نسخة الفيديو النصية
يوضح الشكل متوازي مستطيلات مساحة شبكته ٥٨٠. أوجد قيمة ﺱ.
في هذا السؤال، لدينا منشور مستطيلي أو متوازي مستطيلات ومعطى لنا مساحة شبكته. حسنًا، دعونا نبدأ بتناول الشبكة. متوازي المستطيلات له ستة أوجه، كل وجهين متقابلين منها متطابقان. الوجهان الأمامي والخلفي يأخذان شكلي مستطيلين بعداهما ﺱ وحدة وثلاث وحدات. وكل من الوجهين على الجانبين يأخذ شكل مستطيل أيضًا، لكن بعديه هذه المرة اثنان ﺱ وثلاث وحدات. وأخيرًا، كل من الوجهين العلوي والسفلي لمتوازي المستطيلات يأخذ أيضًا شكل مستطيل بعداه ﺱ واثنان ﺱ وحدة.
يمكننا رسم شبكة متوازي المستطيلات، وهي تبدو تقريبًا بهذا الشكل. علمنا من السؤال أن مساحة الشبكة تساوي ٥٨٠؛ لذا علينا إيجاد تعبير لمساحة الشبكة بدلالة ﺱ. مساحة كل من المستطيلين باللون البرتقالي تساوي ثلاثة مضروبًا في ﺱ. بعبارة أخرى، إنها تساوي ثلاثة ﺱ وحدة مربعة. ومساحة كل من المستطيلين باللون الوردي تساوي ثلاثة مضروبًا في اثنين ﺱ. وهذا يساوي ستة ﺱ وحدة مربعة. وكذلك، مساحة كل من المستطيلين باللون الأخضر تساوي ﺱ مضروبًا في اثنين ﺱ. وهذا يعني أنها تساوي اثنين ﺱ تربيع وحدة مربعة. يمكننا الآن وضع معادلة بجمع كل هذه المساحات ومساواتها بـ ٥٨٠.
هكذا، يصبح لدينا اثنان مضروبًا في اثنين ﺱ تربيع زائد اثنين مضروبًا في ستة ﺱ زائد اثنين مضروبًا في ثلاثة ﺱ يساوي ٥٨٠. والآن، يمكننا تبسيط المعادلة بقسمة كل حد على اثنين. وهذا يعطينا اثنين ﺱ تربيع زائد ستة ﺱ زائد ثلاثة ﺱ يساوي ٢٩٠. لتبسيط هذه المعادلة أكثر، يمكننا جمع الحدين المتشابهين في الطرف الأيمن ليصبح لدينا اثنان ﺱ تربيع زائد تسعة ﺱ يساوي ٢٩٠.
وأخيرًا، نطرح ٢٩٠ من كلا طرفي المعادلة بحيث تكون جميع الحدود مجمعة في الطرف الأيمن. ومن ثم يصبح لدينا اثنان ﺱ تربيع زائد تسعة ﺱ ناقص ٢٩٠ يساوي صفرًا. هذه معادلة تربيعية في المتغير ﺱ. وعلينا حل هذه المعادلة. يمكننا استخدام طرق عدة لفعل ذلك. يمكننا التحقق مما إذا كان يمكن حل المعادلة بالتحليل أو بتطبيق القانون العام أو يمكننا الحل بإكمال المربع.
عندما يكون من الممكن حل معادلة تربيعية بالتحليل، فإن هذه الطريقة تكون عادة هي الطريقة الأمثل. علينا البحث عن عاملين خطيين، كل منهما تعبير بدلالة ﺱ، وحاصل ضربهما هو المقدار التربيعي الأصلي. بما أن معامل ﺱ تربيع في هذه المعادلة هو اثنان، وهو عدد أولي، فهذا يعني أن الحد الأول في مجموعة الأقواس الأولى لا بد أن يكون اثنين ﺱ، والحد الأول في مجموعة الأقواس الثانية لا بد أن يكون ﺱ؛ لأن اثنين ﺱ مضروبًا في ﺱ يعطينا اثنين ﺱ تربيع.
