في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُجري الضرب الديكارتي، ونستخدم العمليات المطبَّقة على المجموعات.
تذكَّر أن المجموعة عبارة عن مجموعة من الأعداد مثل . نُشير إلى المجموعات باستخدام الأقواس، وتكون الأعداد بينها هي العناصر، التي يُمكن ترتيبها بأيِّ ترتيب. تذكَّر أنه يُمكننا أيضًا إجراء عمليات على مجموعات متعدِّدة، مثل إيجاد الاتحاد أو التقاطع أو الفرق بينها. إذا افترضنا أن ، فسيصبح لدينا:
الرمز يُشير إلى الاتحاد، وهو مجموع كلِّ العناصر التي تنتمي لأيٍّ من المجموعتين، وهي في هذه الحالة ١، ٢، ٣، ٤ (العدد ٢ مكرَّر؛ فليس من الضروري أن نضعه مرتين). الرمز هو رمزالتقاطع، ويعني مجموعة العناصر المُشترَكة بين كلتا المجموعتين، وتشمل العنصر ٢ فقط؛ لأنه العنصر الوحيد في كلتا المجموعتين. وأخيرًا الرمز يُشير إلى طرح مجموعة من الأخرى، وهو ما يعني حذْف أيِّ عناصر من المجموعة الأولى موجودة في المجموعة الثانية. هذا يعني أخْذ العنصر ٢ من ، وترك العنصر ١ فقط.
دعونا الآن نتناول عملية رابعة، وهي الضرب الديكارتي، التي سنعرِّفها على النحو الآتي.
تعريف: الضرب الديكارتي
حاصل الضرب الديكارتي للمجموعتين ، هو مجموعة كلِّ الأزواج المُرتَّبة ؛ حيث ، .
لتوضيح هذه الطريقة، دعونا نأخذ الضرب الديكارتي للمجموعتين ، . لإيجاد زوج مُرتَّب باستخدام هاتين المجموعتين، نأخذ عنصرًا واحدًا من ، وعنصرًا واحدًا من ، ونضعهما في زوج بين قوسين. بأخذ العنصر الأول من كلِّ مجموعة، يصبح لدينا . نريد أخذ كلِّ تركيب مُمكِن للأزواج بين المجموعتين، وهو ما سنوضِّحه في المخطط السهمي الآتي.
وبذلك يكون حاصل الضرب الديكارتي هو:
لاحِظ أن هذا يُعطينا ٦ عناصر مختلفة، وهو ما يعني أن حجم المجموعة يساوي ٦. تجدر الإشارة إلى أنه يُمكننا أيضًا أخذ حاصل الضرب المقابل، :
من المُهِمِّ إدراك أن المجموعتين ، غير متساويتين؛ وذلك لأن ترتيب الأزواج مُهِمٌّ. على سبيل المثال، . في هذه الحالة، الزوج الوحيد المُشترَك بين المجموعتين هو . بشكل عامٍّ، نلاحِظ أن ، وهو ما يعني أن حواصل الضرب الديكارتية غير إبدالية.
من المُمكِن أيضًا ضرب مجموعة في نفسها، وهو ما نُشير إليه بـ . في هذه الحالة، سنحصل على:
نلاحِظ أن أحد استثنائين يكون فيهما الضرب الديكارتي إبداليًّا (بمعنى آخَر: )، فبما أن ، فمن الواضح أن الترتيب لا يُهِمُّ. الحالة الأخرى عندما يكون أو هو المجموعة الخالية (المجموعة التي لا يُوجَد فيها أعداد)، ويُشار إليها بالرمز ؛ لأن ، . وبهذا المعنى، فإن ذلك يُعتبَر في الأساس مثل الضرب في صفر.
بالنظر إلى حجم المجموعة ، في الحالة السابقة، وبشكل عامٍّ، يُمكننا ملاحَظة أن:
بعبارة أخرى: عدد العناصر في يساوي (عدد العناصر في ) (عدد العناصر في)؛ لأن هذا هو العدد الكلي للأزواج المُرتَّبة التي يُمكننا تكوينها بين المجموعتين. لاحِظ أنه إذا ما عكسنا الترتيب، فسنحصل على:
إذن يُمكننا ملاحَظة أن ، وهو ما يعني أن ، دائمًا ما يكون بهما نفس العدد من العناصر.
لكي نتدرَّب على أخذ حاصل الضرب الديكارتي لمجموعتين، دعونا نتناول مثالًا مشابهًا للمثال المذكور سابقًا؛ حيث يكون لدينا معادلة حاصل الضرب الديكارتي على هيئة مخطط سهمي.
