شارح الدرس: تطبيقات على المعادلات التربيعية الرياضيات

مثال ١: إيجاد محيط مستطيل بمعلومية مساحته والفرق بين بُعديه

ما محيط المستطيل الذي يزيد طوله على عرضه بمقدار ٧ سم، ومساحته ٧٨ سم^٢؟

الحل

في البداية، قد يكون من المفيد أن نرسم شكلًا يمثل الحالة التي يصفها السؤال. نحن نعلم أن الطول يزيد على العرض بمقدار ٧ سم؛ لذا لنرمز للعرض بالرمز ، وهو مقيس بالسنتيمتر، والطول يساوي . هذا يعطينا المستطيل التالي.

نعلم أن مساحة المستطيل تحسب من خلال ضرب الطول في العرض. في هذه الحالة، الطول هو ، والعرض هو . وبما أن المساحة تساوي ٧٨، يمكننا استخدام ذلك لتكوين المعادلة الآتية:

إذا استخدمنا خاصية التوزيع لفك الأقواس، نحصل على:

بطرح ٧٨ من كلا الطرفين، نحصل على:

أصبح لدينا الآن معادلة تربيعية يمكن حلها. يمكننا التحقُّق مما إذا كانت المعادلة قابلة للتحليل، أو يمكن حلُّها بإكمال المربع أو باستخدام القانون العام. إذا أخذنا في الاعتبار أزواج عوامل العدد ٧٨، نحصل على:

نريد عددين حاصل ضربهما يساوي ومجموعهما يساوي ٧؛ باستخدام أزواج العوامل، نلاحظ أن هذين العددين هما و ١٣.

ومن ثَمَّ تُصبح عوامل المعادلة على النحو الآتي:

تُحسب بعد ذلك الحلول لقيمة عن طريق تحديد النقاط التي يساوي عندها كل عامل من العاملين صفرًا. أي ، .

بما أن يُمثل طولًا، ولا يمكن أن يساوي عددًا سالبًا، إذن لا بد أن يكون الحل هو .

وأخيرًا، نريد إيجاد محيط المستطيل، أي مجموع أطوال الأضلاع. نحن نعلم أن العرض يساوي: ٦ سم، والطول يساوي ، إذن محيط المستطيل يساوي:

مثال ٢: تكوين المعادلات التربيعية وحلها

أوجد العدد الموجب الذي يزيد مربعه على ضِعف قيمته بمقدار ١٥.

الحل

أول ما علينا فعله هو تحويل صيغة المسألة إلى معادلة. لنفترض أن هو العدد الذي نحاول إيجاده. أول معلومة لدينا هي أن عدد موجب؛ وهو ما يعني أن . ثانيًا، علمنا أن مربع العدد، ، يزيد على ضعف قيمته، ، بمقدار ١٥. وهذا يعني أن الفرق بين ، يساوي ١٥. بالتالي:

بطرح ١٥ من كلا طرفي المعادلة، نحصل على المعادلة التربيعية التالية على الصورة القياسية:

يمكننا الآن حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة . نلاحظ أن ١٥ هو حاصل ضرب ٣، ٥. علاوة على ذلك، نلاحظ أن . وعليه، يمكننا تحليل المعادلة كما يلي:

إذن، إما ، أو . بحل كل معادلة نحصل على ، . لكن السؤال يطلب منا إيجاد عدد موجب؛ لذا فالحل هو ٥.

مثال ٣: استخدام المعادلات التربيعية في حل المسائل

مثلث قائم أطوال أضلاعه سم، سم، سم. أوجد طول أقصر ضلع.

تلميح: أولًا حدد أي ضلع هو الوتر.

الحل

بما أن هذه مسألة تتضمن أطوالًا في مثلث قائم الزاوية، فمن المفيد أن نرسم المعطيات. للقيام بذلك، علينا أولًا تحديد أي طول هو الوتر. نلاحظ أن طول أحد الأضلاع يساوي سم، إذن يجب أن يكون قيمة موجبة. ونلاحظ أيضًا أن أصغر من الطول الآخر، ، إذن لا بد أن يكون هذا هو الوتر. وهذا يعطينا ما يلي.

أقصر ضلع طوله ؛ لذا علينا إيجاد قيمة . يمكننا فعل ذلك بتطبيق نظرية فيثاغورس على المثلث القائم الزاوية؛ ونحصل على:

بتوزيع الأسس على القوسين نحصل على:

يمكننا بعد ذلك تجميع الحدود المتشابهة وإعادة ترتيبها لتكوين معادلة تربيعية:

يمكننا حل هذه المعادلة بإيجاد عددين حاصل ضربهما ، ومجموعهما . نجد أن هذين العددين هما و١، إذن يصبح لدينا:

لكي يساوي حاصل الضرب صفرًا، يجب أن يساوي أحد العوامل صفرًا. ومن ثَمَّ يصبح لدينا إما ، أو . وبما أن هو طول ضلع، أي يجب أن يكون موجبًا، إذن .

وأخيرًا، الضلع الأقصر في المثلث طوله سم، إذن طول أقصر ضلع يساوي ٧ سم.

مثال ٤: استخدام المعادلات التربيعية في حل المسائل

يوضح الشكل متوازي مستطيلات مساحته الكلية ٥٨٠. أوجد قيمة .

الحل

نلاحظ أولًا أن المساحة الكلية لمتوازي المستطيلات تساوي مساحة سطحه. بعبارة أخرى، مجموع مساحات أوجه متوازي المستطيلات يساوي ٥٨٠ وحدة مربعة. علينا أن نبدأ بإيجاد مقدار يعبر عن هذا المجموع. لفعل ذلك، نلاحظ وجود ستة أوجه، وكل وجهين متقابلين لهما المساحة نفسها. وأخيرًا، نعلم أن كل وجه يأخذ شكل مستطيل أو مربع؛ إذن مساحة كل وجه تساوي الطول في العرض. هذا يتيح لنا إيجاد مساحة كل وجه على النحو الآتي.