لإكمال الأقواس، علينا البحث عن قيمتين حاصل ضربهما يساوي الحد الثابت في المعادلة؛ أي سالب ٢٩٠. ويمكننا تحديد احتمالات هذه الأعداد بكتابة أزواج العوامل للعدد ٢٩٠، وهي واحد و٢٩٠، واثنان و١٤٥، وخمسة و٥٨، و١٠ و٢٩. لكن، تذكر أن حاصل الضرب الذي نريد الحصول عليه هو سالب ٢٩٠، وهذا يعني أنه لا بد أن يكون للعددين إشارتان مختلفتان؛ إحداهما موجبة، والأخرى سالبة.
بغض النظر عن العاملين اللذين سنستخدمهما، علينا التأكد أنه عند فك الأقواس سيكون معامل ﺱ هو نفس معامل ﺱ في المعادلة الأصلية؛ أي موجب تسعة. يمكننا استخدام التجربة والخطأ لإيجاد هذين العاملين. على سبيل المثال، سنبدأ باختيار العاملين ٥٨ وخمسة. وسنضع موجب ٥٨ في مجموعة الأقواس الأولى، وسالب خمسة في مجموعة الأقواس الثانية. نحن نعلم أنه عند فك الأقواس، سنحصل على اثنين ﺱ تربيع وسالب ٢٩٠. لكن ماذا عن معامل ﺱ؟
عندما نضرب اثنين ﺱ في سالب خمسة، سنجد أن مقدار الإسهام في معامل ﺱ هنا يساوي سالب ١٠. وعندما نضرب ٥٨ في ﺱ، سنجد أن مقدار الإسهام في معامل ﺱ هنا يساوي ٥٨. هذا يعني أن معامل ﺱ يساوي سالب ١٠ زائد ٥٨؛ أي ٤٨. وهذا ليس ما نبحث عنه.
لكن، إذا اخترنا العاملين الأخيرين وجعلنا إشارة العدد ١٠ سالبة ثم وضعناه في مجموعة الأقواس الثانية، فسنحصل مرة أخرى على اثنين ﺱ تربيع وسالب ٢٩٠ عند فك الأقواس. وبالنسبة إلى معامل ﺱ، فسيكون لدينا ٢٩ مضروبًا في واحد واثنين في سالب ١٠. وهذا يساوي ٢٩ ناقص ٢٠؛ أي تسعة. ومن ثم نكون حصلنا على المعامل الصحيح لـ ﺱ. هكذا، صرنا نعلم أن هذا التركيب للعوامل والإشارات هو التحليل الصحيح. ويمكننا بالطبع التأكد من ذلك بإعادة فك الأقواس إذا أردنا.
بعد ذلك، يمكننا التذكر أنه إذا كان لدينا حاصل ضرب يساوي صفرًا، فلا بد أن واحدًا على الأقل من العوامل المنفردة يساوي صفرًا. هذا يعني إما أن اثنين ﺱ زائد ٢٩ يساوي صفرًا، وإما ﺱ ناقص ١٠ يساوي صفرًا. هاتان معادلتان خطيتان في المتغير ﺱ، ويمكننا حل كل منهما. لحل المعادلة الأولى، نطرح ٢٩ من كلا الطرفين، ثم نقسم على اثنين، وهذا يعطينا ﺱ يساوي سالب ٢٩ على اثنين. ويمكننا حل المعادلة الثانية في خطوة واحدة بإضافة ١٠ إلى كلا الطرفين لنحصل على ﺱ يساوي ١٠.
لقد توصلنا إلى حلين لهذه المعادلة التربيعية. لكن، هل كل من هاتين القيمتين ممكن لـ ﺱ في هذا السياق؟ إذا نظرنا مرة أخرى إلى الشكل لدينا، يمكننا الملاحظة أن ﺱ يمثل طول أحد أحرف متوازي المستطيلات. هذا يعني أن قيمة ﺱ لا بد أن تكون قيمة موجبة. لذا، على الرغم من أن سالب ٢٩ على اثنين حل صحيح لهذه المعادلة التربيعية، فهو ليس قيمة ﺱ التي نريدها في سياق هذه المسألة. إذن، بتكوين معادلة تربيعية وحلها عن طريق التحليل، وجدنا أن قيمة ﺱ تساوي ١٠.
