فيديو الدرس: تطبيقات على المعادلات التربيعية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحل المسائل الكلامية من خلال تكوين وحل المعادلات التربيعية. وهي المعادلات التي يمكن كتابتها على الصورة ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ يساوي صفرًا، حيث ﺃ، وﺏ، وﺟ ثوابت، أي قيم، وتكون عادة أعدادًا. كما يجب ألا تكون قيمة ﺃ صفرًا، لأنه بهذا لن يكون الحد ﺱ تربيع موجودًا. وعليه، ستصبح المعادلة خطية وليست تربيعية. ولكن لا بأس إطلاقًا من أن يكون ﺏ أو ﺟ صفرًا.

لابد من أنك بالفعل على دراية بكيفية حل المعادلات التربيعية بإخراج العامل المشترك. وربما تكون على دراية أيضًا بالطريقتين الأخريين لحل المعادلات التربيعية، باستخدام القانون العام وعملية إكمال المربع. ولكن لا تقلق إذا لم تكن صادفت هاتين الطريقتين بعد؛ لأننا لن نحتاج إليهما في الأمثلة التي نتناولها في هذا الدرس. سيركز هذا الفيديو بشكل أساسي على تكوين المعادلات التربيعية من وصف كلامي أو رسم توضيحي. ولكننا أيضًا سنحل كلًّا من هذه المعادلات. وسنراجع طريقة حل المعادلة التربيعية بإخراج العامل المشترك وبالتحليل بمزيد من التفصيل في سياق الأمثلة.

عددان حقيقيان موجبان مجموع مربعيهما ٥٤٢. إذا كان أحدهما يساوي ١٨، فأوجد العدد الآخر.

في هذا السؤال، لن نتبع طريقة التجربة والخطأ. بل سنجيب عن هذا السؤال من خلال تكوين معادلة. هيا نلقي نظرة على المعطيات لدينا في السؤال. نعلم من المعطيات أن مجموع مربعي عددين حقيقيين موجبين هو٥٤٢. علينا إذن استخدام الرموز للتعبير عن هذين العددين. لذا، في هذه الحالة، سنرمز إلى أحد العددين بـ ﺱ والآخر بـ ﺹ. إذا كان مجموع مربعيهما يساوي ٥٤٢، يمكننا إذن التعبير عن ذلك بمعادلة، ﺱ تربيع زائد ﺹ تربيع يساوي ٥٤٢. ولكن إذا تابعنا القراءة في السؤال قليلًا، فسنلاحظ أنه يخبرنا أن أحد العددين يساوي ١٨. لذا، ليس علينا في الواقع استخدام رمزين. بل يمكننا استخدام رمز واحد، ﺱ، لتمثيل العدد المجهول، والعدد الثاني هو١٨. وبذلك يصبح لدينا المعادلة ﺱ تربيع زائد ١٨ تربيع يساوي ٥٤٢.

كل ما فعلناه حتى الآن هو تكوين معادلة. وهي معادلة تربيعية، لأن أكبر قوة للمتغير لدينا، أي ﺱ، هي اثنان. هيا نرى الآن كيف نحل هذه المعادلة. أولًا، في الطرف الأيمن، يمكننا إيجاد قيمة ١٨ تربيع، وهي تساوي ٣٢٤. ولكننا نريد عزل ﺱ بمفرده في الطرف الأيمن. الخطوة التالية إذن هي طرح ٣٢٤ من كلا الطرفين. وبذلك، لا يتبقى لدينا في الطرف الأيمن سوى ﺱ تربيع. وفي الطرف الأيسر، لدينا ٥٤٢ ناقص ٣٢٤ يساوي ٢١٨.

إذن، لدينا ﺱ تربيع يساوي ٢١٨. ولإيجاد قيمة ﺱ، علينا استخدام عكس عملية التربيع، أي حساب الجذر التربيعي. إذن، نأخذ الجذر التربيعي لطرفي المعادلة. الجذر التربيعي لـ ﺱ تربيع يساوي ﺱ. وفي الطرف الأيسر، نأخذ الجذر التربيعي للعدد ٢١٨. عند حل معادلة بحساب الجذر التربيعي، من الضروري أن نتذكر أخذ موجب أو سالب الجذر التربيعي. عندئذ نجد أن ﺱ يساوي موجب أو سالب الجذر التربيعي للعدد ٢١٨.

