نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نثبت خواص هندسية معينة باستخدام البرهان الاستدلالي. حسنًا، ربما تكون على دراية فعلية بالكثير من هذه الخواص الهندسية، وربما تستخدمها طوال الوقت في الهندسة. لكن ما نريد فعله في هذا الفيديو هو أن نتعلم كيف نثبت هذه الخواص، ثم نستخدمها لإثبات خواص أخرى. دعونا الآن نستعرض بعضًا منها.
الخاصية الأولى هي الزوايا الواقعة على خط مستقيم. لعلنا نتذكر أن مجموع قياسات الزوايا الواقعة على خط مستقيم يساوي 180 درجة. ويمكننا استخدام هذه الحقيقة في العديد من البراهين الأخرى. دعونا نتناول، على سبيل المثال، كيف يمكننا استخدام هذه الحقيقة لإيجاد مجموع قياسات الزوايا حول نقطة وإثباته. لفعل ذلك، سنتناول نظامًا مكونًا من أشعة كما هو موضح. لدينا الأشعة 𝑂𝐴، و𝑂𝐵، و𝑂𝐶، و𝑂𝐷. وعلينا أن نحسب مجموع قياسات الزوايا حول النقطة 𝑂.
دعونا نرسم الخط المستقيم 𝐴𝑂 الذي يمر بالنقطة 𝐸. وبما أننا نعلم أن مجموع قياسات الزوايا الواقعة على خط مستقيم يساوي 180 درجة، إذن يمكننا القول إن قياس الزاوية 𝐴𝑂𝐵 زائد قياس الزاوية 𝐵𝑂𝐶 زائد قياس الزاوية 𝐶𝑂𝐸 يساوي 180 درجة. ويمكننا تكرار الأمر نفسه على الجانب الآخر من الخط المستقيم 𝐴𝑂. قياس الزاوية 𝐴𝑂𝐷 زائد قياس الزاوية 𝐷𝑂𝐸 يساوي 180 درجة؛ وذلك لأنهما تقعان أيضًا على خط مستقيم.
وبما أننا نريد إيجاد المجموع الكلي لقياسات الزوايا حول النقطة 𝑂، إذن يمكننا إيجاد ذلك بجمع قياسات كل الزوايا. يمكننا جمع قياسات الزوايا الثلاث الأولى، 𝐴𝑂𝐵، و𝐵𝑂𝐶، و𝐶𝑂𝐸، مع قياسي الزاويتين الأخريين 𝐴𝑂𝐷، و𝐷𝑂𝐸. وبما أننا نعلم أن مجموع قياسات الزوايا في كل مجموعة من هاتين المجموعتين؛ إذن لا بد أن يساوي 180 درجة، فلا بد أن يكون المجموع الكلي لقياسات هذه الزوايا 360 درجة. وبذلك نكون قد أثبتنا خاصية هندسية معروفة باستخدام خاصية الزوايا الواقعة على خط مستقيم. وهذه الخاصية هي أن مجموع قياسات الزوايا حول نقطة يساوي 360 درجة.
والآن دعونا نتناول التعريف أو الخاصية التالية. هذه الخاصية متعلقة بالزاويتين المتقابلتين بالرأس، وتعرفان بأنهما الزاويتان الناتجتان عن تقاطع خطين مستقيمين. ولعلنا نتذكر أنه إذا تقاطع خطان مستقيمان، فإن الزاويتين المتقابلتين بالرأس، أو يشار إليهما في بعض الأحيان اختصارًا بالزاويتين المتقابلتين، تكونان متساويتين في القياس. نعم، ربما نعلم هذه الخاصية بالفعل. ولكن السؤال المهم هنا هو: كيف نثبت أن الزاويتين المتقابلتين بالرأس متساويتان في القياس؟ حسنًا، دعونا نتناول كيفية فعل ذلك في المثال الآتي.
