Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment utiliser la notation scientifique et les préfixes d'unités pour multiplier et diviser les valeurs de grandeurs physiques par différentes puissances de dix.
Les valeurs des grandeurs physiques telles que la masse, la charge, le temps ou la vitesse peuvent être exprimée en écriture décimale.
Par exemple, un grain de sable pèse 0,004 gramme. Ce nombre contient plusieurs zéros, mais reste encore facile à écrire. Cependant, en physique, on a souvent affaire avec des mesures beaucoup plus petites que la masse des grains de sable.
Ainsi on rencontre régulièrement des grandeurs physiques liées à des particules subatomiques, telles que la charge d’un proton, la masse d’un neutron ou le rayon orbital d’un électron. Les valeurs de ces grandeurs sont si petites que l’écriture décimale n’est tout simplement pas pratique. Par exemple, pour la charge d’un proton, on a :
Si l’on doit l’écrire chaque fois, outre la perte de temps et le gaspillage de papier, on augmente le risque de se tromper d’un zéro ou deux, alors pour manier de très petits nombres, il serait plus commode d’utiliser la notation scientifique.
La notation scientifique nous permet d’écrire clairement de très petits nombres. Voici la charge d’un proton exprimée en notation scientifique :
L’exposant de la puissance du 10 dans la notation scientifique indique de combien de rang la virgule est décalée pour être juste à droite du premier chiffre non nul. Pour les petits nombres, l’exposant est négatif et indiquera le nombre de rang dont la virgule a été déplacée vers la droite. Par exemple, soit le nombre :
Nous voyons que la virgule dans 0,013 doit être décalée de 2 rangs vers la droite pour être derrière le premier chiffre non nul, qui est 1 :
Normalement, les zéros devant la virgule ne sont pas écrits. Ils sont seulement là pour visualiser le déplacement de la virgule. Puisque la virgule a été déplacée de 2 rangs vers la droite, l’exposant de 10 de la notation scientifique est donc égal à :
Regardons un autre exemple de conversion entre les deux écritures avec la masse du grain de sable. Le grain de sable pèse 0,004 gramme, qui s’écrit
Nous devons déplacer la virgule de 3 rangs pour qu’elle soit à droite du premier chiffre non nul :
Donc l’exposant sera .
La masse de notre grain de sable en notation scientifique est
Regardons un autre exemple.
Exemple 1: Masse d’un grain de poussière en notation scientifique
Un grain de poussière a une masse de 0,0065 g. Quelle est la masse du grain de poussière exprimée en notation scientifique au dixième près ?
Réponse
L’exposant de la puissance de 10 dans la notation scientifique est donné par le nombre de rang dont la virgule est décalée vers la droite. Comme la virgule se déplace jusqu’à être à la droite du 6 (premier chiffre non nul), pour donner 6,5, on peut compter de combien de rang elle a été décalée :
La virgule a été décalée de 3 rangs vers la droite, ce qui signifie que l’exposant est égal à . Cela donne en notation scientifique .
La réponse est donc B.
La conversion dans l’autre sens fonctionne de la même manière mais en sens inverse. Pour convertir un nombre écrit en notation scientifique avec une puissance de 10 négative, on doit déplacer la virgule vers la gauche du nombre de rang correspondant à l’exposant.
Imaginons un minuscule grain de sable, mille fois plus petit que le précédent.
Sa masse est de grammes. Ici, l’exposant vaut , ce qui signifie que nous devons déplacer la virgule de 6 rangs vers la gauche pour retourner vers la forme décimale. Chaque fois que nous déplaçons la virgule d’un rang vide, nous écrivons un 0 à la place :
Sous forme décimale, la masse est donc
Le nombre de zéros devant le chiffre 4 est lié à l’exposant de la puissance de 10 en notation scientifique. Plus précisément, il est d’une unité inférieure à l’exposant. Ainsi, un exposant signifie qu’il y a 5 zéros entre le premier chiffre non nul et la virgule. Observez le tableau ci-dessous.
| Notation scientifique | Forme décimale |
|---|---|
| 1 | |
| 0,1 | |
| 0,01 | |
| 0,001 | |
| 0,0001 | |
| 0,00001 |
La formule ci-dessous résume la façon dont on peut procéder pour convertir des petits nombres entre notation scientifique et forme décimale où est le premier nombre non nul et est l’exposant dans la notation scientifique. Cette formule ne convient que pour les petits nombres (c’est-à-dire lorsque l’exposant est négatif).
Regardons un autre exemple.
Exemple 2: Durée d’impact d’une balle en notation scientifique
Quand une balle touche sa cible, elle s’immobilise en s. Exprimez cette valeur sous forme décimale.