وهو بالتأكيد الحل الصحيح للمعادلة التربيعية التي كوناها. لكن، إذا نظرنا إلى السؤال مرة أخرى، فسنجد أنه يخبرنا أن العددين كليهما عددان حقيقيان موجبان. ومعنى هذا أنه وفقًا لمعطيات السؤال، يجب أن تكون قيمة ﺱ موجبة فقط. أي إن سالب الجذر التربيعي لـ ٢١٨ حل صحيح للمعادلة التربيعية، ولكنه ليس حلًّا صحيحًا لهذه المسألة. إذن، الحل الوحيد لدينا هو ﺱ يساوي الجذر التربيعي لـ ٢١٨. ولا يمكن تبسيط هذا الجذر الأصم أكثر من ذلك، لأن ٢١٨ ليس له أي عوامل مربعة غير العدد واحد. من المنطقي بالطبع إعطاء إجابة دقيقة، لذا سنترك الحل بدلالة الجذر التربيعي بدلًا من كتابة عدد عشري مقرب. إذن، الإجابة هي أن العدد الثاني هو الجذر التربيعي لـ ٢١٨.

ويمكننا التأكد من صحة الإجابة بالتعويض بقيمة ﺱ في المعادلة أو معطيات السؤال والتأكد من أن مجموع مربعي العددين يساوي بالفعل ٥٤٢.

في هذه المسألة، تمكنا من حل المعادلة التربيعية التي كوناها بإعادة الترتيب ثم حساب الجذر التربيعي. في المسألة التالية، سنتناول مثالًا يتعين علينا فيه حل معادلة تربيعية باستخدام طريقة إخراج العامل المشترك أو التحليل التي ربما تعرفها.

ما محيط المستطيل الذي يزيد طوله عن عرضه بمقدار سبعة سنتيمترات ومساحته ٧٨ سنتيمترًا مربعًا؟

في مسألة كهذه، من الجيد دائمًا رسم الشكل ليساعدنا على تصور الموقف. لدينا مستطيل، سيبدو بهذا الشكل تقريبًا. لا نعرف عرض المستطيل، لذا يمكننا استخدام الرمز ﺽ للتعبير عن هذه القيمة المجهولة. ونعرف من المعطيات أن طول المستطيل يزيد عن عرضه بمقدار سبعة سنتيمترات، ويعني هذا أنه يمكننا التعبير عن الطول بدلالة العرض. إذا كان العرض ﺽ، فسيكون الطول ﺽ زائد سبعة. وبهذا يكون لدينا تعبيران لطول المستطيل وعرضه بدلالة الرمز نفسه، ﺽ. نعرف أيضًا من المعطيات أن مساحة هذا المستطيل ٧٨ سنتيمترًا مربعًا، ومطلوب منا إيجاد محيطه.

لنفعل هذا، سنحتاج إلى معرفة قيمة ﺽ. إذن يمكننا استخدام المعلومات المعطاة لنا لتكوين معادلة. نوجد مساحة المستطيل بضرب طوله في عرضه. إذن، باستخدام التعبيرين اللذين لدينا لهاتين القيمتين، يصبح لدينا ﺽ مضروبًا في ﺽ زائد سبعة أو ﺽ زائد سبعة مضروبًا في ﺽ. ولكن كما نعلم، المساحة تساوي ٧٨ سنتيمترًا مربعًا. لذا، يمكننا كتابة ذلك على صورة معادلة. يصبح لدينا ﺽ مضروبًا في ﺽ زائد سبعة يساوي ٧٨.

الخطوة التالية هي إعادة ترتيب هذه المعادلة قليلًا، وهو ما سنفعله بفك أو توزيع الأقواس مثلما تسمى هذه الخطوة. ‏ﺽ مضروبًا في ﺽ يعطينا ﺽ تربيع، وﺽ مضروبًا في سبعة يعطينا سبعة ﺽ. وبذلك يصبح لدينا ﺽ تربيع زائد سبعة ﺽ يساوي ٧٨. الخطوة التالية هي طرح ٧٨ من كلا طرفي المعادلة، لأننا نريد تجميع الحدود كلها معًا في الطرف نفسه. وبذلك، نحصل على ﺽ تربيع زائد سبعة ﺽ ناقص ٧٨ يساوي صفرًا. والآن، نلاحظ أن لدينا معادلة تربيعية بدلالة ﺽ في أبسط صورة. وعلينا حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺽ. هيا نرى ما إذا كان يمكن تحليل هذه المعادلة.

