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Dans cette vidéo, notre sujet est la représentation des petites valeurs de grandeurs physiques. Nous allons spécifiquement examiner les méthodes numériques pour le faire. Et dans le processus, nous apprendrons une série de préfixes d’unité ainsi que la façon de convertir de petites valeurs écrites en notation scientifique sous forme décimale, puis dans l’autre sens, de la notation décimale à la notation scientifique.
Pour commencer, la première chose que nous pouvons remarquer est qu’en physique, il n’est pas rare de travailler avec de petites valeurs physiques. Par exemple, la charge d’un seul électron est approximativement égale à moins 1,6 fois 10 puissance moins 19 coulombs. Ou considérez une autre valeur, la constante gravitationnelle universelle. Il s’agit d’environ 6,7 fois 10 puissance moins 11 mètres cube par kilogramme seconde carrée. Avec des valeurs comme celles-ci, nous pourrions effectuer un calcul en utilisant, par exemple, la masse d’un proton, ou la durée moyenne nécessaire à un électron pour se désintégrer spontanément pour atteindre un état d’énergie inférieure. Ou même plus simplement, nous pourrions vouloir mesurer la masse de quelques grains de sable.
Nous voyons donc qu’en physique, de petites valeurs de grandeurs physiques sont souvent impliquées. Et donc, par souci de précision et de simplicité dans nos calculs, nous aimerions trouver des moyens pratiques de représenter ces petits nombres. Avec ces deux valeurs ici, la charge d’un électron et la constante gravitationnelle universelle, nous avons déjà fait un pas dans la bonne direction en écrivant ces valeurs en notation scientifique. Il est plus facile d’écrire et de comprendre les nombres écrits comme ceci, plutôt que de les exprimer sous une forme qui peut être plus familière, c’est-à-dire sous forme décimale.
Donc, pour les petites valeurs physiques, la notation scientifique est pertinente. Mais il s’avère que nous pouvons faire encore mieux. Pour voir comment cela fonctionne, considérons une seconde la partie visible du spectre électromagnétique; autrement dit, ce sont les fréquences spécifiques de la lumière auxquelles nos yeux sont sensibles. Lorsque nous considérons l’une des extrémités du spectre visible, la lumière rouge ici et la lumière violette ici, nous pouvons écrire les longueurs d’onde approximatives de ces couleurs en notation scientifique. La lumière rouge a une longueur d’onde d’environ sept fois 10 puissance moins sept mètre, tandis que la longueur d’onde d’un rayonnement violet est d’environ quatre fois 10 puissance moins sept mètre.
Même en nommant simplement ces deux longueurs d’onde, nous pouvons voir qu’elles sont un peu longues à prononcer. Si nous devions effectuer une expérience, par exemple, en collectant beaucoup de données sur les longueurs d’onde de rayonnement du visible, nous pourrions nous retrouver à faire beaucoup de travail supplémentaire pour exprimer les nombres de cette façon. Pour aider à alléger les cas comme celui-ci où nous travaillons avec des valeurs relativement petites, un système utilisant ce qu’on appelle des préfixes d’unité a été développé. Nous voyons de ce nom qu’un préfixe d’unité impliquera un type d’unité. Dans le cas de notre rayonnement lumineux visible, cette unité serait probablement des mètres, puis cette unité est précédée de ce qu’on appelle le préfixe.
Nous avons déjà vu des préfixes d’unité, même si nous ne les avons pas reconnus comme tels sur le moment. Par exemple, disons que nous mesurons 7,5 milligrammes d’une substance. Dans cette grandeur, nous avons une unité, grammes, qui a un préfixe. Ce préfixe est milli-, et nous voyons qu’il est représenté symboliquement par un m minuscule. Et un milligramme indique 10 puissance moins trois, ou un millième de gramme. Le prochain plus petit préfixe d’unité couramment utilisé est le préfixe micro-. Il est représenté en utilisant la lettre grecque 𝜇 et cela correspond à un millionième ou 10 puissance moins six fois l’unité impliquée.
Encore plus petit est le préfixe d’unité nano-, représenté par la lettre n. Cela nous indique un milliardième ou 10 puissance moins neuf de l’unité que nous considérons. C’est ce préfixe, d’ailleurs, qui est souvent utilisé pour représenter ces longueurs d’onde dans le spectre visible. Au lieu d’écrire ou de dire sept fois 10 puissance moins sept mètre, par exemple, nous pourrions plutôt dire 700 nanomètres. Et de même pour quatre fois 10 puissance moins sept mètre, où nous dirions et écririons plutôt 400 nanomètres. Nous pouvons voir que c’est un moyen un peu plus facile de parler de ces chiffres et de les comparer les uns aux autres.
