فيديو الدرس: مساحة شبه المنحرف الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نوجد مساحة شبه المنحرف باستخدام صيغة، ثم نرى كيف يمكننا تطبيقها في الحياة الواقعية. هيا نبدأ بالتفكير فيما نعنيه بشبه المنحرف. شبه المنحرف هو شكل رباعي، أي له أربعة أضلاع، وفيه ضلعان متوازيان. لذا، يمكننا رسم شبه المنحرف هكذا أو هكذا أو حتى هكذا. لكي يكون الشكل شبه منحرف، لا بد فقط أن يكون له ضلعان متوازيان. لاحظ أنه في بعض أنحاء العالم يسمى هذا الشكل منحرفًا. وعندما نتحدث عن شبه المنحرف، قد نشير أيضًا إلى الضلعين المتوازيين بالقاعدتين. سنتناول الآن كيف يمكننا إيجاد مساحة شبه المنحرف.

لننظر إلى شبه المنحرف المرسوم على ورقة مربعات. نرى هنا أن له قاعدة طولها أربع وحدات وقاعدة أخرى طولها سبع وحدات. وارتفاع شبه المنحرف هذا يساوي خمس وحدات. يمكننا بالطبع عد المربعات إذا أردنا، لكن دعونا نر ما إذا كان بإمكاننا إيجاد طريقة رياضية أفضل لحساب المساحة. دعونا نتخيل أننا أخذنا نسخة من شبه المنحرف هذا وقلبناها بحيث تصبح بجانبه. يمكننا الآن ملاحظة كيف أصبحت القاعدة التي طولها سبع وحدات في الجزء العلوي من شبه المنحرف، بينما أصبحت القاعدة التي طولها أربع وحدات في الأسفل. ولا يزال ارتفاع شبه المنحرف في هذا الموضع يساوي خمس وحدات. بذلك نكون قد رسمنا متوازي أضلاع، وهو شكل فيه زوجان من الأضلاع المتوازية.

يمكننا استخدام حقيقة أن مساحة متوازي الأضلاع هي حاصل ضرب طول القاعدة في الارتفاع العمودي. إذن، لإيجاد مساحة متوازي الأضلاع الذي أمامنا، نجد أن طول القاعدة يساوي سبعة زائد أربعة، وهو ما يعطينا ١١، والارتفاع يساوي خمسة. إذن، ضرب ١١ في خمسة يعطينا المساحة، وهي ٥٥ وحدة مربعة. قد تعتقد أن هذا جيد جدًّا، ولكننا بذلك لن نحصل على مساحة شبه المنحرف. لكن إذا فكرنا في أن مساحة متوازي الأضلاع تساوي ضعف مساحة شبه المنحرف، فيمكننا إيجاد مساحة شبه المنحرف بقسمة ٥٥ على اثنين، وهو ما يعطينا ٢٧٫٥ وحدة مربعة.

في هذه الحالة، لدينا مثال يتضمن وحدات محددة وهي أربعة وسبعة وخمسة. كيف إذن نحصل على صيغة لحساب مساحة شبه المنحرف؟ لنفترض أننا سمينا القاعدتين بـ ﺏ واحد وﺏ اثنين، وسمينا الارتفاع ﻉ. عندما بدأنا في إيجاد مساحة شبه المنحرف، كانت أول خطوة هي إيجاد مساحة متوازي الأضلاع. فجمعنا طولا القاعدتين، وهما في هذه الحالة سبعة وأربعة. ثم ضربنا ذلك في الارتفاع الذي يساوي خمسة. ولإيجاد مساحة شبه منحرف واحد، قسمنا مساحة متوازي الأضلاع هذا على اثنين. نلاحظ عادة أن هذه الصيغة تتضمن الحرف ﻉ قبل القوسين هكذا. وبذلك، فإن مساحة شبه المنحرف تساوي نصف ﻉ في ﺏ واحد زائد ﺏ اثنين.

هذه هي الصيغة التي سنستخدمها، علمًا بأن ﺏ واحد وﺏ اثنين هما القاعدتان وﻉ هو الارتفاع العمودي. قد نلاحظ هذه الصيغة مكتوبة بطرق أخرى. على سبيل المثال، المساحة تساوي ﺏ واحد زائد ﺏ اثنين على اثنين في ﻉ، أو نصف في ﺏ واحد زائد ﺏ اثنين في ﻉ. ما دمنا نجمع طولي الضلعين المتوازيين ونضرب في الارتفاع ثم نقسم على اثنين، فسنوجد مساحة شبه المنحرف.