نظرًا لأن معامل ﺽ تربيع، أي العدد الموجود أمام ﺽ تربيع، هو واحد، فإن الحد الأول لكل من العاملين سيكون ﺽ فقط. ولإكمال العاملين، سنبحث عن عددين مجموعهما يساوي معامل ﺽ، أي موجب سبعة، وحاصل ضربهما يساوي الحد الثابت، أي سالب ٧٨. لإيجاد هذين العددين، يمكننا أن نبدأ بسرد كل أزواج عوامل العدد ٧٨. وهي واحد و٧٨، واثنان و٣٩، وثلاثة و٢٦، وستة و١٣. يجب أن يكون حاصل ضرب العددين سالب ٧٨، أي إنه يجب أن يكون أحد العددين سالبًا والآخر موجبًا. ونلاحظ أنه إذا استخدمنا زوج العوامل الأخير واخترنا أن يكون العدد ستة سالبًا والعدد ١٣ موجبًا. عندئذ يصبح لدينا سالب ستة زائد ١٣ أو ١٣ ناقص ستة، وهو ما يساوي سبعة بالفعل. إذن، مجموع زوج العوامل هذا سيعطينا القيمة الصحيحة.

وبهذا يمكننا إكمال مجموعتي الأقواس بإضافة القيمة سالب ستة إلى المجموعة الأولى وموجب ١٣ إلى المجموعة الثانية. وبهذا يصبح لدينا الصورة التحليلية للمعادلة التربيعية. ويمكنك التأكد من صحة هذه الصورة بالفعل بإعادة توزيع الأقواس أو إعادة فكها. الخطوة التالية في هذه الطريقة هي تذكر أنه إذا كان حاصل ضرب عاملين يساوي صفرًا، فإن أحد هذين العاملين على الأقل يجب أن يكون صفرًا. لذا، سنأخذ كل عامل بدوره ونساويه بصفر، ليعطينا ﺽ ناقص ستة يساوي صفرًا أو ﺽ زائد ١٣ يساوي صفرًا. وبعدها يمكننا حل المعادلتين الخطيتين الناتجتين.

لحل المعادلة الأولى، نضيف ستة إلى كلا الطرفين فنحصل على ﺽ يساوي ستة. ولحل الثانية، نطرح ١٣ من كلا الطرفين فنحصل على ﺽ يساوي سالب ١٣. وبهذا نحصل على حلين للمعادلة التربيعية. ‏ﺽ يساوي ستة وﺽ يساوي سالب ١٣. لكن، على الرغم من أن الحلين صحيحان للمعادلة التربيعية، فإن أحدهما فقط هو الصحيح في سياق هذه المسألة. إذا نظرنا إلى المستطيل مرة أخرى، يمكننا ملاحظة أن ﺽ يمثل عرضه. والعرض لا بد أن يكون قيمة موجبة فقط. لذلك، ﺽ لا يمكن أن تساوي سالب ١٣ في هذه المسألة. لهذا سنستبعد هذه القيمة. وجدنا إذن أن قيمة ﺽ، التي تمثل عرض المستطيل، تساوي ستة.

في النهاية، نتذكر أن السؤال لم يطلب منا إيجاد عرض المستطيل، بل طلب إيجاد محيطه. نعلم الآن أن العرض يساوي ستة سنتيمترات والطول يساوي ستة زائد سبعة، أي ١٣ سنتيمترًا. والمحيط هو المسافة المحيطة بحدود هذا المستطيل. وعليه، يمكننا جمع كل أطوال الأضلاع الأربعة، أي ١٣ زائد ستة زائد ١٣ زائد ستة. أو يمكننا استخدام الصيغة التي تنص على أن المحيط يساوي ضعف مجموع الطول والعرض. إذن يمكننا ضرب اثنين في، ستة زائد ١٣. في كلا الحالتين، سنحصل على القيمة نفسها بالطبع، وهي ٣٨. كانت مساحة هذا المستطيل معطاة بالسنتيمترات المربعة، لذا، فإن وحدة محيطه ستكون السنتيمترات. وبهذا نكون قد وجدنا أن محيط المستطيل يساوي ٣٨ سنتيمترًا.

للتحقق من صحة الإجابة، يمكننا ضرب الطول في العرض اللذين حسبنا قيمتيهما والتأكد من أن المساحة تساوي بالفعل ٧٨ سنتيمترًا مربعًا.

