نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نكتب ونحل معادلات الضرب والقسمة ذات الخطوة الواحدة في مجموعة متنوعة من الأسئلة تتضمن مسائل كلامية. قبل البدء في هذه الأسئلة، سنتعرف على المصطلحات الأساسية التي سنستخدمها. فيما يلي بعض المصطلحات أو التعريفات الأساسية التي سنستخدمها. أولًا، لنستعرض المقصود بالمعادلة الخطية. إنها المعادلات التي تعطينا خطًا مستقيمًا عند تمثيلها بيانيًا. على سبيل المثال، ﺱ زائد اثنين يساوي خمسة. وﺱ ناقص سبعة يساوي ثلاثة. واثنين ﺱ يساوي ١٠. وﺱ مقسومًا على ثلاثة يساوي أربعة.
لاحظ هنا أن المعادلات تتضمن أربع عمليات حسابية مختلفة: الجمع، والطرح، والضرب، والقسمة. في هذا الفيديو، سنركز على المعادلات التي تتضمن الضرب والقسمة. كما أن هذا الفيديو سيتناول فقط المعادلات ذات الخطوة الواحدة، لا المعادلات ذات الخطوتين أو الخطوات المتعددة التي قد تراها لاحقًا. المعادلة ذات الخطوة الواحدة هي معادلة تتطلب عملية حسابية واحدة لحلها. وأكرر أننا، في هذا الفيديو تحديدًا، سنتناول فقط المعادلات التي تتضمن الضرب والقسمة.
وخلال هذا الفيديو، سنناقش العمليات العكسية أو العمليات المعكوسة. وهي العمليات التي يمكنها إلغاء عملية حسابية سابقة. العملية العكسية للجمع أو معكوس عملية الجمع هو الطرح. والعملية العكسية للضرب هي القسمة، والعكس صحيح. وهذه هي النقطة الأساسية التي سنركز عليها في هذا الفيديو. نعلم أن أربعة مضروبًا في ثلاثة يساوي ١٢. ونعلم أيضًا أن ١٢ مقسومًا على ثلاثة يساوي أربعة.
قسمة كلا طرفي المعادلة الأولى على ثلاثة يعطينا المعادلة الثانية. هذا لأن العددين ثلاثة في الطرف الأيمن يلغي أحدهما الآخر، حيث ثلاثة مقسومًا على ثلاثة يساوي واحدًا. ويتبقى لدينا أربعة يساوي ١٢ مقسومًا على ثلاثة. تذكر أن أي شيء تفعله في أحد طرفي المعادلة، عليك فعله في الطرف الآخر. علينا إجراء العملية نفسها على طرفي علامة التساوي، إذ إن هذا يضمن أن تظل المعادلة متزنة. ذكرنا في البداية أن حل المعادلات سيكون جزءًا أساسيًا من هذا الفيديو. وهذا يتضمن إيجاد قيمة ﺱ أو المجهول الذي يحقق المعادلة.
الآن سنتناول بعض الأمثلة، والتي يتضمن أولها حل معادلة خطية ذات خطوة واحدة تتضمن الضرب.
اشترى نادر خمس قطع من الشوكولاتة من نفس النوع، كلها بسعر واحد. إذا كان ﻙ ثمن كل قطعة من الشوكولاتة، فحل خمسة ﻙ يساوي ٢٥ لإيجاد قيمة ﻙ.
لدينا في السؤال أن نادر اشترى خمسة قطع من الشوكولاتة من نفس النوع كلها بسعر واحد. الحرف ﻙ يمثل ثمن القطعة الواحدة. وبالتالي، ثمن خمس قطع يساوي خمسة ﻙ. لذا فالمعادلة تساوي ٢٥. إذن، السعر الإجمالي لخمس قطع من الشوكولاتة يساوي ٢٥. في هذه المسألة، لم نعط وحدات. لذا لا داعي للقلق حيال ما إذا كان العدد ٢٥ يمثل سنتات، أو بنسات، أو أي عملة أخرى.