من باب العلم فقط، هناك طرق أخرى يمكننا من خلالها إيجاد مساحة شبه المنحرف. إذا قطعنا نقطتي منتصف الضلعين غير المتوازيين، فسنلاحظ كيف يمكننا تكوين عدة مثلثات. إذا تخيلنا أننا فصلنا هذا الجزء ووضعناه في الجزء المفتوح هنا، ثم فعلنا المثل في الجانب الآخر، فسنكون قد رسمنا شكلًا له نفس مساحة هذا المستطيل المحدد باللون الأخضر. وما مساحة هذا المستطيل؟

طولا القاعدتين الأصليتين يساوي أربعة وسبعة. إذن، طول هذا المستطيل يساوي متوسط قيمتي أربعة وسبعة، لذا نجمع أربعة وسبعة ثم نقسم على اثنين. وارتفاع هذا المستطيل يساوي خمسة. هذا يعني أن المساحة تساوي أربعة زائد سبعة على اثنين في خمسة. وهذا يساوي ١١ على اثنين في خمسة. وبقسمة ٥٥ على اثنين، نحصل على ٢٧٫٥ وحدة مربعة. لقد جمعنا هنا طولي الضلعين المتوازيين وقسمنا على اثنين ثم ضربنا في الارتفاع. بذلك نكون قد توصلنا إلى طريقتين مختلفتين لإثبات كيفية إيجاد مساحة شبه المنحرف. دعونا الآن نلق نظرة على بعض الأسئلة التي يمكننا فيها استخدام هذه الصيغة.

صيغة مساحة شبه المنحرف هي ﻡ يساوي نصف ﻉ في ﺏ واحد زائد ﺏ اثنين. استخدم هذه الصيغة لإيجاد مساحة شبه منحرف فيه ﻉ يساوي ستة، وﺏ واحد يساوي ١٤، وﺏ اثنان يساوي ثمانية.

في هذا السؤال، لدينا بالفعل الصيغة العامة لمساحة شبه المنحرف، ونتذكر هنا أن شبه المنحرف هو شكل رباعي فيه ضلعان متوازيان. في الصيغة، ﺏ واحد وﺏ اثنان هما الضلعان المتوازيان. وﻉ هو الارتفاع العمودي. إذا أردنا رسم شبه المنحرف المعطى بالأبعاد ﻉ يساوي ستة وﺏ واحد يساوي ١٤ وﺏ اثنان يساوي ثمانية، فسيبدو بهذا الشكل.

لكن في هذا السؤال، لا يهم كيف يبدو؛ لأننا ببساطة يمكننا التعويض بالقيم المعطاة في الصيغة. إذن، لدينا ﻡ يساوي نصفًا في ستة، وهو الارتفاع، في ١٤ زائد ثمانية، وهو مجموع ﺏ واحد وﺏ اثنين. نصف العدد ستة يساوي ثلاثة، و١٤ زائد ثمانية يساوي ٢٢. ثلاثة في ٢٢ يساوي ٦٦. وهذه هي الإجابة عن مساحة شبه المنحرف. ليس لدينا أي وحدات قياس في السؤال، لكن بالطبع وحدات قياس المساحة تكون دائمًا وحدات مربعة.

لنلق نظرة على سؤال آخر.

‏ﺃﺏﺟﺩ شبه منحرف طولا قاعدتيه المتوازيتين ﺃﺩ وﺏﺟ يساويان ٣٦ سنتيمترًا و٤٨ سنتيمترًا على الترتيب. طول العمود المرسوم من النقطة ﺩ على ﺏﺟ يساوي ٣٥ سنتيمترًا. أوجد مساحة ﺃﺏﺟﺩ لأقرب سنتيمتر مربع.

في هذا السؤال، نعرف أن ﺃﺏﺟﺩ شبه منحرف. يمكننا ملاحظة ذلك في الشكل حيث لدينا ضلعان متوازيان. إذن، نعرف أنه شبه منحرف. نعرف أيضًا أن طولي قاعدتيه ﺃﺩ وﺏﺟ يساويان ٣٦ سنتيمترًا و٤٨ سنتيمترًا، وهذا موضح في الشكل. نعرف أيضًا أن طول العمود المرسوم من النقطة ﺩ على ﺏﺟ يساوي ٣٥ سنتيمترًا، وهذا موضح أيضًا في الشكل. ومن المهم أن نعلم كذلك أن ارتفاع شبه المنحرف يساوي ٣٥ سنتيمترًا.

