فيديو الدرس: حاصل الضرب الديكارتي الرياضيات • الصف الثالث الإعدادي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نجري الضرب الديكارتي ونستخدم العمليات المطبقة على المجموعات. سنبدأ بشرح ما نعنيه بالضرب الديكارتي ومناقشة الرموز الأخرى التي سنستخدمها في هذا الفيديو.

حاصل الضرب الديكارتي ﺃ في ﺏ للمجموعتين ﺃ وﺏ هو مجموعة جميع الأزواج المرتبة ﺱ، ﺹ، حيث ﺱ ينتمي إلى ﺃ وﺹ ينتمي إلى ﺏ. هذا يعني أن حاصل الضرب الديكارتي لمجموعتين هو في حد ذاته مجموعة تتكون من أزواج مرتبة. وتعرف كل مجموعة من هذه الأزواج المرتبة بأنها علاقة.

على سبيل المثال، لننظر إلى هاتين المجموعتين، المجموعة ﺃ تحتوي على الأعداد اثنين وثلاثة وسبعة والمجموعة ﺏ تحتوي على العنصرين خمسة وسبعة. إذن سيتكون حاصل الضرب الديكارتي ﺃ في ﺏ من أزواج مرتبة. كل زوج من هذه الأزواج المرتبة سيكون له قيمة ﺱ، وهي عنصر ينتمي للمجموعة ﺃ، وقيمة ﺹ، وهي عنصر ينتمي للمجموعة ﺏ.

لنبدأ بالعنصر الأول من المجموعة ﺃ، وهو العدد اثنان. يمكن ربط هذا العنصر مع العنصر خمسة في المجموعة ﺏ، وهو ما يعطينا الزوج المرتب اثنين، خمسة. يمكننا أيضًا الحصول على الزوج المرتب اثنين، سبعة. بعد ذلك، يمكننا تكرار هذه العملية مع العدد ثلاثة في المجموعة ﺃ، لكي نحصل على الزوجين المرتبين ثلاثة، خمسة وثلاثة، سبعة. الزوجان المرتبان الأخيران لدينا هما سبعة، خمسة وسبعة، سبعة. وبذلك توجد ستة أزواج مرتبة في حاصل الضرب الديكارتي ﺃ في ﺏ.

إذا نظرنا، من ناحية أخرى، إلى حاصل الضرب الديكارتي ﺏ في ﺃ، فسنجد أن قيم ﺱ ستنتمي إلى المجموعة ﺏ وقيم ﺹ ستنتمي إلى المجموعة ﺃ. ومن ثم، يصبح لدينا الأزواج المرتبة خمسة، اثنان؛ وخمسة، ثلاثة؛ وخمسة، سبعة. وسيكون لدينا أيضًا الأزواج المرتبة سبعة، اثنان؛ وسبعة، ثلاثة؛ وسبعة، سبعة. على الرغم من أن ﺏ في ﺃ يحتوي أيضًا على ستة أزواج مرتبة، نلاحظ أن حاصل الضرب الديكارتي ﺃ في ﺏ لا يساوي ﺏ في ﺃ. فالزوج المرتب الوحيد المتشابه بينهما هو سبعة، سبعة. والسبب في ذلك هو أن الترتيب مهم. فقد حل الإحداثي ﺱ محل الإحداثي ﺹ، والعكس بالعكس.

نتذكر هنا أن تقاطع المجموعتين ﺃ وﺏ يرمز له بـ ﺃ حرف ‪U‬‏ مقلوب ﺏ. والتقاطع هو مجموعة العناصر التي تنتمي لكلتا المجموعتين. في هذا السؤال، ﺃ تقاطع ﺏ يساوي المجموعة التي تحتوي على العنصر سبعة؛ لأن هذا هو العدد الوحيد الذي يظهر في المجموعة ﺃ والمجموعة ﺏ. أما اتحاد المجموعتين ﺃ وﺏ، فيرمز له بـ ﺃ ‪U‬‏ ﺏ. ويقصد به جميع العناصر الموجودة في المجموعة ﺃ أو المجموعة ﺏ. فندرج فيه جميع العناصر الموجودة في المجموعة ﺃ بالإضافة إلى أي عناصر إضافية في المجموعة ﺏ غير موجودة في المجموعة ﺃ، وهي العدد خمسة في هذه الحالة. إذن ﺃ اتحاد ﺏ يساوي المجموعة: اثنين، وثلاثة، وسبعة، وخمسة. وبما أن العدد سبعة موجود في كلتا المجموعتين ﺃ وﺏ، فليس علينا كتابته مرتين.

سنتناول الآن بعض الأسئلة التي علينا فيها حساب حواصل الضرب الديكارتية للمجموعات باستخدام أشكال فن ومن دونها.