مثال ١: إيجاد حاصل الضرب الديكارتي باستخدام المخططات السهمية
استخدم المخطط السهمي الآتي لإيجاد .
الحل
تذكَّر أن حاصل الضرب الديكارتي للمجموعتين ، هو مجموعة كلِّ الأزواج المُرتَّبة ؛ حيث ، .
لتكوين هذه الأزواج، نأخذ كلَّ عنصر ينتمي إلى ، ونتَّبِع الأسهم الموصَّلة منها بكلِّ عنصر في ، ونكوِّن زوجًا مقابلًا لكلِّ سهم على الصورة .
مبدئيًّا، نلاحِظ أن ٤ موصَّل عبر الأسهم البرتقالية بكلٍّ من ٩، ٣، ٨، وهو ما يَنتُج عنه الأزواج المُرتَّبة:
بعد ذلك، نلاحظ أن ٠ موصَّل عبر الأسهم الزرقاء بكلٍّ من ٩، ٣، ٨. وهذا يُعطينا الأزواج المُرتَّبة:
وبتجميع هذه العناصر في مجموعة واحدة، سيصبح لدينا:
وكما رأينا الآن، فإن استخدام مخطط سهمي لإيجاد حاصل الضرب الديكارتي عملية مباشرة إلى حدٍّ كبير. لكنْ في بعض الحالات، يكون علينا إيجاد حاصل الضرب الديكارتي لمجموعات مُعطاة بترميز المجموعات. وقد نحتاج أيضًا إلى جمع حاصل الضرب الديكارتي مع عمليات أخرى على المجموعات. سيُساعدنا المثال الآتي في اختبار هذه المهارات.
مثال ٢: إيجاد حاصل الضرب الديكارتي لمجموعة في تقاطع مجموعات
إذا كانت ، ، ، فأوجد .
الحل
لدينا هنا سؤال يتضمَّن ثلاث مجموعات مختلفة. بالنظر إلى ، نلاحِظ أنه بما أن تُوجَد بين قوسين، وبسبب ترتيب العمليات، يجب علينا حسابها أولًا. بعد ذلك، يُمكننا أخذ حاصل الضرب الديكارتي للناتِج لإيجاد الحلِّ.
هي تقاطع ، . وتقاطع هاتين المجموعتين هو مجموعة العناصر الموجودة في كلٍّ من و. وبما أن ٧ يُوجَد في كلتا المجموعتين، لكن ٦ ليست كذلك، فسيصبح لدينا:
بعبارة أخرى: .
علينا الآن حساب ، أو . وبما أن هذا هو حاصل الضرب الديكارتي، فهذا يعني أننا سنكوِّن مجموعة تحتوي على كلِّ زوج مُرتَّب من المجموعتين. ويَنتُج عن ذلك مجموعة تحتوي على ثلاثة أزواج كما يأتي:
ومن ثَمَّ، يُصبح لدينا الحلُّ: .
في بعض الأحيان تكون لدينا مجموعات مُعطاة بترميز المجموعات، لكن في أحيان أخرى يكون علينا إيجاد هذه المجموعات باستخدام المخططات. فلنتناول مثالًا يَستخدِم أشكال فن لتمثيل المجموعات.
مثال ٣: إيجاد حاصل الضرب الديكارتي للفرق بين مجموعتين واتحادهما بمعلومية شكل فن
أوجد ، باستخدام شكل فن الموضَّح.
الحل
عندما نُواجِه سؤالًا يتضمَّن شكلًا، فإن أفضل ما نفعله هو أن نبدأ بكتابة مجموعاته. يُمكننا ملاحَظة أن:
الآن، ولإيجاد ، علينا أولًا إيجاد ، .
هي مجموعة العناصر في بعد حذف أيِّ عنصر موجود أيضًا في . وهذا يُعطينا:
حصلنا على بطرح ٧ من ؛ لأنه العنصر الوحيد الموجود في كلتا المجموعتين. يُمكننا ملاحَظة أن هذا يُناظِر المنطقة الزرقاء الفاتِحة من ، التي لا تتقاطع مع في الشكل.
بعد ذلك، علينا إيجاد ، وهي مجموعة النقاط التي تُوجَد في أو في . وهذه هي: حيث جمعنا ببساطة المجموعتين معًا. أخيرًا، علينا حساب ؛ أيْ . وبما أن هذا هو حاصل الضرب الديكارتي، فعلينا تكوين مجموعة تحتوي على جميع الأزواج المُرتَّبة المحتملة بين المجموعتين. وهذا يُعطينا:
إذن حلُّ .
