نسخة الفيديو النصية
أوجد قيمة معيار ﺃ ضرب اتجاهي ﺏ تربيع زائد معيار ﺃ ضرب قياسي ﺏ تربيع مقسومًا على اثنين في معيار ﺃ تربيع في معيار ﺏ تربيع.
في هذا السؤال، نعلم أن ﺃ وﺏ متجهان. ولكن لا نعرف عنهما أي شيء أكثر من ذلك. فهما متجهان عامان. ولا نعرف أي شيء عن مركباتهما.
في البداية، لإيجاد قيمة هذا التعبير، نلاحظ أننا نضرب هذين المتجهين ضربًا اتجاهيًّا وضربًا قياسيًّا. بوجه عام، عند إجراء الضرب الاتجاهي لمتجهين، سنسميهما ﺃ وﺏ، فإن حاصل الضرب الاتجاهي لهما يساوي معيار المتجه الأول في معيار المتجه الثاني في جيب الزاوية بين المتجهين، ونسميها هنا 𝜃. ويشير المتجه الناتج بالكامل إلى اتجاه عمودي على كل من المتجه ﺃ والمتجه ﺏ.
عندما نأخذ بعد ذلك القيمة المطلقة لحاصل الضرب الاتجاهي هذا، فإننا لم نعد نحسب متجهًا. لذا، لن يكون هناك اتجاه مرتبط بالناتج. وأيًّا ما يكن قياس الزاوية 𝜃، فإن جيب هذه الزاوية لا بد أن يكون عددًا غير سالب. وبذلك يكون معيار ﺃ ضرب اتجاهي ﺏ في حد ذاته غير سالب.
في التعبير المعطى، نلاحظ أننا لا نتعامل مع معيار ﺃ ضرب اتجاهي ﺏ، بل معيار ﺃ ضرب اتجاهي ﺏ تربيع. وهو ما سيعطينا هذا التعبير. وإذا فكرنا في القيمة المطلقة لـ جا 𝜃 تربيع، فسنجد أن أيًّا من هاتين العمليتين، وهما أخذ القيمة المطلقة أو تربيع جا 𝜃، ستجعل الناتج غير سالب.
لجعل هذه القيمة موجبة أو تساوي صفرًا، علينا فقط إجراء إحدى هاتين العمليتين. سنختار حذف عمودي القيمة المطلقة، وتربيع هذه القيمة. وبهذه الطريقة، نحصل في النهاية على ناتج غير سالب يعكس حقيقة أننا قمنا بتربيع جا 𝜃. إذن، بدلًا من معيار ﺃ ضرب اتجاهي ﺏ تربيع، يمكننا كتابة هذا التعبير.
بالنسبة إلى معيار ﺃ ضرب قياسي ﺏ تربيع، دعونا نتذكر أن حاصل الضرب القياسي لمتجهين يساوي حاصل ضرب معياريهما مضروبًا في جيب تمام الزاوية بين المتجهين. إذن معيار ﺃ ضرب قياسي ﺏ يساوي معيار ﺃ في معيار ﺏ في القيمة المطلقة لـ جتا 𝜃. وبذلك، عندما نقوم بتربيع هذه الكمية، نحصل على معيار ﺃ تربيع في معيار ﺏ تربيع في القيمة المطلقة لـ جتا 𝜃 تربيع. مرة أخرى، ليس ضروريًّا أن نأخذ القيمة المطلقة وأن نقوم بتربيع الحد المثلثي. وهكذا يمكننا حذف عمودي القيمة المطلقة، ولن يغير ذلك من الناتج.
بالنظر إلى التعبير المعطى، نلاحظ أننا نجمع معيار ﺃ ضرب اتجاهي ﺏ تربيع ومعيار ﺃ ضرب قياسي ﺏ تربيع. وبناء على ما توصلنا إليه حتى الآن، نحصل من ذلك على هذا التعبير في الطرف الأيسر هنا. لاحظ أن معيار ﺃ تربيع في معيار ﺏ تربيع عامل مشترك بين هذين الحدين. إذا أخذنا هذا العامل المشترك، فسنجد أمرًا شائقًا هنا. لدينا جيب زاوية ما تربيع زائد جيب تمام نفس الزاوية تربيع. وعندما يحدث ذلك، أي عندما يكون لدينا جيب زاوية ما تربيع زائد جيب تمام نفس الزاوية تربيع، فإن الناتج يساوي واحدًا. وعليه، يبسط الطرف الأيسر من التعبير إلى معيار ﺃ تربيع في معيار ﺏ تربيع.
نتذكر أننا نجمع هذين الحدين معًا، وأنهما يكونان بسط هذا الكسر بالكامل. وبكتابة الكسر كاملًا، نحصل على هذا الناتج. نلاحظ أن معيار المتجه ﺃ تربيع هنا يحذف من البسط والمقام، وكذلك معيار المتجه ﺏ تربيع. وعليه، يبسط هذا التعبير بأكمله إلى واحد على اثنين.
إذن، بالنسبة إلى المتجهين العامين ﺃ وﺏ، فإن معيار ﺃ ضرب اتجاهي ﺏ تربيع زائد معيار ﺃ ضرب قياسي ﺏ تربيع مقسومًا على اثنين في معيار ﺃ تربيع في معيار ﺏ تربيع يساوي نصفًا.