في هذا المثال، كان المعامل الرئيسي للمعادلة التربيعية المطلوب تحليلها، أي معامل ﺽ تربيع، يساوي واحدًا. في المثال الأخير، سنذكر أنفسنا بكيفية حل المعادلات التربيعية بالتحليل إذا كان المعامل الرئيسي لا يساوي واحدًا.

أوجد العدد الموجب الذي يقل بمقدار ٦٦ عن ضعف مربعه.

للإجابة عن هذا السؤال، سيكون علينا استخدام بعض العمليات الحسابية الجبرية، كما سيتعين علينا تكوين معادلة. لذا دعونا نستخدم رمزًا ليمثل هذا العدد الموجب. يمكننا أن نشير إليه بأي رمز، وليكن ﺱ. نعرف من المعطيات أن ﺱ يقل عن ضعف مربعه بمقدار ٦٦. يمكن كتابة مربع ﺱ على صورة ﺱ تربيع. ضعف المربع يعني أننا نضربه في اثنين، ليعطينا اثنين ﺱ تربيع. ونريده بعد ذلك أن يكون أقل بمقدار ٦٦ من هذه القيمة. لدينا إذن التعبير اثنان ﺱ تربيع ناقص ٦٦. لكن، تذكر أن هذا التعبير يساوي العدد نفسه. وبهذا يصبح لدينا معادلة هي اثنان ﺱ تربيع ناقص ٦٦ يساوي ﺱ. أي إننا كتبنا هذه المسألة على صورة معادلة تربيعية. وعلينا الآن حلها لإيجاد قيمة ﺱ.

نريد تجميع كل الحدود في الطرف نفسه من المعادلة. يمكننا فعل ذلك بطرح ﺱ من كلا الطرفين، وبذلك نحصل على اثنين ﺱ تربيع ناقص ﺱ ناقص ٦٦ يساوي صفرًا، وهي معادلة تربيعية في أبسط صورة لها. والآن، نريد حل هذه المعادلة التربيعية بالتحليل. لكن لاحظ أن معامل ﺱ تربيع، أي المعامل الرئيسي، لا يساوي واحدًا. لذا، سنستخدم طريقة التحليل بالتجميع. نبحث عن عددين ناتج جمعهما يساوي معامل ﺱ، أي سالب واحد، وحاصل ضربهما يساوي حاصل ضرب معامل ﺱ تربيع والحد الثابت. وهو ما يساوي اثنين مضروبًا في سالب ٦٦ أي سالب ١٣٢.

كلما كنت على دراية أكبر بجداول الضرب، ستتمكن من تحديد العددين على نحو أسرع. العددان هما سالب ١٢ وموجب ١١. قد تبدو الخطوة التالية غريبة قليلًا. فما سنفعله هو أخذ الحد سالب ﺱ وإعادة كتابته باستخدام هذين العددين. سنعيد كتابته على صورة سالب ١٢ﺱ زائد ١١ﺱ. وبهذا أصبح لدينا معادلة تربيعية تتضمن أربعة حدود، اثنان ﺱ تربيع ناقص ١٢ﺱ زائد ١١ﺱ ناقص ٦٦ يساوي صفرًا. بعد ذلك، سنقسم هذه المعادلة التربيعية إلى نصفين. وسنحلل كل نصف على حدة.

إذا نظرنا إلى النصف الأول، اثنين ﺱ تربيع ناقص ١٢ﺱ، فسنلاحظ أن هذين الحدين بينهما عامل مشترك وهو اثنان ﺱ. إذا أخرجنا هذا العامل المشترك، فسيتبقى لدينا ﺱ ناقص ستة. وبهذا نكون قد حللنا الجزء الأول إلى اثنين ﺱ مضروبًا في ﺱ ناقص ستة. بالنظر إلى النصف الثاني من المعادلة التربيعية، ١١ﺱ ناقص ٦٦، فسنلاحظ أن هذين الحدين بينهما العامل المشترك ١١. وعند التحليل بإخراج العامل المشترك ١١، يتبقى لدينا داخل الأقواس ﺱ ناقص ستة. وبهذا نكون قد حللنا الجزء الثاني من المعادلة التربيعية إلى ١١ مضروبًا في ﺱ ناقص ستة.