لقد رأينا الآن كيفية تكوين حاصل الضرب الديكارتي بين مجموعات بطُرق مختلفة. وفي بعض الأسئلة نُعطَى معكوس المسألة؛ فبمعلومية حاصل الضرب الديكارتي، هل يُمكننا إعادة تكوين المجموعات الأصلية؟ مثلما نرى في المثال الآتي، يُعتبَر ذلك أمرًا مباشرًا إلى حدٍّ ما؛ وذلك نظرًا لطبيعة الضرب الديكارتي.
مثال ٤: إيجاد مجموعة بمعلومية حاصل ضربها الديكارتي مع مجموعة أخرى
إذا كان ، فأوجد .
الحل
نتذكَّر أنه بالنسبة إلى حاصل الضرب الديكارتي ، فإن عناصره تكون على الصورة ؛ حيث ، . نلاحِظ أن عناصر فقط ستكون في المركِّبة الأولى، وأن عناصر فقط ستكون في المركِّبة الثانية. لنتناول المركِّبات الأولى لكلِّ عنصر في ؛ لأن هذه العناصر تُناظِر . هذا يُعطينا:
الآن أصبحنا نعرف أن تحتوي على كلِّ التركيبات المحتملة للأزواج المُرتَّبة بين عناصر ، . هذا يعني أن مجموعة الأعداد السابقة يجب أن تحتوي على كلِّ عنصر في في أحد تركيباتها. بحذف الأعداد المتكرِّرة، سنحصل على المجموعة كاملة:
بعد أن توصَّلنا إلى الحلِّ، يُمكننا التوقُّف هنا، لكنْ دعونا نتحقَّق من صحة الحلِّ عن طريق إيجاد أيضًا، وحساب حاصل ضربهما الديكارتي. بالنظر إلى المركِّبات الثانية لكلِّ عنصر في بنفس الطريقة السابقة سنحصل على:
بعد ذلك، بحساب ، سنحصل على:
وهذه بالفعل هي نفس المجموعة المُعطاة لنا في الأصل. ومن ثَمَّ، يُمكننا استنتاج أن .
هيَّا نُواصِل تطوير فهْمنا لكيفية عمل الضرب الديكارتي بالنظر إلى مثال آخَر، وهنا علينا التفكير مليًّا في كيفية تداخُل المجموعتين.
مثال ٥: تحديد أيِّ حاصل ضرب ديكارتي لمجموعتين مُعطاتين سيتضمَّن عنصرًا مُعطًى
إذا كان ، ، فأيُّ العلاقات الآتية سيكون عنصرًا فيها؟
الحل
إحدى الطُّرق المُمكِنة لحلِّ هذا السؤال هي حساب كلِّ خيار من الخيارات الأربعة، ومعرفة أيِّ مجموعة من المجموعات ينتمي إليها .
هيَّا نبدأ بـ . تذكَّر أن ، وهي مجموعة كلِّ الأزواج المُرتَّبة لـ في نفسها. بما أن ، إذن ، وهذا يعطينا:
يُمكننا ملاحَظة أن ليس عنصرًا في هذه المجموعة. لنتابع ونحسب . بما أن ، فعلينا أخذ كلِّ زوج مُرتَّب بين المجموعتين، ومجموعها الإجمالي . هذ يُعطينا:
وهنا نجد أن هو العنصر السادس في القائمة؛ لذا في هذه المرحلة يُمكننا استنتاج أن الإجابة هي ب. ومع ذلك، ولإكمال الحلِّ، دعونا نُواصِل حساب المجموعات الأخرى. بالنسبة إلى ، علينا إيجاد ، التي هي في الواقع عناصر ، لكن مع تبديل ترتيب الأزواج. لدينا على وجه التحديد:
لاحِظ أن هذا يُعطينا ، الذي يُعتبَر تقريبًا. لكن بما أن ترتيب الزوجين مُهِمٌّ، فهما غير متساويين. وأخيرًا: لدينا . وبما أن هذه المجموعة تحتوي على ١٦ عنصرًا، فسيكون من الأسهل تمثيلها في جدول:
| ٨ | ||||
|---|---|---|---|---|
| ٨ | ||||
هنا هي مجموعة كلِّ العناصر في الجدول. وكما هو متوقَّع، فإننا لا نرى بين العناصر.
وعليه، ومثلما وجدنا سابقًا، فالحلُّ هو ب: .
