فيديو السؤال: إيجاد مجموع ثلاثة متجهات على الصورة الإحداثية الرياضيات • الصف الأول الثانوي

نسخة الفيديو النصية

إذا كان ﺵ هو المتجه اثنين، سالب ثلاثة، وﻉ هو المتجه ثلاثة، اثنين، وﻭ هو المتجه سالب واحد، سالب خمسة، فأوجد مركبتي ﺵ زائد ﻉ زائد ﻭ.

في هذا السؤال، لدينا ثلاثة متجهات: ﺵ وﻉ وﻭ، ومطلوب منا إيجاد مجموع هذه المتجهات الثلاثة. حسنًا، إننا نعرف العديد من الطرق لجمع متجهين معًا. على سبيل المثال، يمكننا تمثيل هذه المتجهات الثلاثة بيانيًّا، ثم جمعها بيانيًّا. وسيكون ذلك صحيحًا، لكن لدينا هذه المتجهات الثلاثة بدلالة مركباتها، لذا سيكون من الأسهل جمع هذه المتجهات على الصورة الإحداثية.

حسنًا، سنبدأ بكتابة عملية الجمع بالكامل. لدينا ﺵ زائد ﻉ زائد ﻭ يساوي المتجه اثنين، سالب ثلاثة زائد المتجه ثلاثة، اثنين زائد المتجه سالب واحد، سالب خمسة. إننا نعلم أنه لجمع متجهين لهما البعد نفسه، فإننا نجمع مركباتهما المتناظرة معًا. إذن، سنبدأ بجمع المتجهين ﺵ وﻉ معًا. وعندما نجمع هذين المتجهين، ستكون المركبة الأولى مجموع المركبتين الأوليين لهذين المتجهين. وهذا يساوي اثنين زائد ثلاثة. وستكون المركبة الثانية مجموع المركبتين الثانيتين لهذين المتجهين. وهذا يساوي سالب ثلاثة زائد اثنين.

لا يجب أن ننسى هنا أنه ما زال علينا إضافة المتجه ﻭ. وهذا يعطينا التعبير الآتي. يمكننا تبسيط هذا التعبير بحساب مركبتي المتجه الأول. لدينا اثنان زائد ثلاثة يساوي خمسة، وسالب ثلاثة زائد اثنين يساوي سالب واحد، ونجد بذلك أن ﺵ زائد ﻉ زائد ﻭ يساوي المتجه خمسة، سالب واحد زائد المتجه سالب واحد، سالب خمسة. لكن نلاحظ أنه ما زال علينا جمع متجهين معًا أيضًا. لذا، علينا إجراء هذه العملية مرة أخرى. علينا جمع المركبتين الأوليين للمتجهين معًا، وجمع المركبتين الثانيتين للمتجهين معًا. هذا يعطينا المتجه خمسة زائد سالب واحد، سالب واحد زائد سالب خمسة.

يمكننا هنا حساب مقداري المركبتين لدينا. خمسة زائد سالب واحد يساوي أربعة، وسالب واحد زائد سالب خمسة يساوي سالب ستة. وبذلك، نكون قد أوضحنا أن ﺵ زائد ﻉ زائد ﻭ يساوي المتجه أربعة، سالب ستة. يمكننا التوقف عند هذه المرحلة. لكن تجدر الإشارة هنا إلى أمر ما. عندما أوجدنا قيمة هذا التعبير، بدأنا بإيجاد المتجه ﺵ زائد ﻉ، ثم جمعنا الناتج مع المتجه ﻭ. لكن هذا ليس الخيار الوحيد. وذلك لأننا يمكننا أيضًا جمع المتجه ﻉ مع المتجه ﻭ، ثم جمع الناتج مع المتجه ﺵ.

لفعل ذلك، يتعين علينا جمع مركبات المتجه ﻉ والمتجه ﻭ معًا. هذا يعطينا المتجه اثنين، سالب ثلاثة زائد المتجه ثلاثة زائد سالب واحد، اثنين زائد سالب خمسة، وهو ما يمكننا تبسيطه للحصول على المتجه اثنين، سالب ثلاثة، زائد المتجه اثنين، سالب ثلاثة. ويمكننا جمع هذين المتجهين على الصورة الإحداثية. وعندما نفعل ذلك، نجد أن المركبة الأولى للمتجه تساوي اثنين زائد اثنين، وهو ما يساوي أربعة، والمركبة الثانية للمتجه تساوي سالب ثلاثة زائد سالب ثلاثة، وهو ما يساوي سالب ستة.

ونحصل بذلك أيضًا على المتجه أربعة، سالب ستة. وبهذا، نكون قد أوضحنا للتو أنه لا يهم في هذه الحالة الترتيب الذي جمعنا به المتجهات ﺵ وﻉ وﻭ. في الواقع، هذا ينطبق بوجه عام على أي ثلاثة متجهات. يمكننا دائمًا، في مثل هذه الحالة، جمع المتجهات بأي ترتيب نختاره. ويسمى ذلك بخاصية الدمج لجمع المتجهات. وهذه الخاصية مشابهة جدًّا لخاصية أخرى مألوفة تسمى الإبدال، التي تعني أنه يمكننا تبديل ترتيب المتجهات. ومن المفيد جدًّا تذكر هاتين الخاصيتين؛ لأنه غالبًا يمكن استخدامهما لتبسيط المسائل التي تتضمن المتجهات.

إذن، لقد استطعنا في هذا السؤال توضيح أنه إذا كان ﺵ هو المتجه اثنين، سالب ثلاثة، وﻉ هو المتجه ثلاثة، اثنان، وﻭ هو المتجه سالب واحد، سالب خمسة، فإن ﺵ زائد ﻉ زائد ﻭ يساوي المتجه أربعة، سالب ستة.