الخطان المستقيمان، 𝐴𝐵، و𝐶𝐷، يتقاطعان عند النقطة 𝐸. املأ الفراغ. إذا كانت الزاويتان 𝐴𝐸𝐷، و𝐴𝐸𝐶 زاويتين متجاورتين؛ حيث الشعاع 𝐸𝐶 اتحاد الشعاع 𝐸𝐷 يساوي الخط المستقيم 𝐶𝐷، فإن قياس الزاوية 𝐴𝐸𝐶 زائد قياس الزاوية 𝐴𝐸𝐷 يساوي (فراغ). املأ الفراغ. إذا كانت الزاويتان 𝐴𝐸𝐶، و𝐶𝐸𝐵 زاويتين متجاورتين؛ حيث الشعاع 𝐸𝐴 اتحاد الشعاع 𝐸𝐵 يساوي الخط المستقيم 𝐴𝐵، فإن قياس الزاوية 𝐴𝐸𝐶 زائد قياس الزاوية 𝐶𝐸𝐵 يساوي (فراغ). صواب أم خطأ: نستنتج من الجزأين السابقين أن قياس الزاوية 𝐴𝐸𝐷 يساوي قياس الزاوية 𝐶𝐸𝐵؟
دعونا نبدأ حل هذا السؤال برسم المستقيمين المعطيين، 𝐴𝐵، و𝐶𝐷، اللذين يتقاطعان عند النقطة 𝐸. ولاحظ أنه كان بإمكاننا رسم المستقيمين 𝐴𝐵، و𝐶𝐷 اللذين يتقاطعان عند النقطة 𝐸 بأي شكل آخر، بشرط أن يوضح الشكل هذه المعلومات المهمة عن المستقيمين وتقاطعهما. وسيظل بإمكاننا استخدام أي من هذه الأشكال للإجابة عن الأسئلة.
دعونا نستخدم الشكل الأول ونبدأ بالجزء الأول من هذا السؤال. في هذا الجزء من السؤال علينا أولًا تحديد الزاويتين 𝐴𝐸𝐷، و𝐴𝐸𝐶. والجزء الثاني من هذه الجملة، الذي يخبرنا بأن اتحاد الشعاعين 𝐸𝐶، و𝐸𝐷 يساوي الخط المستقيم 𝐶𝐷، يوضح بالفعل حقيقة أن هذين الشعاعين يكونان خطًّا مستقيمًا واحدًا. حسنًا، ماذا نعلم عن الزوايا الواقعة على خط مستقيم؟ نعلم أن مجموع قياسات الزوايا الواقعة على خط مستقيم يساوي 180 درجة. إذن قياس الزاوية 𝐴𝐸𝐷 زائد قياس الزاوية 𝐴𝐸𝐶 يساوي 180 درجة. وبذلك نكون قد ملأنا الفراغ الأول.
دعونا نلق نظرة على الجزء الثاني من السؤال. هذه المرة سنتناول الزاويتين 𝐴𝐸𝐶، و𝐶𝐸𝐵. مرة أخرى، نعلم أن الشعاعين 𝐸𝐴، و𝐸𝐵 يكونان مستقيمًا واحدًا هو 𝐴𝐵. ونعلم أن مجموع قياسات الزوايا الواقعة على خط مستقيم يساوي 180 درجة. إذن مجموع قياسي الزاويتين 𝐴𝐸𝐶، و𝐶𝐸𝐵 يساوي 180 درجة أيضًا. وبذلك نكون قد أجبنا عن الجزء الثاني من هذا السؤال.
دعونا نلق نظرة على الجزء الأخير. في هذا الجزء، سنتناول قياسي الزاويتين 𝐴𝐸𝐷، و𝐶𝐸𝐵. ولمساعدتنا في الوصول إلى الحل، سنستخدم ما توصلنا إليه في الجزأين الأول والثاني. في الجزء الأول، توصلنا إلى أن مجموع قياسي الزاويتين 𝐴𝐸𝐶، و𝐴𝐸𝐷 يساوي 180 درجة. دعونا هنا نرمز إلى قياس الزاوية 𝐴𝐸𝐷 بـ 𝑥 درجة، وقياس الزاوية 𝐴𝐸𝐶 بـ 𝑦 درجة. في الجزء الثاني من السؤال، حددنا زاويتين أخريين مجموع قياسيهما 180 درجة. وبما أن 𝑥 درجة زائد 𝑦 درجة يساوي 180 درجة، يمكننا القول إن قياس الزاوية 𝐶𝐸𝐵 يساوي 𝑥 درجة أيضًا.
إذن، يمكننا قول إن العبارة التي توضح أن قياس الزاوية 𝐴𝐸𝐷 يساوي قياس الزاوية 𝐶𝐸𝐵 صحيحة. في الواقع، ما لدينا هنا هو برهان على أن الزاويتين المتقابلتين بالرأس متساويتان في القياس. وبإمكاننا الاستمرار في حل هذا المثال حتى نثبت أن قياس الزاوية 𝐴𝐸𝐶 يساوي قياس الزاوية 𝐷𝐸𝐵. قياس كل من هاتين الزاويتين المتقابلتين بالرأس يساوي 𝑦 درجة.