تعليقات إضافية: مع أننا حسبنا كلَّ المجموعات لإكمال الحلِّ، فمِن المُهِمِّ ملاحَظة أنه كان بإمكاننا إيجاد حلِّ هذه المسألة بصورة أبسط بكثير إذا استخدمنا معرفتنا بالمواضع التي تأخذها عناصر ، في كلِّ زوج. بالنظر إلى ، سنلاحِظ أن ليست سوى عنصر في ، و ليست سوى عنصر في . وحاصل الضرب الديكارتي الوحيد الذي يَضَع العنصر في الموضع الأول، والعنصر في الموضع الثاني هو .
عرفنا الآن كيفية حساب حاصل الضرب الديكارتي في مجموعة متنوِّعة من الأمثلة، لكن ربما أهمُّ تطبيق على حاصل الضرب الديكارتي هو الإحداثيات الديكارتية. الإحداثيات الديكارتية مصطلح آخَر يُشير إلى النظام الإحداثي المُستخدَم في رسم التمثيلات البيانية والنقاط.
وكما نرى في الشكل، فإن الإحداثيات الديكارتية أزواج مُرتَّبة؛ إذ ترتبط المركِّبة الأولى بالمحور ، وترتبط المركِّبة الثانية بالمحور . النقاط الثلاث المرسومة على الشكل هي:
في الواقع، يُمكن تعريف هذا النظام الإحداثي بدلالة حاصل الضرب الديكارتي. إذا كانت ، مجموعة الأعداد الحقيقية، تمثِّل المحور ، وكانت تمثِّل أيضًا المحور ، فإن حاصل ضربهما، سيكون أو ، وهو المستوى الثنائي الأبعاد الذي يُمكننا فيه تمثيل نقاط على الصورة ، ودوال على الصورة . نلاحِظ أن في الواقع مجموعة غير منتهية، وتختلف قليلًا عن المجموعات المنتهية التي تناولناها حتى الآن، ومع ذلك فإن المفهوم لا يزال كما هو.
يوضِّح المثال الآتي بالضبط العلاقة بين المستوى الديكارتي وحاصل الضرب الديكارتي.
مثال ٦: إيجاد حاصل الضرب الديكارتي من مخطط ديكارتي
باستخدام المخطط الديكارتي الآتي، أوجد العلاقة .
الحل
من المُهِمِّ أن نُدرك بالضبط ما يطلبه منَّا السؤال هنا. مطلوب منَّا إيجاد مجموعة ، عند رسم عناصرها على المستوى الديكارتي، يَنتُج عن ذلك النقاط الموضَّحة. للقيام بذلك، علينا إيجاد النقاط، وكيفية تمثيلها في صورة حاصل ضرب ديكارتي.
ولإيجاد قِيَم النقاط التي على المستوى، علينا فقط إيجاد قِيَم ، ، وذلك بالنظر إلى كيفية محاذاة قِيَمهما مع المحور ، والمحور .
- بالنسبة إلى القيمة التي في أسفل اليسار، لدينا القيمة ١ لـ ، والقيمة ١ لـ ، وهو ما يُعطينا النقطة .
- وبالنسبة إلى القيمة التي في أعلى اليسار، لدينا ، ، وهو ما يُعطينا النقطة .
- وبالنسبة إلى القيمة التي في أسفل اليمين، لدينا ، ، وهو ما يُعطينا النقطة .
- أخيرًا، وبالنسبة إلى القيمة التي في أعلى اليمين، لدينا ، ، وهو ما يُعطينا النقطة .
علينا الآن تمثيل هذه النقاط على أنها مجموعة . أولًا: دعونا نلاحِظ أن المجموعتين ، في حاصل الضرب هذا تمثِّلان المحور والمحور ، على الترتيب. من ثَمَّ، إذا ما أردنا التعبير عن ، على حدة، فسيصبح لدينا:
وحاصل ضربهما عبارة عن مجموعة من هذه النقاط في صورة أزواج مُرتَّبة. ومن ثَمَّ، فالإجابة هي:
دعونا نختم الشارح بتلخيص الخواص الرئيسية لحاصل الضرب الديكارتي التي تعلَّمناها.
النقاط الرئيسية
- حاصل الضرب الديكارتي للمجموعتين ، هو مجموعة كلِّ الأزواج المُرتَّبة ؛ حيث ، .
- تُعتبَر عملية حاصل الضرب الديكارتي عملية غير إبدالية (إذن في معظم الحالات).
- يُمكننا تجميع حاصل الضرب الديكارتي مع عمليات المجموعات الأخرى مثل ، . من المُهِمِّ اعتبار ترتيب العمليات الحسابية.
- يُمكن تمثيل حاصل الضرب الديكارتي باستخدام المخططات السهمية والمستويات الديكارتية. يُعتبَر المستوى صورة لحاصل الضرب الديكارتي.