Réponse
Pour cette valeur, nous voyons que l’exposant de la puissance de 10 vaut . Cela signifie que la virgule doit être déplacée vers la gauche, et qu’il y aura 3 zéros entre le chiffre non nul et la virgule. Dans l’équation le nombre non nul, , vaut 5. L’exposant est . Donc, vaut 4. Le nombre de zéros entre la virgule et est donc 3 :
Exprimée sous forme décimale, cette durée s’écrit
Même en notation scientifique, le temps pris pour prononcer les petites valeurs peut s’avérer considérable. Voyons un exemple avec le rayon atomique de l’hydrogène :
On dirait « deux virgule cinq fois dix puissance moins onze mètres ». Il y a une manière plus courte d’exprimer ces petites valeurs, en utilisant les préfixes d’unités :
On dira alors « vingt-cinq picomètres ». Vous avez déjà utilisé des préfixes d’unités pour certaines unités auparavant (par exemple, milli- pour millisecondes ou millimètres). Voici un tableau indiquant les préfixes pour les petites valeurs.
| Préfixe de l’unité | Symbole | Notation scientifique |
|---|---|---|
| Milli | m | |
| Micro | ||
| Nano | n | |
| Pico | p | |
| Femto | f |
Le symbole est ce qui est placé avant le symbole de l’unité de mesure. Un milligramme sera noté 1 mg, par exemple.
La colonne de notation scientifique indique les facteurs multiplicatifs que représentent les préfixes. Donc, 1 picomètre (pm) s’écrit mètres. Les puissances de 10 indiquent également par quoi on doit diviser une valeur pour l’obtenir dans l’unité souhaitée. Par exemple, pour convertir 0,003 m en micromètres.
Pour convertir en micromètres nous devons diviser par :
Cette opération revient à déplacer la virgule de 6 rangs vers la droite et on obtient :
Regardons un exemple.
Exemple 3: Nanowatt en notation scientifique
Pour obtenir un nanowatt par combien doit-on multiplier un watt ?
Réponse
Le tableau des préfixes ci-dessus nous indique que le préfixe nano- désigne une fraction d’un milliardième de l’unité à laquelle il est attaché. En notation scientifique, cela s’écrit .
Appliquer un facteur multiplicatif de à 1 watt donne donc une valeur de 1 nW :
La bonne réponse est alors A.
On peut choisir les unités comme bon nous semble, mais les préfixes permettent de connaître immédiatement l’ordre de grandeur des valeurs et de les comparer entre elles. Lorsque nous utilisons les préfixes, nous choisissons d’habitude celui qui donne la mesure en un nombre entier le plus court possible.
Voyons ceci avec un exemple : considérons une mesure qui vaut un cent-millième de seconde. Sous forme décimale, cela s’écrit
Pour l’exprimer à l’aide d’une unité avec préfixe, on la divise par le nombre correspondant indiqué dans le tableau des préfixes d’unités. Si l'on prend millisecondes, alors on divise par , ce qui revient à déplacer la virgule de trois rangs vers la droite :
C’est beaucoup plus facile à lire qu’un cent-millième de seconde, mais c’est toujours une valeur inférieure à 1. Et si nous la mettons en microsecondes à la place. Pour convertir en microsecondes, on fait une division par , ce qui revient à déplacer la virgule de six rangs vers la droite :
C’est une valeur plus simple à manier, et à utiliser pour faire des comparaisons que 0,01 ms ou 0,00001 s.
Regardons quelques autres exemples.
Exemple 4: Conversion d’unité de longueur en notation scientifique
Quelle est la valeur de 1 centimètre en micromètres ?
- μm
- μm
- μm
- μm
Réponse
Normalement, pour convertir des mètres en micromètres, on divise par , mais on nous donne des centimètres à la place. Alors, convertissons d’abord 1 centimètre en mètres. Il y a 100 centimètres dans un mètre, alors pour exprimer 1 centimètre en mètres on a :
Maintenant nous pouvons prendre la valeur en mètres et la diviser par pour obtenir son équivalent en micromètres. Cela revient à déplacer la virgule de 6 rangs vers la droite :
Exprimée en micromètres, 1 centimètre est donc 10 000 μm. Donc, la réponse correcte est C, μm.
Exemple 5: Aire d’un rectangle en utilisant les préfixes d’unités
Un rectangle a des côtés de 0,02 m et 0,004 m. Calculez l’aire du rectangle.
- 80 μm2
- 8 μm2
- 80 nm2
- 8 nm2
Réponse
L’aire d’un rectangle est le produit des longueurs des côtés. Exprimée en mètres carrés, l’aire est simplement mais nous voulons cette valeur en micromètres carrés, μm2, ou nanomètres carrés, nm2. Pour obtenir cette valeur en nanomètres carrés, on la divise par : ce qui signifie déplacer la virgule de 9 rangs vers la droite, puisqu’il s’agit d’une division. On obtient ce qui ne correspond à aucune des réponses ! Essayons en micromètres carrés à la place, donc on divise par , ce qui signifie que nous déplaçons la virgule de 6 rangs vers la droite :
La réponse est donc A, 80 μm2.
Résumons ce que nous avons appris dans cette fiche explicative.
Points clés
- La formule suivante indique le procédé pour effectuer la conversion des petits nombres entre la notation scientifique et la notation décimale : où est le premier nombre non nul et est l’exposant de dix dans la notation scientifique.
- Les préfixes d’unité sont employés parce qu’ils permettent de voir immédiatement l’ordre de grandeur des petites valeurs et de les comparer entre elles. Ces préfixes sont les suivants :
Préfixe de l’unité Symbole Notation scientifique Milli m Micro Nano n Pico p Femto f - Pour convertir une valeur en unité SI vers une unité plus petite, on divise la valeur par , où est l’exposant dans la notation scientifique.