طول الوجه الأمامي ، وعرضه يساوي ٣، إذن مساحته . طول الوجه العلوي ، وعرضه ، إذن مساحته . طول الوجهان الجانبيان ، وعرضهما يساوي ٣، إذن مساحتهما .

ونظرًا لوجود اثنين من كل وجه، فإن مساحة السطح تساوي مجموع حاصل ضرب اثنين في كل مقدار، وبالتالي:

نحن نعلم أن هذا يساوي ٥٨٠، وهو ما يعطينا المعادلة:

نطرح ٥٨٠ من كلا الطرفين لنحصل على:

يمكننا محاولة إيجاد الحل عن طريق التحليل؛ ومع ذلك، فإن حاصل ضرب له العديد من أزواج العوامل؛ لذلك من الأسهل أن نطبق القانون العام. نتذكر أن القانون العام ينص على أن حلول المعادلة التربيعية هي:

في هذه المعادلة التربيعية، لدينا ، ، . بالتعويض بهذه القيم والتبسيط، نحصل على:

وبإيجاد قيمة كل جذر على حدة، نحصل على: ، . بما أن يمثل طولًا، لا بد أن يكون موجبًا، إذن: .

مثال ٥: تكوين المعادلات التربيعية وحلها

أوجد العدد الموجب الذي يقل بمقدار ٦٦ عن ضعف مربعه.

الحل

لنرمز للعدد الموجب الذي نحاول إيجاده بالرمز ، ويخبرنا السؤال بأن يقل عن ضعف مربعه بمقدار ٦٦. ضعف مربع هو ، وبما أن أقل من ٦٦، يمكننا إضافة ٦٦ إلى لتكوين مقدار مكافئ، إذن يصبح لدينا:

يمكننا حل هذه المعادلة التربيعية لإيجاد عن طريق إعادة ترتيب المعادلة أولًا لنحصل على:

بعد ذلك، علينا إيجاد عددين حاصل ضربهما ، ومجموعهما . بالتفكير في أزواج عوامل العدد ١٣٢، نجد أن هذين العددين هما و١١. نستخدم هذه المعادلات لإعادة كتابة المعادلة على الصورة:

نأخذ الآن العامل المشترك من الحدين الأولين والعامل المشترك ١١ من الحدين الأخيرين لنحصل على:

وأخيرًا، نأخذ العامل المشترك ؛ ما يُعطينا:

لكي يساوي حاصل ضرب عددين صفرًا، يجب أن يساوي أحد العوامل صفرًا. وبالتالي، إما ، أو . بحل كل معادلة، نحصل على ، أو . بما أنه معلوم لدينا أن قيمة موجبة، إذن: .

وبالتالي، فإن العدد الموجب الذي يقل بمقدار ٦٦ عن ضعف مربعه هو العدد ٦.

مثال ٦: استخدام المعادلات التربيعية في حل المسائل

يوضِّح الشكل شبه منحرف ومستطيلًا.

1. اكتب مقدارًا يعبِّر عن مساحة المستطيل.
2. اكتب مقدارًا يعبِّر عن مساحة شبه المنحرف.
3. إذا كان لشبه المنحرف والمستطيل المساحة نفسها، فأوجد قيمة باستخدام معادلة ملائمة.

الحل

الجزء الأول

نتذكر أن مساحة المستطيل تساوي العرض في الطول. في الشكل، طول المستطيل ، وعرضه . ومن ثَمَّ فإن مساحته تساوي حاصل ضرب المقدارين:

الجزء الثاني

نتذكر أن مساحة شبه المنحرف تساوي نصف مجموع طولي الضلعين المتوازيين (أو ضلعي القاعدة) مضروبًا في الارتفاع العمودي. نلاحظ في الصورة أن طولي الضلعين المتوازيين هما ، ، إذن، مجموعهما يساوي . يمكننا أيضًا ملاحظة أن الارتفاع العمودي هو . إذن، مساحة شبه المنحرف تساوي نصف حاصل ضرب هذين المقدارين، وهو ما يُعطينا:

الجزء الثالث

إذا كانت مساحتي شبه المنحرف والمستطيل متساويتان، إذن لا بد أن يكون المقداران اللذان يعبران عن مساحتيهما متساويين؛ بمساواة هذين المقدارين، نحصل على:

بتوزيع الأقواس التي في الطرف الأيمن من المعادلة:

بتوزيع الأقواس التي في الطرف الأيسر من المعادلة:

نساوي مفكوك كل مقدار للمساحتين لنحصل على:

يمكننا بعد ذلك إعادة ترتيب هذه المعادلة لتكوين معادلة تربيعية على الصورة القياسية كما يلي:

بعد ذلك، يمكننا حل هذه المعادلة باستخدام التحليل من خلال ملاحظة أن ، ؛ وهذا يعطينا:

بعد ذلك، يمكننا أن نُساوي كل عامل بالصفر لنستنتج أن ، هي حلول للمعادلة.

قد نميل إلى استنتاج أن هاتين القيمتين تمثلان حلين؛ لأن كليهما موجب، لكننا نلاحظ أن طول المستطيل هو . وهذا يعني أن لا يمكن أن يكون أصغر من ٩؛ وإلا فإن هذا الطول سيكون سالبًا.

ومن ثَمَّ، فإن قيمة هي ١٢.