لإيجاد مساحة ﺃﺏﺟﺩ، سنستخدم صيغة إيجاد مساحة شبه المنحرف. تنص هذه الصيغة على أن مساحة شبه المنحرف تساوي نصف ﻉ في ﺏ واحد زائد ﺏ اثنين، حيث ﻉ هو ارتفاع شبه المنحرف وﺏ واحد وﺏ اثنان هما قاعدتاه أو ضلعاه المتوازيان. إذن لإيجاد مساحة ﺃﺏﺟﺩ، نعوض بالقيم التي لدينا. الارتفاع يساوي ٣٥ سنتيمترًا. طولا ﺏ واحد وﺏ اثنين يساويان ٣٦ و٤٨، ولا يهم الترتيب هنا. لمعرفة المساحة، نوجد قيمة نصف في ٣٥ في مجموع ٣٦ و٤٨. يمكننا تبسيط ٣٦ زائد ٤٨ لنحصل على ٨٤.

وبما أنه لا تهم الطريقة التي نضرب بها، فيبدو من المنطقي أن نوجد قيمة نصف ٨٤ بدلًا من نصف ٣٥. وهذا يعني أننا نوجد قيمة ٣٥ في ٤٢. بدون استخدام الآلة الحاسبة، يمكننا حساب ذلك، وهو ما يساوي ١٤٧٠. والوحدة هنا هي السنتيمتر المربع. مطلوب منا الإجابة لأقرب سنتيمتر مربع، ولكن لدينا قيمة صحيحة هنا؛ لذلك لا نحتاج إلى التقريب. إذن، مساحة ﺃﺏﺟﺩ تساوي ١٤٧٠ سنتيمترًا مربعًا.

في السؤال التالي، سنوجد الطول المجهول لقاعدة شبه منحرف بمعلومية الأبعاد الأخرى والمساحة.

شبه منحرف مساحته ١٣٢ وطول قاعدته ٢٠ وارتفاعه ١١. ما طول القاعدة الأخرى؟

قد يكون من المنطقي أن نبدأ هذا السؤال برسم شكل لتمثيل المعطيات. نعلم من السؤال أن لدينا شبه منحرف. يمكننا أن نتذكر أن شبه المنحرف هو شكل رباعي، أي شكل له أربعة أضلاع، فيه ضلعان متوازيان. الارتفاع يساوي ١١ وحدة. ونعلم أن طول إحدى القاعدتين يساوي ٢٠، وعلينا إيجاد طول القاعدة الأخرى. عندما نتحدث عن القاعدتين في شبه المنحرف، فهذا يعني طولي الضلعين المتوازيين. لا نعرف أي قاعدة طولها ٢٠، لكن دعونا نكتب هذا الطول على القاعدة الموجودة بالأسفل.

لإيجاد طول القاعدة الأخرى، علينا استخدام المعطيات عن المساحة. في بعض البلدان، تستخدم كلمة «منحرف» للإشارة إلى شكل به ضلعان متوازيان. نعلم أن المساحة تساوي ١٣٢ وحدة مربعة. ويمكننا استخدام صيغة مساحة شبه المنحرف أو المنحرف التي تنص على أن المساحة تساوي نصف ﻉ في ﺏ واحد زائد ﺏ اثنين. ‏ﻉ هو ارتفاع شبه المنحرف، وﺏ واحد وﺏ اثنان هما القاعدتان. إذن، باستخدام هذه الصيغة، يمكننا التعويض بالمساحة التي تساوي ١٣٢ والارتفاع الذي يساوي ١١. ولا نعرف طول إحدى القاعدتين، لذا سنبقي على ﺏ واحد كما هو. ثم نجمع القاعدة التي طولها ٢٠.

يمكننا إعادة ترتيب هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺏ واحد بعدة طرق. لكن دعونا نبدأ بحذف هذا النصف من خلال ضرب طرفي المعادلة في اثنين. ١٣٢ في اثنين يساوي ٢٦٤. في الطرف الأيسر، يظل لدينا ١١ في ﺏ واحد زائد ٢٠. يمكننا بعد ذلك قسمة طرفي المعادلة على ١١. ٢٦٤ على ١١ يساوي ٢٤. وفي الطرف الأيسر، لدينا ﺏ واحد زائد ٢٠. يمكننا بعد ذلك إيجاد قيمة ﺏ واحد عن طريق طرح ٢٠ من طرفي المعادلة. إذن، الإجابة هي أن طول القاعدة الأخرى يساوي أربع وحدات.

سنتناول الآن سؤالًا يتعلق بالمساحة في الحياة الواقعية، ويتضمن شبهي منحرف.

يمثل الشكل الآتي إطارًا خشبيًّا على شكل شبه منحرف. أوجد مساحة سطح جانبه الأمامي.

