فيديو السؤال: القطاعات الدائرية ومساحة الدائرة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد مساحة الجزء المظلل في الرسم بدلالة ‏𝜋‏.

لإيجاد المساحة المظللة في هذا الشكل، سنحتاج إلى إيجاد مساحتين. مساحة ربع الدائرة الأكبر ناقص مساحة نصف الدائرة الأصغر. ونعرف أن القطاع الأكبر يساوي بالفعل ربع الدائرة؛ لأن هذا الخط كما نرى هو مماس نصف الدائرة. والزاوية بين المماس ونصف القطر تساوي ٩٠ درجة.

لحساب هاتين المساحتين، نسترجع صيغة مساحة القطاع الذي نصف قطره نق وزاويته ‪𝜃‬‏ راديان. إنها نصف نق تربيع ‪𝜃‬‏. تذكر أن الدورة الكاملة تساوي اثنين ‏𝜋‏ راديان. إذن، ربع دورة، ٩٠ درجة، يجب أن تساوي اثنين ‏𝜋‏ مقسومًا على أربعة أو ‏𝜋‏ على اثنين راديان. إن نصف قطر دائرة الربع الأكبر يساوي ٣٠ سنتيمترًا. إذن، المساحة ستساوي نصفًا في ٣٠ تربيع في ‏𝜋‏ على اثنين.

لضرب هذه الأعداد الثلاثة، نضع مقامًا بالعدد واحد أسفل ٣٠ تربيع. وعليه، فإن ٣٠ تربيع تساوي ٩٠٠، وبضرب البسوط، نحصل على ٩٠٠‏𝜋‏. إذن، في المقامات، نحصل على أربعة. وهكذا، فإن مساحة ربع الدائرة تساوي ٩٠٠‏𝜋‏ على أربع وحدات مربعة. ولحساب نصف الدائرة، ١٨٠ درجة تساوي نصف ٣٦٠ درجة. ونصف اثنين ‏𝜋‏ يساوي ‏𝜋‏ راديان. إذن، ١٨٠ درجة يساوي ‏𝜋‏ راديان.

هذه المرة، مساحة هذا القطاع تساوي نصفًا في ١٥ تربيع في ‏𝜋‏. ‏١٥ تربيع يساوي ٢٢٥. ومن ثم، فإن مساحة نصف الدائرة تساوي ٢٢٥‏𝜋‏ على اثنين من الوحدات المربعة.

لطرح هاتين المساحتين، يمكننا جعل المقامات متماثلة. ولكن، يسهل حساب ٩٠٠ على أربعة و٢٢٥ على اثنين. ‏٩٠٠ على أربعة يساوي ٢٢٥. و ٢٢٥ على اثنين يساوي ١١٢٫٥. وهكذا، فإن المساحة المظللة تساوي الفرق بين هذين العددين. إنها ٢٢٥‏𝜋‏ ناقص ١١٢٫٥‏𝜋‏. إذن، المساحة تساوي ١١٢٫٥‏𝜋‏ وحدة مربعة. والوحدات كلها لدينا بالسنتيمترات.

لذلك، فإن مساحة الجزء المظلل تساوي ١١٢٫٥‏𝜋‏ سنتيمترًا مربعًا.