ﻙﺟ، صفر، صفر، ﻙﻝ. نلاحظ هنا أن هذه المصفوفة تأخذ صورة المصفوفة المثلثية العليا، وهي الصورة التي يجب أن تكون عليها الإجابة النهائية، كما ذكرنا.

الخطوة الأخيرة هي الضرب في واحد على محدد المصفوفة الأصلية ﺭ. إذن، ما علينا فعله الآن هو إيجاد قيمة المحدد. وعندما نكون بصدد إيجاد قيمة محدد مصفوفة رتبتها ثلاثة في ثلاثة، فإننا نستخدم عادة هذه الطريقة الموضحة في أعلى اليمين. لكننا لسنا بحاجة إلى فعل ذلك في هذه المسألة. وموضح أمامنا السبب في ذلك. إذا نظرنا إلى هذه الطريقة، فسنجد أن لدينا قيمة، وهي قيمة العنصر من الصف الأول في المصفوفة مضروبة في أحد المحددات الصغرى. حسنًا، لقد حسبنا بالفعل المحددات الصغرى؛ حيث إننا فعلنا ذلك عندما توصلنا إلى مصفوفة المحددات الصغرى. ومن ثم، علينا ضرب عنصر الصف الأول من المصفوفة الأصلية في المحددات الصغرى، واتباع النمط الذي لدينا هنا.

لتسهيل الأمر، نظرًا لأن لدينا مصفوفة مثلثية عليا، فإن ما علينا فعله هو إجراء ذلك مع العنصر الأول فقط؛ لأن لدينا هذين الصفرين في الصف الأول من مصفوفة المحددات الصغرى. وأي عدد مضروب في صفر يعطينا صفرًا. نفرغ بعض المساحة لتوضيح ما سنفعله. لإيجاد قيمة محدد المصفوفة ﺭ، نضرب ﻙ في ﻝﻡ؛ لأن هذا يمثل ضرب العنصر الأول من المصفوفة في العنصر الأول من مصفوفة المحددات الصغرى. هذا يعطينا محدد المصفوفة ﺭ، وهو ﻙﻝﻡ.

نريد الآن أن نكمل الخطوة الرابعة، وهي ضرب المصفوفة الملحقة في واحد على محدد المصفوفة ﺭ. وسنحصل على المصفوفة العكسية تساوي واحدًا على ﻙﻝﻡ مضروبًا في المصفوفة ﻝﻡ، سالب ‏ﺃﻡ، ‏ﺃﺟ ناقص ﺏﻝ، صفر، ﻙﻡ، سالب ﻙﺟ، صفر، صفر، ﻙﻝ. ومن ثم، نحصل على المصفوفة ﻝﻡ على ﻙﻝﻡ، سالب ﺃﻡ على ﻙﻝﻡ، ‏ﺃﺟ ناقص ﺏﻝ على ﻙﻝﻡ، صفر، ﻙﻡ على ﻙﻝﻡ، سالب ﻙﺟ على ﻙﻝﻡ، صفر، صفر، ﻙﻝ على ﻙﻝﻡ.

دعونا الآن نقم ببعض عمليات الحذف. وبإجراء عمليات الحذف هذه، نكون أكملنا الخطوة الرابعة، وهي الضرب في واحد على المحدد. ومن ثم، يمكننا كتابة المعكوس على صورة المصفوفة واحد على ﻙ، سالب ﺃ على ﻙﻝ، ‏ﺃﺟ ناقص ﺏﻝ على ﻙﻝﻡ، صفر، واحد على ﻝ، سالب ﺟ على ﻝﻡ، صفر، صفر، واحد على ﻡ. وهذه هي الصورة التي نريدها تحديدًا؛ حيث إن المصفوفة على الصورة ﺱ، ‏ ﻭ، ‏ ﻁ، صفر، ﺹ، ‏ﺯ، صفر، صفر، ﻉ.