En continuant sur notre liste de préfixes, nous avons le préfixe pico-, représenté par la lettre p correspondant à 10 puissance moins 12 ou un billionième de l’unité. Dans l’étude des lasers à impulsions ultracourtes, ce préfixe est souvent utilisé. Nous pourrions dire, par exemple, qu’une certaine impulsion laser a duré, disons 75 picosecondes.
Encore plus petit est le préfixe unit femto-. Un femto quelque chose, que ce soit une femtoseconde ou un femtomètre, est égal à un quadrillionième, 10 puissance moins 15, de l’unité considérée. Un exemple d’utilisation pratique de ce préfixe particulier est la description de la taille des particules subatomiques. Il s’avère, par exemple, qu’un femtomètre est approximativement égal au diamètre d’un proton. Voyons donc comment cette idée de préfixes d’unités pourrait s’appliquer à ces valeurs que nous avons écrites ici.
Au lieu d’exprimer la charge d’un électron en tant que moins 1,6 fois 10 puissance moins 19 coulombs, nous pourrions l’écrire comme moins 0,00016 femtocoulombs. Et qu’en est-il de la constante gravitationnelle universelle 𝑔? Nous pourrions écrire cette valeur comme 67 picomètres cubes par kilogramme-seconde carrée. Ici, la complexité de cette unité atténue partiellement l’avantage d’utiliser un préfixe d’unité. Dans ces deux cas, pour 𝑔 ainsi que la charge d’un électron, remarquez que l’utilisation de préfixes d’unité nous permet d’écrire ces valeurs d’une manière un peu plus claire et intuitive par rapport à, par exemple, leur écriture en notation scientifique ou même dans leur forme décimal complète.
Avant de passer à un exemple d’exercice, voyons comment nous pouvons basculer entre deux de ces représentations différentes - c’est-à-dire représenter un nombre en notation scientifique ou écrit sous forme décimale. Pour une valeur physique donnée, nous aimerions pouvoir basculer entre les deux. Alors, faisons un peu d’espace et réfléchissons à la façon de le faire.
Ainsi, chaque fois que nous envisageons une petite valeur, nous pouvons dire que lorsque nous écrivons cette valeur en notation scientifique, cela implique de prendre un certain nombre. Nous pouvons l’appeler 𝑎, où 𝑎 est inférieur à 10 et supérieur ou égal à un. Et de multiplier cette valeur par 10 élevé à une valeur entière négative; ici, 𝑛 est un entier. Étant donné cette façon d’écrire un nombre, nous aimerions savoir comment l’exprimer à la place sous forme décimale. Pour ce faire, on peut commencer par la valeur 𝑎. Maintenant, 𝑎 peut-être un nombre entier, comme trois ou sept, ou il pourrait lui-même être écrit à un certain nombre de décimales comme 1,275.
De toute façon, nous voulons identifier l’endroit où la virgule est située dans 𝑎. Elle est soit située à un endroit précis, ou si 𝑎 est un nombre entier comme nous l’avons mentionné, tel que sept, alors la virgule suit implicitement ce chiffre. Peu importe où se trouve la virgule dans cette valeur 𝑎, nous le déterminons et l’écrivons à la bonne position. Notre prochaine étape consistera à déplacer cette virgule d’un certain nombre de rang vers la gauche. La raison pour laquelle nous faisons cela est que, en notation scientifique, nous multiplions 𝑎 par 10 à la puissance d’un entier négatif. Parce que c’est 10 à une puissance négative, cela explique pourquoi la virgule se déplace vers la gauche et non vers la droite.
Juste pour illustrer, choisissons une valeur particulière pour 𝑛. Disons que 𝑛 est égal à cinq. Cela signifie que nous allons déplacer notre virgule ici, une, deux, trois, quatre, cinq rangs vers la gauche. Et puis en ce qui concerne les endroits qui sont actuellement vides, nous les remplissons, nous pourrions dire, de zéros. Pour finir, nous mettons un zéro devant la virgule. Et nous avons maintenant cette petite valeur, écrite à l’origine en notation scientifique où nous laissons 𝑛 égale cinq, exprimée sous sa forme décimale équivalente. Maintenant, si nous considérons le cas où 𝑛 est un entier positif, alors nous pourrions écrire cela sous forme décimale de cette façon. On pourrait dire qu’entre la virgule et notre valeur 𝑎, il y a 𝑛 moins un zéro.
Voir comment passer de la notation scientifique à la forme décimale nous donne également une idée pour aller dans l’autre sens. Si nous avons une petite valeur écrite sous forme décimale comme celle-ci, alors nous pouvons compter le nombre de zéros que nous trouvons entre la virgule et le premier chiffre non nul, ajouter un à ce nombre, puis c’est notre exposant 𝑛 lorsque nous écrivons ceci valeur en notation scientifique. Et nous prenons ensuite nos chiffres non nuls, le nombre 𝑎 où 𝑎 est supérieur ou égal à un et inférieur à 10. Et nous mettons cela devant ce facteur de 10 puissance moins 𝑛. La meilleure façon d’apprendre vraiment tout cela est de s’entraîner. Alors, essayons avec un exemple.