استخدم شكل فن التالي لإيجاد حاصل الضرب الديكارتي لـ ﺱ وﻉ.

علامة الضرب في هذا السؤال تشير إلى الضرب الديكارتي. وحاصله هو مجموعة جميع الأزواج المرتبة. يمكننا البدء بكتابة عناصر المجموعات ﺱ وﺹ وﻉ. تحتوي المجموعة ﺱ على عنصر واحد فقط، وهو العدد ستة. وتحتوي المجموعة ﺹ على العنصرين أربعة وتسعة. وتحتوي المجموعة ﻉ على العناصر خمسة، وثلاثة، وأربعة. يظهر العددان خمسة وثلاثة في المجموعة ﻉ فقط، بينما يظهر العدد أربعة في تقاطع المجموعة ﻉ والمجموعة ﺹ. وما يعنينا هنا هو حاصل الضرب الديكارتي للمجموعة ﺱ والمجموعة ﻉ.

بما أن الحرف الأول في عملية الضرب الديكارتي هو ﺱ، فإن عناصر هذه المجموعة ستمثل العدد الأول في الأزواج المرتبة. وعناصر المجموعة ﻉ ستمثل العدد الثاني. وبالتالي فإن الزوج المرتب الأول لدينا هو ستة، خمسة. بعد ذلك لدينا الزوج ستة، ثلاثة؛ حيث نأخذ ستة من المجموعة ﺱ، وثلاثة من المجموعة ﻉ. وأخيرًا لدينا الزوج المرتب ستة، أربعة. وبذلك نكون قد ربطنا كل عنصر من عناصر المجموعة ﻉ مع العنصر ستة الموجود في المجموعة ﺱ. إذن حاصل الضرب الديكارتي للمجموعة ﺱ والمجموعة ﻉ هو ستة، خمسة؛ وستة، ثلاثة؛ وستة، أربعة.

في السؤال التالي، لن يكون لدينا شكل فن.

إذا كانت المجموعة ﺱ تساوي ثمانية، أربعة، ستة، والمجموعة ﺹ تساوي ستة، سبعة، والمجموعة ﻉ تساوي سبعة، فأوجد حاصل الضرب الديكارتي للمجموعة ﺱ وتقاطع المجموعتين ﺹ وﻉ.

نتذكر هنا أن حاصل الضرب الديكارتي لمجموعتين هو مجموعة جميع الأزواج المرتبة. وتقاطع مجموعتين هو العناصر التي تظهر في كلتا المجموعتين، وهما في هذا السؤال المجموعتان ﺹ وﻉ. تحتوي المجموعة ﺹ على العنصرين ستة وسبعة، بينما تحتوي المجموعة ﻉ على العدد سبعة فقط. هذا يعني أن العدد الوحيد الذي يظهر في كلتا المجموعتين هو سبعة. إذن تقاطع المجموعتين ﺹ وﻉ يساوي سبعة. ويخبرنا السؤال أن المجموعة ﺱ تحتوي على الأعداد ثمانية وأربعة وستة.

علينا الآن إيجاد حاصل الضرب الديكارتي لهاتين المجموعتين. بما أن القيمة الأولى في حاصل الضرب الديكارتي هي ﺱ، فإن كل عنصر من عناصر ﺱ سيكون العدد الأول في الأزواج المرتبة. ومن ثم، فإن الزوج المرتب الأول لدينا هو ثمانية، سبعة. بعد ذلك لدينا أربعة، سبعة. وأخيرًا، لدينا الزوج المرتب ستة، سبعة. لقد ربطنا الآن كل قيمة من هذه القيم الموجودة في المجموعة ﺱ مع القيمة سبعة في المجموعة ﺹ تقاطع ﻉ. إذن حاصل الضرب الديكارتي يحتوي على الأزواج المرتبة ثمانية، سبعة؛ وأربعة، سبعة؛ وستة، سبعة.

في السؤال التالي، سنتناول رمز الاتحاد.

أوجد حاصل الضرب الديكارتي لـ ﻉ فرق ﺹ وﺱ اتحاد ﺹ باستخدام شكل فن الموضح.

نتذكر هنا أن حاصل الضرب الديكارتي هو مجموعة جميع الأزواج المرتبة. ونتذكر أيضًا أن اتحاد مجموعتين هو العناصر التي تظهر في أي من المجموعتين. يمكننا أن نرى من شكل فن أن المجموعة ﺱ تحتوي على العدد أربعة فقط، والمجموعة ﺹ تحتوي على العنصرين سبعة وتسعة، وأخيرًا تحتوي المجموعة ﻉ على العناصر ثلاثة وثمانية وسبعة.