مطلوب منا حل المعادلة لإيجاد قيمة ﻙ. هذا مثال على معادلة ذات خطوة واحدة، حيث إننا سنحتاج لإجراء عملية حسابية واحدة فقط لحلها. تذكر أنه عند حل معادلة، نحتاج إلى إجراء العملية نفسها في كلا الطرفين. فهذا يبقي المعادلة متزنة. في هذه الحالة، سنقسم كلا طرفي المعادلة على خمسة. ونقوم بذلك لأن الضرب في خمسة والقسمة على خمسة عمليتان عكسيتان أو معكوستان.
خمسة ﻙ مقسومًا على خمسة يساوي ﻙ. يلغي العددان خمسة أحدهما الآخر، لأن خمسة مقسومًا على خمسة يساوي واحدًا. ٢٥ مقسومًا على خمسة يساوي خمسة. وهذا يعني أن قيمة ﻙ في المعادلة خمسة ﻙ يساوي ٢٥ هي خمسة. في سياق هذا السؤال، ثمن كل قطعة شوكولاتة هو خمس وحدات.
سنتناول الآن مثالًا ثانيًا نحتاج فيه إلى كتابة معادلة ذات خطوة واحدة ثم حلها.
يستغرق رامي خمسة أمثال المدة التي تستغرقها داليا للذهاب إلى العمل. إذا استغرق رامي للوصول إلى العمل ٧٠ دقيقة، فاكتب معادلة للمدة ﺱ التي تستغرقها داليا للذهاب إلى العمل. بعد ذلك حل المعادلة.
في هذا السؤال، نحتاج إلى كتابة معادلة ثم حلها. لدينا في السؤال أن داليا تستغرق ﺱ من الدقائق للوصول إلى العمل. ويستغرق رامي خمسة أمثال ذلك. خمسة مضروبًا في ﺱ يساوي خمسة ﺱ. وبالتالي، يستغرق رامي خمسة ﺱ من الدقائق للوصول إلى العمل. لدينا كذلك أن زمن رحلة رامي هو ٧٠ دقيقة. هذا معناه أن لدينا معادلة خطية هي خمسة ﺱ يساوي ٧٠.
والآن بعد أن كتبنا المعادلة، يمكننا الانتقال إلى الجزء الثاني من السؤال، وهو حلها. نعلم أن زمن رحلة رامي هو ٧٠ دقيقة. وعلينا حل المعادلة خمسة ﺱ يساوي ٧٠ لإيجاد زمن رحلة داليا. هذه معادلة ذات خطوة واحدة لأننا نحتاج إلى إجراء خطوة واحدة فقط لحلها. تذكر، علينا إجراء العملية الحسابية نفسها في كلا طرفي المعادلة. في هذه الحالة، سنقسم على خمسة. القسمة على خمسة هي العملية العكسية أو المعكوسة للضرب في خمسة.
خمسة ﺱ مقسومًا على خمسة يساوي ﺱ حيث يلغي العددان خمسة أحدهما الآخر. ٧٠ مقسومًا على خمسة يساوي ١٤. إذا لم نستطع إجراء هذه العملية الحسابية ذهنيًا، يمكننا استخدام طريقة القسمة المختصرة. سبعة مقسومًا على خمسة يساوي واحدًا ويتبقى اثنان. و٢٠ مقسومًا على خمسة يساوي أربعة. وبالتالي، ٧٠ مقسومًا على خمسة يساوي ١٤. إذن حل المعادلة خمسة ﺱ يساوي ٧٠ هو ﺱ يساوي ١٤. وبالتالي يمكننا استنتاج أن داليا تستغرق ١٤ دقيقة للوصول إلى العمل.
يمكننا التأكد من صحة هذه الإجابة بالنظر إلى زمن رامي وضرب خمسة في ١٤. وحيث إن ٧٠ مقسومًا على خمسة يساوي ١٤، نعلم أن خمسة مضروبًا في ١٤ يجب أن يساوي ٧٠. الضرب والقسمة عمليتان عكسيتان أو معكوستان. كان زمن رحلة رامي ٧٠ دقيقة، وهو خمسة أمثال زمن رحلة داليا الذي يساوي ١٤ دقيقة.
سنتناول الآن مثالًا ثالثًا سنكتب فيه معادلة تتضمن متغيرين.
