Transcription de la vidéo
Laquelle des relations représentées par l’ensemble des couples ci-dessous ne représente pas une fonction ? Nous avons donc quatre options ici, chacune étant un ensemble de couples, chacune étant une relation, mais seulement trois de ces quatre représentent également une fonction.
Passons en revue les options une par une, en commençant par l’option A. L’option A est l’ensemble des couples moins huit, quatre ; moins neuf, quatre ; 10 ; quatre ; et 11, quatre. Cela définit une relation. Rappelons d’abord ce qu’est une relation. Une relation est définie sur deux ensembles, que je vais appeler 𝑥 et 𝑦. Voyons comment cela fonctionne en remplissant la relation définie par l’ensemble dans l’option A.
Le premier élément de l’ensemble est le couple moins huit, quatre. Le fait que la première composante de ce couple soit moins huit nous indique que moins huit doit aller dans l’ensemble 𝑥 et le fait que la deuxième composante de ce couple soit quatre nous indique que quatre doit être contenu dans l’ensemble 𝑦. Mais en plus de cela, on ne nous donne pas seulement un moins huit et un quatre dans ces deux ensembles. On nous dit qu’il existe une relation entre ces deux éléments. Nous représentons cela sur la figure en utilisant une flèche, comme ceci.
Bien, passons maintenant au deuxième élément de notre ensemble, qui est le couple moins neuf, quatre. La première composante qui représente le couple est moins neuf, donc cette valeur va dans 𝑥. La deuxième composante, quatre, a déjà été mise dans notre ensemble 𝑦 ; nous n’avons pas besoin de le placer à nouveau. Nous avons juste besoin de représenter la relation en utilisant une flèche. J’ai fait de même pour les deux derniers éléments de l’ensemble, qui étaient 10, quatre et 11, quatre.
Maintenant, il est possible que 𝑥 contienne d’autres choses en dehors de moins huit, moins neuf, 10 et 11. Cela pourrait être l’ensemble des entiers par exemple. De même, 𝑦 pourrait être plus que l’ensemble constitué du nombre quatre. Cela pourrait être l’ensemble des entiers. En fait, les deux ensembles pourraient être l’ensemble des nombres réels, mais comme nous venons de marquer ces nombres, ce sont ces éléments de ces ensembles qui sont impliqués dans cette relation ici. C’est tout ce que nous devons faire. Ceci est une relation parfaitement correcte, mais la question consiste à savoir s’il s’agit aussi une fonction.
Alors, ignorons la figure pour le moment et jetons un coup d’œil à l’ensemble. S’il s’agit d’une fonction, chaque couple représente une paire de valeurs d’entrée et de sortie de cette fonction. Ainsi, par exemple, le premier couple - moins huit, quatre - nous indique que moins huit est une valeur d’entrée dont la valeur de sortie donnée par la fonction est quatre. En continuant, nous voyons que la valeur d’entrée neuf a également la valeur de sortie quatre. De même pour la valeur entrée 10, elle a la valeur de sortie quatre. La dernière paire de valeurs d’entrée et de sortie nous indique que la valeur d’entrée 11 donne la sortie quatre.
En revenant à la figure, nous pouvons dire que l’ensemble 𝑥 est maintenant l’ensemble des valeurs d’entrée de cette fonction, autrement dit l’ensemble de définition de la fonction. L’ensemble 𝑦 est l’ensemble des valeurs de sortie de la fonction, autrement dit l’ensemble image de la fonction. En regardant la figure, nous voyons que chaque valeur d’entrée dans l’ensemble de définition est liée à une valeur de sortie dans l’ensemble image et il n’y a aucun doute à ce sujet. Ainsi, il s’agit d’une fonction ; A est une fonction. Ce n’est donc pas la réponse cherchée. Passons à la deuxième option, B.
L’option B est un ensemble de couples assez semblable à ce que nous avions auparavant, nous allons suivre le même processus de représentation de cette relation sur une figure. Le premier élément de cet ensemble est donc le couple trois, quatre. La première composante du couple, trois, va dans l’ensemble 𝑥 et la deuxième composante, quatre, va dans l’ensemble 𝑦. Bien sûr, ces composantes sont liées. Il y a une relation entre eux, donc nous dessinons une flèche. Ensuite, nous avons 11, huit. Nous faisons la même chose, donc 11 va dans l’ensemble 𝑥 ; huit va dans l’ensemble 𝑦 ; et nous dessinons une flèche entre eux.