الجزء الأول من هذا السؤال هو ﻉ فرق ﺹ. لإجراء هذه العملية الحسابية، نبدأ بجميع عناصر ﻉ ونحذف منها أي عناصر تظهر أيضًا في المجموعة ﺹ. العنصر الوحيد الذي يظهر في كلتا المجموعتين هو العدد سبعة. وهذا يعني أن المجموعة ﻉ فرق ﺹ تحتوي على العنصرين ثلاثة وثمانية.

وبما أنه لا يوجد تقاطع بين المجموعة ﺱ والمجموعة ﺹ، أي إن الدائرتين في شكل فن لا تتداخلان نظرًا لعدم وجود عنصر مشترك في كلتا المجموعتين، فإن اتحاد ﺱ وﺹ سيساوي جميع العناصر الموجودة في ﺱ وجميع العناصر الموجودة في ﺹ. إذن ﺱ اتحاد ﺹ يساوي أربعة، سبعة، تسعة. يمكننا الآن إيجاد حاصل الضرب الديكارتي لهاتين المجموعتين.

العدد الأول من الأزواج المرتبة سيكون من المجموعة ﻉ فرق ﺹ. والعدد الثاني سيكون من المجموعة ﺱ اتحاد ﺹ. وبذلك يكون الزوج الأول لدينا هو ثلاثة، أربعة. ولدينا بعد ذلك ثلاثة، سبعة وثلاثة، تسعة. ثم نكرر ذلك مع العدد ثمانية لكي نحصل على ثمانية، أربعة؛ وثمانية، سبعة؛ وثمانية، تسعة. إذن حاصل الضرب الديكارتي لـ ﻉ فرق ﺹ وﺱ اتحاد ﺹ يحتوي على ستة الأزواج المرتبة ثلاثة، أربعة؛ وثلاثة، سبعة؛ وثلاثة، تسعة؛ وثمانية، أربعة؛ وثمانية، سبعة؛ وثمانية، تسعة.

في السؤال التالي سنعمل بطريقة عكسية، بمعنى أنه سيكون معطى لنا في السؤال حاصل الضرب الديكارتي.

إذا كان حاصل الضرب الديكارتي للمجموعة ﺱ والمجموعة ﺹ يساوي مجموعة الأزواج المرتبة ثمانية، صفر؛ وثمانية، ستة؛ وواحد، صفر؛ وواحد، ستة؛ وثلاثة، صفر؛ وثلاثة، ستة، فأوجد المجموعة ﺱ.

الرمز الموجود في السؤال يشير إلى الضرب الديكارتي. وهو مجموعة جميع الأزواج المرتبة. وبما أن القيمة الأولى في عملية الضرب الديكارتي هي ﺱ، فلا بد أن تنتمي جميع القيم الأولى في الأزواج المرتبة إلى المجموعة ﺱ. وبالمثل، يجب أن تنتمي القيم الثانية في الأزواج المرتبة للمجموعة ﺹ. بما أنه يوجد ثلاث قيم مختلفة لـ ﺱ في مجموعة الأزواج المرتبة، فإن المجموعة ﺱ ستتضمن هذه القيم الثلاث. وهي الأعداد ثمانية وواحد وثلاثة. وتوجد قيمتان مختلفتان لـ ﺹ، وهما العددان صفر وستة. وبما أن ما يعنينا فقط هو المجموعة ﺱ، فإن الإجابة الصحيحة هي ثمانية وواحد وثلاثة.

في السؤال التالي، علينا معرفة أي العلاقات ينتمي إليها أحد الأزواج المرتبة.

إذا كان ﺱ يساوي المجموعة صفر، سالب واحد، وﺹ يساوي المجموعة ثمانية، سالب أربعة، سالب ثلاثة، سالب اثنين، فأي العلاقات الآتية سيكون سالب واحد، سالب أربعة عنصرًا فيها؟ هل هو الخيار (أ) ﺱ تربيع، أم (ب) ﺱ تربيع، أم (ج) ﺱ في ﺹ، أم (د) ﺹ في ﺱ؟

يشير رمز الضرب في الخيارين (ج) و(د) إلى الضرب الديكارتي للمجموعتين ﺱ وﺹ والمجموعتين ﺹ وﺱ، على الترتيب. وحاصل الضرب الديكارتي هو مجموعة جميع الأزواج المرتبة. قبل البدء في الإجابة عن هذا السؤال، تجدر الإشارة إلى أن الخيار (أ) ﺱ تربيع يساوي حاصل الضرب الديكارتي للمجموعة ﺱ والمجموعة ﺱ. وبالمثل، ﺹ تربيع يساوي حاصل الضرب الديكارتي للمجموعة ﺹ والمجموعة ﺹ.