يمكننا أن نتذكر أن شبه المنحرف هو شكل رباعي فيه ضلعان متوازيان. في الشكل، نلاحظ أن الضلعين المتوازيين هما هذان الضلعان الأفقيان. مطلوب منا إيجاد مساحة السطح أو مساحة الجانب الأمامي منه فقط. لإيجاد مساحة هذا الإطار الخشبي، علينا استخدام صيغة مساحة شبه المنحرف. تنص هذه الصيغة على أن المساحة تساوي نصف ﻉ في ﺏ واحد زائد ﺏ اثنين، حيث ﻉ هو الارتفاع وﺏ واحد وﺏ اثنان هما قاعدتا شبه المنحرف. وهما الضلعان المتوازيان.

لإيجاد مساحة هذا الإطار الخشبي، سنبدأ بإيجاد مساحة شبه المنحرف الأكبر الخارجي. وهذا سيعطينا مساحة الشكل بالكامل بما في ذلك مساحة الشكل الموجود في المنتصف. لذا علينا أيضًا إيجاد مساحة شبه المنحرف الأصغر. وبعد ذلك نطرح مساحة شبه المنحرف الأصغر من مساحة شبه المنحرف الأكبر، كما لو كنا نقطعه بقطاعة بسكويت ونزيله. وتتبقى لدينا بذلك المساحة التي نريد إيجادها. لنبدأ بشبه المنحرف الكبير. يمكننا التعويض بالقيم في الصيغة، ولكن هناك الكثير من المعطيات على الشكل، لذا سنحرص على استخدام القيم الصحيحة.

المساحة تساوي نصفًا في ٥٫٥. فهذا هو الارتفاع. وطولا القاعدتين يساويان ٤٫٨ وست بوصات. إذن، نحسب نصفًا في ٥٫٥ في ٤٫٨ زائد ستة. وبتبسيط ناتج الجمع داخل القوسين، يصبح لدينا نصف في ٥٫٥ في ١٠٫٨. يمكننا بعد ذلك ضرب نصف في ١٠٫٨، وهو ما يساوي ٥٫٤. إذن، ٥٫٥ في ٥٫٤ يساوي ٢٩٫٧، والوحدات هي البوصات المربعة. نتذكر هنا أنه في حالة الضرب في أعداد عشرية، نحذف العلامة العشرية. ضربنا هنا ٥٥ في ٥٤. وبما أنه يوجد رقمان بعد العلامة العشرية في السؤال الأصلي، فإن الإجابة تحتوي على رقمين بعد العلامة العشرية. و٢٩٫٧٠ هو نفسه ٢٩٫٧.

بالطريقة نفسها، يمكننا إيجاد مساحة شبه المنحرف الأصغر. نستخدم الصيغة نفسها، ولكن هذه المرة الارتفاع يساوي ٤٫٥ بوصات، وطولا القاعدتين يساويان ٣٫٤ بوصات و٤٫٨ بوصات. إذن نوجد قيمة نصف في ٤٫٥ في ٣٫٤ زائد ٤٫٨. وبتبسيط ما بداخل القوسين، يصبح لدينا نصف في ٤٫٥ في ٨٫٢. ثم يمكننا التبسيط بضرب نصف في ٨٫٢، فنحصل على ٤٫٥ في ٤٫١. عند حساب ذلك دون استخدام الآلة الحاسبة، نوجد قيمة ٤٥ في ٤١. وبالتالي، نعلم أن الإجابة هي واحد ثمانية أربعة خمسة، وبما أن لدينا رقمين بعد العلامة العشرية، فالإجابة هي ١٨٫٤٥. والوحدات هي البوصات المربعة.

بذلك نكون قد أوجدنا مساحة كل من شبه المنحرف الأكبر وشبه المنحرف الأصغر. لإيجاد مساحة الإطار الخشبي، سنطرحهما. إذن، ٢٩٫٧ ناقص ١٨٫٤٥ يساوي ١١٫٢٥. وستظل الوحدات هنا هي البوصات المربعة. هذه هي مساحة الإطار الخشبي.

يمكننا الآن تلخيص ما تعلمناه في هذا الفيديو. أولًا، تذكرنا أن شبه المنحرف هو شكل فيه ضلعان متوازيان. وأثبتنا بعد ذلك أن مساحة شبه المنحرف يمكن إيجادها بضرب نصف في ﻉ في ﺏ واحد زائد ﺏ اثنين، حيث ﻉ هو الارتفاع وﺏ واحد وﺏ اثنان هما الضلعان المتوازيان. وأخيرًا، رأينا أنه لا يهم أي قاعدة هي ﺏ واحد أو ﺏ اثنان.