النقطة الأساسية هنا، والتي ستحدث دائمًا عند حل المعادلة التربيعية بالتحليل، هي أن نصفي التعبير أصبح بينهما عامل مشترك وهو ﺱ ناقص ستة. ومن ثم، يمكننا تحليل المعادلة التربيعية بالكامل بإخراج العامل المشترك ﺱ ناقص ستة. لتكوين الحد الأول، علينا الضرب في اثنين ﺱ. ولتكوين الحد الثاني، علينا الضرب في موجب ١١. لذا، يمكن كتابة المعادلة التربيعية على صورة ﺱ ناقص ستة مضروبًا في اثنين ﺱ زائد ١١. وبهذا تصبح المعادلة على الصورة التحليلية. تذكر، دائمًا يوجد عامل مشترك بين نصفي التعبير إذا أمكن تحليل المعادلة التربيعية.

إذا استخدمت هذه الطريقة ولم تجد عاملًا مشتركًا بين النصفين، فإما أنك قد أخطأت وإما أن المعادلة التربيعية التي تتعامل معها لا يمكن تحليلها. وعليك حينئذ استخدام طريقة أخرى لحلها مثل القانون العام لحل المعادلة التربيعية أو إكمال المربع، إذا كنت على دراية بهما. على أي حال، يمكن تحليل هذه المعادلة التربيعية، ولدينا الصورة التحليلية لها. إذن، الخطوة التالية هي مساواة كل عامل من العاملين تباعًا بالصفر.

ويعطينا هذا ﺱ ناقص ستة يساوي صفرًا، أو اثنين ﺱ زائد ١١ يساوي صفرًا. لحل المعادلة الأولى، علينا إضافة ستة إلى كل طرف من الطرفين، لنحصل على ﺱ يساوي ستة. ويمكننا حل المعادلة الثانية في خطوتين. أولًا، نطرح ١١ من كلا الطرفين، وبذلك نحصل على اثنين ﺱ يساوي سالب ١١. بعد ذلك، يمكننا القسمة على اثنين، لنحصل على ﺱ يساوي سالب ١١ على اثنين أو سالب ٥٫٥. نعرف أن كلا الحلين صحيح للمعادلة التربيعية. لكن، إذا عدنا إلى السؤال، فسنجد أنه يخبرنا أن العدد الذي نريد إيجاده لا بد أن يكون موجبًا. ويعني هذا أنه لا يمكن أن يساوي سالب ١١ على اثنين. لذا، يمكننا استبعاد هذه القيمة. إذن، الحل هو ﺱ يساوي ستة. هيا نتحقق من صحة ذلك.

يجب أن يكون هذا العدد أقل من ضعف مربعه بمقدار ٦٦، وبالتالي، سنضرب اثنين في ستة تربيع ناقص ٦٦. وهو ما يساوي اثنين في ٣٦ أي ٧٢ ناقص ٦٦ وهو ما يساوي ستة فعلًا، أي العدد نفسه. وهذا يؤكد أن الحل صحيح. بهذا نكون قد توصلنا إلى حل المسألة. العدد الموجب الذي نريد إيجاده هو ستة.

دعونا الآن نلخص ما تناولناه في هذا الفيديو. أولًا، عرفنا أنه يمكن استخدام المعادلات التربيعية لحل الكثير من الأنواع المختلفة من المسائل. ويتضمن هذا مسائل الأعداد والمسائل التي تتضمن مساحات أشكال ثنائية الأبعاد أو ربما مساحة سطح شكل ثلاثي الأبعاد. إذا كان لدينا وصف كلامي لمسألة واقعية، فإنه من الجيد دائمًا أن نرسم شكلًا بسيطًا إذا لم تتضمن المسألة رسمًا.

قد نحتاج لإدخال رموز أو متغيرات بأنفسنا لتمثيل أي قيم مجهولة في المسألة. بعد ذلك، يتعين علينا كتابة معادلة تربيعية باستخدام المعلومات المعطاة. يجب أن نتأكد من قراءة المسألة بحرص وتحليل المعطيات الموجودة. بعد ذلك، علينا حل المعادلة التربيعية بالتحليل. فيما بعد، ربما يمكننا استخدام طريقة أخرى، مثل القانون العام لحل المعادلة التربيعية أو إكمال المربع. القدرة على تكوين معادلات تربيعية وحلها بثقة هي مهارة مفيدة حقًّا لأنه يمكن استخدامها لتمثيل مجموعة متنوعة للغاية من المسائل.