القيمة الأولى في الزوج المرتب لدينا، وهي سالب واحد، موجودة في المجموعة ﺱ. والقيمة الثانية، وهي سالب أربعة، موجودة في المجموعة ﺹ. إذن يمكننا استنتاج أن الخيار (ج)، أي حاصل الضرب الديكارتي لـ ﺱ وﺹ، هو الإجابة الصحيحة. تحتوي هذه العلاقة على الزوج المرتب سالب واحد، سالب أربعة.

توجد طريقة بديلة يمكننا استخدامها هنا، وهي كتابة جميع الأزواج المرتبة في كل علاقة. على سبيل المثال، حاصل الضرب الديكارتي لـ ﺱ وﺹ يحتوي على الأزواج المرتبة صفر، ثمانية؛ وصفر، سالب أربعة؛ وصفر، سالب ثلاثة؛ وصفر، سالب اثنين؛ وسالب واحد، ثمانية؛ وسالب واحد، سالب أربعة؛ وسالب واحد، سالب ثلاثة؛ وسالب واحد، سالب اثنين. ومرة أخرى، نجد أن سالب واحد، سالب أربعة ينتمي إلى حاصل الضرب الديكارتي هذا.

في السؤال الأخير، سنوجد اتحاد حاصلي ضرب ديكارتي.

أوجد اتحاد حاصلي ضرب ﺱ وﺹ مع ﺹ وﻉ، باستخدام شكل فن الموضح.

نتذكر هنا أن اتحاد مجموعتين هو العناصر التي تظهر في المجموعة الأولى أو المجموعة الثانية. وحاصل الضرب الديكارتي لأي مجموعتين هو مجموعة جميع الأزواج المرتبة. يمكننا أن نرى في شكل فن أن المجموعة ﺱ تحتوي على العنصر واحد، والمجموعة ﺹ تحتوي على العنصرين سبعة وخمسة، والمجموعة ﻉ تحتوي على العناصر اثنين وصفر وخمسة. لاحظ أن العدد خمسة يظهر في كلتا المجموعتين ﺹ وﻉ، حيث إنه تقاطع هاتين المجموعتين.

يمكننا استخدام عناصر المجموعتين ﺱ وﺹ لإيجاد حاصل الضرب الديكارتي لـ ﺱ وﺹ. هذا يتضمن الزوجين المرتبين واحد، سبعة، وواحد، خمسة. لاحظ أن قيم ﺱ هي الأعداد الأولى في الزوج المرتب، وقيم ﺹ هي الأعداد الثانية. يمكننا تكرار هذه العملية مع حاصل الضرب الديكارتي للمجموعتين ﺹ وﻉ. في حاصل الضرب الديكارتي هذا، لدينا ستة أزواج مرتبة وهي: سبعة، اثنان؛ وسبعة، صفر؛ وسبعة، خمسة؛ وخمسة، اثنان؛ وخمسة، صفر؛ وخمسة، خمسة.

علينا الآن إيجاد اتحاد هاتين المجموعتين. سيشمل ذلك جميع الأزواج المرتبة الموجودة إما في حاصل الضرب الديكارتي لـ ﺱ وﺹ وإما في حاصل الضرب الديكارتي لـ ﺹ وﻉ. لم يتكرر أي من الأزواج المرتبة. وبالتالي، علينا كتابة جميع الأزواج المرتبة الثمانية. إذن الإجابة الصحيحة هي ثمانية الأزواج المرتبة: واحد، سبعة؛ وواحد، خمسة؛ وسبعة، اثنين؛ وسبعة، صفر؛ وسبعة، خمسة؛ وخمسة، اثنين؛ وخمسة، صفر؛ وخمسة، خمسة.

سنلخص الآن النقاط الأساسية في هذا الفيديو. لقد تعلمنا في هذا الفيديو أن حاصل الضرب الديكارتي ﺃ في ﺏ للمجموعتين ﺃ وﺏ هو مجموعة جميع الأزواج المرتبة ﺱ، ﺹ، حيث ﺱ ينتمي إلى ﺃ وﺹ ينتمي إلى ﺏ. كما تذكرنا أن تقاطع المجموعتين ﺃ وﺏ يكتب على صورة ﺃ حرف ‪U‬‏ مقلوب ﺏ. والتقاطع هو جميع العناصر الموجودة في المجموعة ﺃ والمجموعة ﺏ. وفي شكل فن، يتمثل هذا التقاطع في التداخل بين الدائرتين. أما اتحاد المجموعتين ﺃ وﺏ، فيكتب على صورة ﺃ ‪U‬‏ ﺏ. وهو مجموعة العناصر التي تظهر في المجموعة ﺃ أو المجموعة ﺏ. ونكتب العناصر التي تظهر في التقاطع مرة واحدة فقط عند كتابة الاتحاد. لقد عرفنا أيضًا أنه في بعض الأسئلة، قد يكون شكل فن مفيدًا في حل هذا النوع من المسائل.