Jusqu’à présent tout va bien. Que diriez-vous de trois, 12 ? Bien, trois va dans l’ensemble 𝑥. Seulement, nous avons déjà trois dans l’ensemble 𝑥 ; vous n’avez pas besoin de le dessiner à nouveau. Nous avons 12, la deuxième composante, qui doit aller dans l’ensemble 𝑦. Nous dessinons une flèche entre eux. Enfin, 11, 11. Ainsi, 11 dans la première composante signifie que nous avons 11 dans le premier ensemble 𝑥, ce que nous avons déjà, et 11 en tant que deuxième composante du couple nous dit que nous devons également mettre 11 dans l’ensemble 𝑦, donc il s’agit d’un 11 différent parce que nous traitons un ensemble différent. Nous avons montré que ceux-ci sont liés comme tels.
Je soulignerai juste qu’il s’agit d’une relation parfaitement correcte. En fait, tout ensemble de couples est une relation parfaitement définie que vous pouvez établir comme nous l’avons fait. La question est de savoir s’il s’agit aussi une fonction. Alors, rappelez-vous, une fonction peut être définie comme l’ensemble des couples des valeurs d’entrée et de sortie de cette fonction. Ainsi, par exemple, d’après le premier couple - trois, quatre - de cet ensemble, la valeur d’entrée trois, lorsqu’elle est donnée à cette fonction, donne la valeur de sortie quatre. Alors, peut-être que si la fonction s’appelle 𝑓, nous écrirons 𝑓 de trois égale quatre.
Le couple suivant nous dit que 𝑓 de 11, la valeur d’entrée, est huit, donc la valeur de sortie. Bien, qu’en est-il du troisième couple ? Bien, nous avons une valeur d’entrée de trois qui donne une sortie de 12, donc 𝑓 de trois est 12. Cependant, nous venons de dire que 𝑓 sur trois était quatre. Comment cela peut-il avoir un sens ? Comment 𝑓 de trois peut-il être quatre et 12 ? Il ne peut pas l’être.
Nous pouvons remarquer la même chose sur la figure. J’ai trois qui va à quatre et aussi à 12, donc il y a deux flèches qui sortent du nombre trois sur la gauche. Encore une fois, il s’agit bien d’une relation, mais pas d’une fonction. Nous ne pouvons pas avoir 𝑓 de trois étant à la fois quatre et 12, donc cet ensemble de couples ne définit pas une fonction. Par conséquent, B est notre réponse. L’ensemble des couples de cette option définit une relation mais il ne représente pas une fonction.
Juste pour conclure, voyons un moyen rapide de déterminer si un ensemble de couples représente une fonction. Regardez les premières composantes de ces couples, donc trois, 11, trois et 11, et vous remarquerez qu’il y a des répétitions ici. Il y a en effet des valeurs d’entrée qui sont données deux fois, par exemple trois, avec des valeurs de sortie différentes, quatre et 12, et 11 avec huit et 11. Ainsi, si vous voyez des répétitions dans les premières composantes des couples, vous saurez que cela ne sera pas une fonction.
Si vous avez une figure qui représente une relation, comme nous le faisons ci-dessous, vous pouvez demander si cela représente également une fonction en la considérant comme une figure de correspondance. Comme nous l’avons vu précédemment, trois a été associé à quatre et à 12. Il y avait deux flèches sur le trois de la gauche allant à l’ensemble des valeurs de sortie comme nous l’avons vu précédemment et bien sûr cela n’a pas de sens. Ainsi, si deux ou plusieurs flèches sortent d’un élément de la gauche, alors nous savons que ce n’est pas une fonction
Vous pouvez revenir à plus tôt dans la vidéo pour voir que ces deux problèmes ne se réalisaient pas dans l’option A, donc il s’agissait bien d’une fonction. Vous pouvez également vérifier que les options C et D représentent des fonctions. Vous pouvez vérifier que dans chacune de ces options, dans chacun de ces ensembles, la première composante de ces couples n’est jamais répétée. Vous pouvez vérifier que lorsque vous tracez une figure à partir de ces relations, il n’y a jamais plus d’une flèche qui sort de chaque entrée de gauche.