Une balle de fusil sera au repos en cinq fois 10 puissance moins quatre seconde. Quelle est la durée nécessaire pour que la balle soit au repos, exprimée sous forme décimale?
Alors, nous avons donc cette valeur en secondes qui est exprimée en notation scientifique. Nous le savons parce que ce nombre commence par une valeur supérieure ou égale à un et inférieure à 10. Et puis, cela est multiplié par 10 élevé à une valeur entière, moins quatre. Notre question est: « Quelle est l’expression de cette durée non pas en notation scientifique mais sous forme décimale?
Alors, en général, pour convertir un nombre entre ces deux façons d’écrire, nous pouvons dire que si nous avons une valeur exprimée en notation scientifique 𝑎 fois 10 puissance moins 𝑛, où 𝑎 est supérieur ou égal à un et inférieur à 10 et 𝑛 est un entier positif, alors nous pouvons écrire cela comme zéro avec une virgule suivie d’un nombre de zéros égal à 𝑛 moins un. Et puis à la fin de tout cela, on obtient la valeur 𝑎.
Nous pouvons appliquer cette approche de conversion à notre valeur particulière de la durée où la balle sera au repos. Dans cette valeur de durée en notation scientifique, le nombre cinq correspond à la valeur 𝑎 ici. Nous allons donc écrire cela. Et puis dans notre exposant, nous pouvons voir que quatre correspond à 𝑛 dans notre expression générale. Cette règle générale nous dit que nous avons 𝑛 moins un zéro à gauche de notre valeur 𝑎. Lorsque 𝑛 est égal à quatre, 𝑛 moins un est trois. Donc, nous avons mis un, deux, trois zéros à gauche de cinq. Et puis à gauche de cela vient une virgule et un zéro final.
Ce que nous avons fait ici, c’est que nous avons suivi notre règle générale pour convertir un nombre de la notation scientifique en sa forme décimale. La dernière chose que nous allons faire est ajouter l’unité des secondes à ce nombre. Et ce faisant, nous avons écrit la durée nécessaire pour que cette balle arrive au repos sous forme décimale. C’est 0,0005 seconde.
Voyons maintenant un deuxième exemple d’exercice.
Laquelle des propositions suivantes est égale à un nanowatt lorsqu’elle est multiplié par un watt? (A) 10 puissance neuf, (B) 10 puissance moins six, (C) 10 puissance moins huit, (D) 10 puissance moins neuf, (E) 10 puissance six.
Alors, cette question demande quel nombre parmi ces cinq serait égal à un nanowatt si nous le multiplions par un watt. Donc, fondamentalement, nous disons: « Quel nombre, si nous appelons ce nombre 𝑁 majuscule, pourrions-nous multiplier par un watt afin de d’avoir un nanowatt? » Pour répondre à cette question, pour déterminer 𝑁, nous devrons savoir comment un nanowatt se rapporte à un watt. Ce symbole ici, 𝑛 minuscule, fait référence à ce préfixe de nano-. Et nous pouvons nous rappeler que ce préfixe nano- correspond à un milliardième de l’unité à laquelle il est attaché. Donc, dans ce cas, un nanowatt est un milliardième de watt.
Pour représenter numériquement un milliardième, nous pouvons utiliser cette valeur ici, 10 puissance moins neuf. Cela signifie que si nous remplaçons ce nombre, 𝑁 majuscule, par 10 puissance moins neuf, alors ce remplacement valide cette équation. Il est vrai que si nous prenons un watt et que nous le multiplions par 10 puissance moins neuf, nous obtiendrons un milliardième de watt ou un nanowatt. Nous allons donc chercher cette valeur parmi nos options de réponse, et nous la voyons pour l’option (D). 10 puissance moins neuf multiplié par un watt est égal à un nanowatt.
Résumons maintenant ce que nous avons appris sur la représentation de petites valeurs de grandeurs physiques. Dans cette leçon, nous avons vu que, par souci de clarté et pour faciliter les comparaisons, des préfixes d’unités pour les petites valeurs ont été développés. Ces préfixes incluent milli-, représentant 10 puissance moins trois d’une unité; micro-, représentant un millionième; nano-, représentant un milliardième; pico-, représentant un billionième; et femto-, correspondant à 10 puissance moins 15 soit un quadrillionième d’une unité.
Et enfin, nous avons vu qu’une valeur peut être convertie de la notation scientifique à la forme décimale et inversement. Nous pouvons le faire en reconnaissant qu’un petit nombre écrit comme 𝑎 fois 10 puissance moins 𝑛 est égal à zéro suivi d’une virgule suivie de 𝑛 moins un zéro suivi de 𝑎. Ceci est un résumé de la représentation de petites valeurs de grandeurs physiques.