لبنى تستغرق ١٢ دقيقة في طلاء كرسي حديقة واحد. اكتب معادلة تعبر عن عدد الكراسي ﻙ التي يمكنها طلاؤها خلال ﺱ من الساعات.
يخبرنا هذا السؤال بأن لبني يمكنها طلاء كرسي واحد في ١٢ دقيقة. لكن ما يعنينا هو عدد الكراسي التي يمكنها طلاؤها خلال ﺱ من الساعات. لننظر أولًا إلى عدد الكراسي التي يمكن للبني طلاؤها في ساعة واحدة. نعلم أن ٦٠ دقيقة تساوي ساعة واحدة. علينا حساب عدد الكراسي التي يمكن طلاؤها في ٦٠ دقيقة.
يمكننا البدء بالعد للأعلى بمقدار ١٢. يمكن للبني طلاء كرسيين في ٢٤ دقيقة، حيث ١٢ زائد ١٢ يساوي ٢٤. بإضافة ١٢ دقيقة أخرى يصبح لدينا ٣٦ دقيقة. إذن يمكنها طلاء ثلاثة كراسي خلال هذه المدة. يمكن للبني طلاء أربعة كراسي في ٤٨ دقيقة، وخمسة كراسي في ٦٠ دقيقة. ولكن ربما تكون قد لاحظت على الفور أن ١٢ مضروبًا في خمسة يساوي ٦٠. بأي من الطريقتين، نجد أن بإمكان لبني طلاء خمسة كراسي خلال ٦٠ دقيقة أو ساعة واحدة.
علينا الآن كتابة معادلة تعبر عن عدد الكراسي ﻙ التي يمكنها طلاؤها خلال ﺱ من الساعات. إذا كان بإمكان لبني طلاء خمسة كراسي في ساعة واحدة، فبإمكانها طلاء ١٠ كراسي في ساعتين، و١٥ كرسيًا في ثلاث ساعات، وهكذا. خلال ﺱ من الساعات، يمكنها طلاء خمسة ﺱ أو خمسة مضروبًا في ﺱ من الكراسي. وبالتالي تكون معادلتنا هي ﻙ يساوي خمسة ﺱ. يمكننا بعد ذلك التعويض بقيم لـ ﺱ أو ﻙ. يمكننا التعويض بقيم لـ ﺱ لحساب عدد الكراسي المطلية خلال عدد معين من الساعات أو التعويض بقيم لـ ﻙ لحساب عدد الساعات التي يستغرقها طلاء عدد معين من الكراسي.
يتناول المثال التالي سياقًا واقعيًا يتضمن كسورًا.
مستطيل عرضه يساوي سدس طوله. إذا كان عرض المستطيل يساوي تسع بوصات، فأوجد طوله.
سنجيب عن هذا السؤال بأن نرسم أولًا شكلًا ثم نكتب معادلة خطية ذات خطوة واحدة. لنفترض أن عرض المستطيل ﻉ من البوصات وطول المستطيل ﻝ من البوصات. يخبرنا السؤال بأن العرض يساوي سدسًا من الطول. وكلمة «من» تعني رياضيًا الضرب. إذن ﻉ يساوي سدس مضروبًا في ﻝ. ويمكن كتابة ذلك هكذا: ﻉ يساوي سدس ﻝ أو ﻝ مقسومًا على ستة.
في هذا السؤال تحديدًا، لدينا أن عرض المستطيل يساوي تسع بوصات. يمكننا التعويض بذلك في المعادلة لتصبح: تسعة يساوي سدس ﻝ. وهذا هو نفسه تسعة يساوي ﻝ مقسومًا على ستة. لحل هذه المعادلة، علينا إجراء العملية نفسها في كلا طرفي علامة التساوي. في هذه الحالة، سنضرب في ستة، لأن الضرب في ستة هو معكوس أو عكس القسمة على ستة.
في الطرف الأيمن، ستة مضروبًا في تسعة أو تسعة مضروبًا في ستة يساوي ٥٤. وفي الطرف الأيسر، نحذف الستة مع الستة. ويتبقى لدينا ﻝ. وبما أن ﻝ يساوي ٥٤، يمكننا استنتاج أن طول المستطيل يساوي ٥٤ بوصة. نستطيع التأكد من صحة هذه الإجابة من خلال حساب قيمة سدس من ٥٤. وبما أن هذا يساوي تسعة، وهو عرض المستطيل، نعرف أن الإجابة ٥٤ بوصة إجابة صحيحة.