عندما يكون علينا أن نثبت خواص هندسية، ثمة طريقة أخرى مفيدة؛ هي أن نكون على دراية بخواص الزوايا الناتجة عن تقاطع مستقيم مع مستقيمين متوازيين. ويمكننا استعراض هذه الخواص الآن. عندما يتقاطع مستقيمان متوازيان مع مستقيم آخر، يعرف بالمستقيم القاطع، وينتج عن ذلك أزواج من الزوايا المتطابقة أو المتكاملة. لدينا هنا زاويتان متبادلتان متساويتان في القياس. ولدينا زاويتان متناظرتان ومتساويتان في القياس أيضًا. ولدينا أيضًا زاويتان داخليتان متكاملتان. مجموع قياسات هذه الزوايا يساوي 180 درجة. سنتناول الآن كيف يمكننا استخدام هذه الخواص في المثال الآتي.
صواب أم خطأ: الخط المستقيم العمودي على أحد خطين متوازيين يكون عموديًّا على الآخر؟
أفضل طريقة لفهم المطلوب هنا بالكامل هي البدء برسم شكل. دعونا نبدأ بالخط المستقيم. نعلم أيضًا أنه يوجد مستقيمان متوازيان. وأحد المستقيمين المتوازيين عمودي على الخط المستقيم. قد يكون من المفيد أيضًا أن نسمي هذه المستقيمات؛ لكي نتمكن من البدء في استخدامها في البرهان. حسنًا، دعونا نقل إن المستقيمين المتوازيين هما المستقيمان 𝐴𝐵، و𝐶𝐷، والمستقيم العمودي على المستقيم 𝐴𝐵 هو المستقيم 𝐸𝐹. يمكننا أيضًا تسمية النقطة التي يتقاطع عندها المستقيمان 𝐴𝐵، و𝐸𝐹 بالنقطة 𝑃، والنقطة التي يتقاطع عندها المستقيمان 𝐶𝐷، و𝐸𝐹 بالنقطة 𝑄. إذا أردنا استخدام بعض الرموز الرياضية، يمكننا كتابة ما لدينا من حقائق على هذا النحو.
علينا الآن أن نعرف إذا ما كانت العبارة الواردة في السؤال صحيحة أم لا. هل المستقيم الآخر الذي أسميناه المستقيم 𝐶𝐷، عمودي أيضًا على المستقيم 𝐸𝐹؟ بما أننا نعلم أن لدينا هذه العلاقة حيث يكون المستقيمان متعامدين، يمكننا القول إن قياس الزاوية 𝐸𝑃𝐵 يساوي 90 درجة. بعد ذلك يمكننا استخدام خواص المستقيمات المتوازية لتساعدنا في إثبات حقيقة أخرى. الزاويتان 𝐸𝑃𝐵، و𝐸𝑄𝐷 متناظرتان، ونعلم أن الزوايا المتناظرة تكون متساوية في القياس. وبما أن هاتين الزاويتين متساويتان في القياس، فإن قياس كل منهما يساوي 90 درجة. ومن ثم فالمستقيم 𝐸𝐹 عمودي أيضًا على المستقيم 𝐶𝐷. إذن العبارة الواردة في السؤال صحيحة.
وبذلك نكون قد استخدمنا ما نعرفه عن الخواص الهندسية لإثبات حقيقة هندسية. وباستخدام خواص المستقيمات المتوازية، أثبتنا أن الخط المستقيم العمودي على أحد مستقيمين متوازيين يكون عموديًّا على المستقيم الآخر أيضًا.
في البراهين الهندسية التي تتضمن أشكالًا ثنائية الأبعاد، عادة ما يكون علينا تطبيق المسلمات التي تثبت تطابق مثلثين. دعونا نلخص هذه المسلمات كالآتي.
المسلمة الأولى التي يمكننا استخدامها لإثبات تطابق مثلثين هي مسلمة التطابق بضلعين والزاوية المحصورة بينهما، وتنص على أنه إذا تطابق ضلعان والزاوية المحصورة بينهما في مثلث مع مثيلاتها في مثلث آخر، يكون هذان المثلثان متطابقين، والمسلمة الثانية هي مسلمة التطابق بزاويتين والضلع المحصور بينهما، وتنص على أنه إذا تطابقت زاويتان والضلع المحصور بينهما في مثلث مع مثيلاتها في مثلث آخر، يكون هذان المثلثان متطابقين، والمسلمة الثالثة هي مسلمة التطابق بثلاثة أضلاع، وتنص على أنه إذا تطابقت ثلاثة أضلاع في مثلث مع مثيلاتها في مثلث آخر، يكون هذان المثلثان متطابقين، وأخيرًا تأتي المسلمة التي تنطبق على المثلثات القائمة الزاوية فقط، وهي مسلمة التطابق بزاوية قائمة والوتر وأحد ضلعي القائمة، وتنص على أنه يتطابق مثلثان إذا كان كل منهما يحتوي على زاوية قائمة وكان الوتر وضلع آخر في أحد المثلثين يتطابقان مع الوتر وضلع آخر في المثلث الآخر.
