نسخة الفيديو النصية
إذا كانت المجموعة ﺱ تساوي ثمانية، وﺹ تساوي ثمانية، ثلاثة، وع تساوي تسعة، أربعة، خمسة؛ فأوجد اتحاد حاصلي الضرب الديكارتي لـ ﺱ في ﺹ، وﺹ في ع.
لحل هذه المسألة، ما علينا فعله أولًا هو إيجاد حاصلي ضرب ﺱ في ﺹ، وﺹ في ع، ثم إيجاد اتحادهما. سنبدأ إذن بـ ﺱ مضروبًا في ﺹ، أو حاصل ضرب ﺱ في ﺹ. إذن، لإيجاد حاصل الضرب الديكارتي، نضرب ﺱ في ﺹ، وما علينا فعله هو كتابة مجموعة من الأزواج المرتبة ذات الإحداثيات ﺱ، ﺹ، التي تأتي من ﺱ باعتباره عنصرًا في ﺱ وﺹ باعتباره عنصرًا في ﺹ.
إذن، كما ترى، كتبنا هذا التعريف واستخدمنا بعض ترميزات المجموعة. لدينا هذا الحرف الكبير E. وهو يعني «ينتمي إلى». إذن، ما يعنيه هذا بعبارات صريحة هو أننا سنأخذ القيم من ﺱ وﺹ وننشئ أزواجًا مرتبة للإحداثيات منهما. بذلك، سيكون لدينا مجموعة من الإحداثيات قيم ﺱ فيها ستكون ثمانية، وقيم ﺹ ستكون ثلاثة أو ثمانية. إذن، حاصل الضرب الديكارتي لـ ﺱ في ﺹ سيكون ثمانية، ثلاثة؛ وثمانية، ثمانية لأنهما الزوجان الممكنان الوحيدان لحواصل الضرب. وذلك لأننا حصلنا على العدد ثمانية من المجموعة ﺱ مع ثلاثة من المجموعة ﺹ، وثمانية من المجموعة ﺱ مع ثمانية من المجموعة ﺹ.
الآن، سننتقل إلى ﺹ في ع، أي ﺹ مضروبًا في ع. إذن، باستخدام حاصل الضرب الديكارتي لـ ﺹ في ع، سنحصل على الإحداثيات: ﺹ، ع؛ حيث ﺹ سيكون ثلاثة أو ثمانية، وع سيكون أربعة أو خمسة أو تسعة. إذن، ستكون مجموعة النتائج الممكنة هي: ثلاثة، أربعة؛ وثلاثة، خمسة؛ وثلاثة، تسعة؛ وثمانية، أربعة؛ وثمانية، خمسة؛ وثمانية، تسعة. الآن، ما سنفعله هو إيجاد الاتحاد بين هاتين المجموعتين. الاتحاد هو هذا الشكل الذي نلاحظه هنا باعتباره ترميز المجموعة وهو ∪. واتحاد المجموعتين يعني قيمة تمثل عنصرًا إما لـ ﺃ أو ﺏ. أي عنصرًا من المجموعة الأولى أو عنصرًا من المجموعة الثانية.
وإذا نظرنا إليه على أنه شكل «فن»، فسنلاحظ أنه إذا كان لدينا المجموعتان ﺃ وﺏ، وإذا أردنا اتحاد هاتين المجموعتين، فسنجد أنه أي قيمة داخل هاتين المجموعتين. إذن، يمكننا القول إن اتحاد ﺱ مضروبًا في ﺹ وﺹ مضروبًا في ع هو جميع الأزواج المرتبة في ﺱ مضروبًا في ﺹ أو ﺹ مضروبًا في ع. ومن ثم، يمكننا القول إن الاتحاد يحتوي على جميع القيم التي لدينا. بالنسبة إلى الأزواج المرتبة، فيمكننا القول إن اتحاد حاصل الضرب الديكارتي لـ ﺱ في ﺹ، وحاصل الضرب الديكارتي لـ ﺹ في ع، سيعطينا مجموعة الإحداثيات: ثمانية، ثلاثة؛ وثمانية، ثمانية؛ وثلاثة، أربعة؛ وثلاثة، خمسة؛ وثلاثة، تسعة؛ وثمانية، أربعة؛ وثمانية، خمسة؛ وثمانية، تسعة.