سنتناول الآن آخر مثال على كتابة معادلة خطية وحلها.
إذا اخترت عددًا وقسمته على ثلاثة ثم قسمته على ستة. فأصبح الناتج اثنين. فما هذا العدد؟
يمكننا حل هذه المسألة بعدة طرق. وسنرى كيف نكتب معادلة خطية، ونستخدم آلات الدالة أيضًا. سنبدأ بافتراض أن ﻥ هو العدد. الخطوة الأولى هي أن نقسم هذا العدد على ثلاثة. عادة ما نكتب ذلك في الجبر على صورة ﻥ على ثلاثة. ثم علينا قسمة هذه الإجابة على ستة. وهذه العملية تماثل الضرب في سدس؛ لأن القسمة على عدد تماثل الضرب في معكوس هذا العدد. بضرب البسطين والمقامين نحصل على ﻥ على ١٨، أو ﻥ مقسومًا على ١٨. قسمة عدد على ثلاثة ثم قسمته على ستة، هي نفسها قسمة هذا العدد على ١٨.
يخبرنا السؤال بأن النتيجة أو الإجابة هي اثنان. وبالتالي، ﻥ على ١٨ يساوي اثنين. يمكننا حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﻥ بضرب كلا طرفي المعادلة في ١٨. هذا لأن عكس القسمة على ١٨ هو الضرب في ١٨. ويجب إجراء العملية نفسها في كلا الطرفين. في الطرف الأيمن، نحذف ١٨ مع ١٨، ليتبقى لدينا ﻥ. اثنان مضروبًا في ١٨ يساوي ٣٦. إذن فالعدد الذي بدأنا به هو ٣٦. يمكننا التأكد من صحة هذه الإجابة بأن نبدأ بقسمة ٣٦ على ثلاثة. هذا يعطينا ١٢. ثم بقسمة ١٢ على ستة نحصل على اثنين. وهذا يعني أن الإجابة ٣٦ كانت صحيحة.
كما ذكرنا في البداية، هناك طريقة بديلة للحل هنا، وهي استخدام آلات الدالة. نبدأ بقيمة مدخلة ﻥ، ثم نقسم على ثلاثة، ثم نقسم على ستة، ونحصل على قيمة مخرجة تساوي اثنين. معكوس أو عكس القسمة على ستة هو الضرب في ستة. ومعكوس القسمة على ثلاثة هو الضرب في ثلاثة. إذا علمنا أن القيمة المخرجة هي اثنان، فيمكننا حساب القيمة المدخلة بالضرب أولًا في ستة ثم الضرب في ثلاثة. اثنان مضروبًا في ستة يساوي ١٢. ١٢ مضروبًا في ثلاثة يساوي ٣٦. وهذا يؤكد أن القيمة المدخلة ﻥ تساوي ٣٦ بالفعل.
الآن سننهي هذا الفيديو بتلخيص النقاط الأساسية. إلى جانب التعريفات والمصطلحات التي تناولناها في بداية هذا الفيديو، علينا أن نتذكر الخطوات الآتية لحل المعادلات ذات الخطوة الواحدة. أولًا، علينا تحديد العملية العكسية أو المعكوسة. على سبيل المثال، لحل المعادلة أربعة ﺱ يساوي ثمانية، نقسم على أربعة لإلغاء الضرب في أربعة. هذا لأن الضرب والقسمة عمليتان عكسيتان.
ثانيًا، علينا التأكد من إجراء العملية في كلا الطرفين. هذا يضمن أن تظل المعادلة متزنة. وأخيرًا، من المهم التأكد من صحة إجابتك من خلال التعويض. حل المعادلة أربعة ﺱ يساوي ثمانية هو ﺱ يساوي اثنين. يمكننا التأكد من ذلك بالعودة للتعويض باثنين في المعادلة. أربعة مضروبًا في اثنين يساوي ثمانية. سيساعدنا تذكر هذه النقاط الثلاث الأساسية في حل أي معادلة ذات خطوة واحدة تتضمن الضرب أو القسمة.