كما ذكرنا سابقًا، نستخدم هذه المسلمات عادة لتساعدنا في إثبات خواص أخرى. في السؤال الآتي، سنتناول كيف يمكننا استخدام المثلثات المتطابقة لتوضيح إحدى خواص شكل الطائرة الورقية.
في الشكل المعطى، استخدم خواص المثلثات المتطابقة لإيجاد قياس الزاوية 𝐵𝐶𝐷.
حسنًا، دعونا نبدأ بالنظر إلى هذا الشكل واستنتاج أي معلومات مهمة من العلامات الموجودة عليه. لدينا هنا زوجان من القطع المستقيمة المتطابقة، كما هو موضح بالعلامات. الضلعان 𝐴𝐵، و𝐴𝐷 متطابقان، والضلعان 𝐶𝐵، و𝐶𝐷 متطابقان. لدينا أيضًا قياس الزاوية 𝐴𝐶𝐷، ويساوي 29 درجة. وبما أنه مطلوب منا استخدام خواص المثلثات المتطابقة، دعونا نحدد مثلثين قد يمكننا استخدامهما.
هذان المثلثان هما المثلث 𝐴𝐵𝐶 والمثلث 𝐴𝐷𝐶. يتشارك هذان المثلثان ضلعًا؛ هو 𝐴𝐶. ومن ثم هذا الضلع سيكون له نفس الطول في كلا المثلثين. وعليه نستنتج أن لدينا ثلاثة أزواج من الأضلاع المتطابقة. يمكننا إذن القول إن المثلث 𝐴𝐵𝐶 يتطابق مع المثلث 𝐴𝐷𝐶 وفقًا لمسلمة التطابق بثلاثة أضلاع. إذن جميع الأضلاع والزوايا المتناظرة في كلا المثلثين متطابقة.
حسنًا، أصبح بإمكاننا الآن تحديد زاويتين متطابقتين. إذا كانت الزاويتان 𝐴𝐶𝐵، و𝐴𝐶𝐷 متناظرتين، فإن قياس كل منهما يساوي 29 درجة. لكن مطلوب منا في السؤال إيجاد قياس الزاوية 𝐵𝐶𝐷. بما أن الزاوية 𝐵𝐶𝐷 تتكون من الزاويتين 𝐴𝐶𝐵، و𝐴𝐶𝐷، إذن علينا جمع قياسيهما، أي 29 درجة لكل منهما، وهو ما يعطينا الإجابة النهائية 58 درجة.
في هذا المثال، أوجدنا قياس زاوية مجهولة في شكل طائرة ورقية. لكن ثمة خاصية أخرى مثبتة هنا قد لا تتضح للوهلة الأولى. تنص هذه الخاصية على أن القطر الأطول في شكل الطائرة الورقية ينصف الزاويتين عند رأسي الشكل الواقعين على هذا القطر. وعلى الرغم من أننا استخدمنا قيمتين محددتين لقياسي الزاويتين 𝐴𝐶𝐵، و𝐴𝐶𝐷، فقد كان بإمكاننا أن نشير لكل منهما بأي قياس، وليكن 𝑥. وبما أن شكل الطائرة الورقية يجب أن يكون به زوجان من الأضلاع المتطابقة، سيمكننا دائمًا تكوين مثلثين متطابقين في أي طائرة ورقية. وعليه، هذه الزاوية التي قياسها اثنان 𝑥 درجة في نهاية القطر الأطول للطائرة الورقية سينصفها دائمًا هذا القطر. وبسبب تطابق المثلثين، يمكننا أيضًا قول الأمر نفسه عن الزاوية التي تقع عند الطرف الآخر من القطر الأطول. هذا يعني أن هذه الزاوية ستنصف أيضًا.
سنلخص الآن النقاط الرئيسية في هذا الفيديو. استعرضنا طوال هذا الفيديو كيف يمكننا استخدام الخواص الهندسية، باعتبارها جزءًا من البرهان الاستدلالي، لإثبات خواص هندسية أخرى. يستنتج العديد من الأجزاء المهمة من البراهين من خواص تتضمن قياسات الزوايا الواقعة على خط مستقيم، والزوايا الناتجة عن تقاطع مستقيم مع مستقيمين متوازيين، والمثلثات المتطابقة. استخدمنا خواص هندسية لإثبات أن مجموع قياسات الزوايا حول أي نقطة يساوي 360 درجة. إذا تقاطع خطان مستقيمان، فإن الزاويتين المتقابلتين بالرأس تكونان متساويتين في القياس. وأثبتنا أن القطر الأطول في شكل الطائرة الورقية ينصف الزاويتين عند رأسي الشكل الواقعين على هذا القطر.
مصر
المملكة العربية السعودية
