Vidéo de la leçon: Relations et fonctions Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à identifier, représenter et reconnaître des fonctions à partir de descriptions schématiques, de diagrammes fléchés et de graphiques. Nous allons commencer la vidéo en décrivant ce que nous entendons par relations et fonctions.

Une relation décrit une propriété entre les objets de deux ensembles. Si l’objet 𝑎 trois du premier ensemble présente cette relation avec l’objet 𝑏 sept du second ensemble, alors cela peut être représenté par un diagramme de relations. Nous dessinons une flèche de 𝑎 trois à 𝑏 sept. Prenons maintenant un exemple concret.

Le diagramme suivant représente la relation « fils ou fille de ». La première série de noms Emma, Chloé, Jennifer, Noah et Scarlett sont les fils et les filles. La seconde série de noms sont les mères ou les pères. Si nous considérons Emma, nous pouvons voir que Emma est la fille de Madison et Liam. On peut donc en déduire que Chloé et Emma sont sœurs puisque Madison et Liam sont la mère et le père des deux filles. Jennifer et Noah ont tous deux la même mère, Amelia, mais ils ont des pères différents. Antony est le père de Jennifer et Daniel est le père de Noah.

Nous allons maintenant définir ce que nous entendons par une fonction. Une fonction est un type spécial de relation qui connecte chaque objet du premier ensemble, appelé valeur de départ, à exactement un objet du second ensemble, appelé valeur d’arrivée. Lorsque nous parlons de fonctions, les objets sont généralement des nombres. Nous allons voir d’abord un exemple concret.

La relation « habite à » est une fonction puisque chaque personne du premier ensemble est associée à une seule ville du second ensemble. Nous pouvons voir sur le diagramme que Hannah vit à Détroit, David vit à New York, Ethan et Victoria vivent tous deux à Boston et aucune des quatre personnes ne vit à Chicago. Ceci est clairement une fonction car chaque élément du premier ensemble est connecté à exactement un objet de l’autre ensemble. Une seule flèche part de chaque objet.

Les relations peuvent être également représentées comme un ensemble de couples. Dans ce cas, nous aurions quatre couples : Hannah et Détroit, David et New York, Ethan et Boston et Victoria et Boston. Le premier nom du couple est la valeur de départ et le second nom, la ville dans ce cas, est la valeur d’arrivée. Pour que notre relation soit une fonction, chaque valeur de départ doit être unique.

Nous allons maintenant examiner quelques questions mettant en œuvre des relations et des fonctions.

Déterminez si l’affirmation suivante est vraie ou fausse : la figure donnée représente une fonction.

Nous avons deux ensembles de valeurs. Nous avons les valeurs 𝑥 ou valeurs de départ quatre, cinq et huit et les valeurs 𝑦 d’arrivée deux, cinq, sept et neuf. On nous demande de décider si cette figure représente une fonction. Nous rappelons qu’une fonction est une relation où chaque objet du premier ensemble ou ensemble de départ est connecté à exactement un objet du second ensemble ou ensemble d’arrivée. Le nombre quatre dans le premier ensemble n’est connecté qu’au nombre sept dans le second ensemble. De même, le nombre huit du premier ensemble ou ensemble de départ n’est connecté qu’au nombre cinq du second ensemble, ou ensemble d’arrivée.

Jusqu’à présent, chaque objet est connecté à exactement un objet dans l’ensemble d’arrivée. Nous avons cependant un problème avec le nombre cinq dans l’ensemble de départ car il est connecté à deux et à neuf. Cela signifie que la figure donnée ne représente pas une fonction et que la réponse est « faux ». La figure n’est pas une fonction car cinq est connecté à deux et à neuf.

Dans notre question suivante, nous devons déterminer lequel des trois diagrammes représente une fonction.

Laquelle des relations suivantes représente une fonction ? Est-ce (A) 𝑎 vers un et 𝑐 vers trois ; option (B) 𝑎 vers un, 𝑏 vers deux, 𝑐 vers deux et 𝑐 vers trois ; ou l’option (C) 𝑎 vers trois, 𝑏 vers un et 𝑐 vers trois ?

Pour répondre à cette question, nous devons rappeler notre définition d’une fonction. Une fonction est une relation où chaque objet du premier ensemble ou ensemble de départ est connecté à exactement un objet du second ensemble. On appelle cela l’ensemble d’arrivée. Les mots clés ici sont « exactement un ». Dans l’option (A), la lettre 𝑏 de l’ensemble de départ n’est connectée à aucun nombre de l’ensemble d’arrivée. Cela signifie que cette relation ne représente pas une fonction.

Dans l’option (B), les lettres 𝑎 et 𝑏 sont connectées à exactement un objet du second ensemble ; la lettre 𝑎 est connectée à un et la lettre 𝑏 est connectée à deux. Cependant, la lettre 𝑐 est connectée à deux objets du second ensemble ; elle est connectée au nombre deux et au nombre trois. Cela signifie que la relation (B) encore une fois ne représente pas une fonction.

Dans l’option (C), la lettre 𝑎 n’est connectée qu’au nombre trois. La lettre 𝑏 n’est connectée qu’au nombre un. Enfin, la lettre 𝑐 n’est connectée qu’au nombre trois. Chaque objet du premier ensemble, les lettres 𝑎, 𝑏 et 𝑐, est connecté à exactement un objet du second ensemble. Cela signifie que la bonne réponse est (C). C’est la seule relation qui représente une fonction.

Notre prochaine question consiste à identifier une fonction à partir d’un tableau.

Lequel des tableaux suivants représente une fonction avec un ensemble de départ 𝑥 et un ensemble d’arrivée 𝑦 ? La relation A et la relation B ont toutes les deux cinq valeurs de départ et cinq valeurs d’arrivée correspondantes. Par exemple, dans la relation A, la valeur de départ 𝑥 égale moins trois donne une valeur d’arrivée 𝑦 égale six. Dans la relation B, lorsque 𝑥 est égal à moins deux, 𝑦 est égal à six.

Pour répondre à cette question, nous devons rappeler notre définition d’une fonction. Une fonction est une relation où chaque valeur de départ a exactement une valeur d’arrivée. Les mots clés ici sont « exactement une ». Dans la relation A, nous avons cinq valeurs de départ distinctes : moins trois, zéro, trois, huit et moins 10. Chacune de celles-ci a exactement une valeur d’arrivée : les nombres six, huit, 20, quatre et huit, respectivement. Le fait que huit apparaisse deux fois dans les valeurs d’arrivée 𝑦 n’a pas d’importance. La clé de toute fonction est que chaque valeur de départ 𝑥, a exactement une valeur 𝑦. Dans la relation A, la valeur de départ zéro n’est connectée qu’à huit et la valeur de départ moins 10 n’est connectée qu’à huit. Nous pouvons donc conclure que la relation A est bien une fonction.

Voyons maintenant pourquoi la relation B n’est pas une fonction. En regardant nos valeurs de départ pour la relation B, nous remarquons que le nombre moins deux apparaît deux fois. La valeur de départ moins deux nous donne une valeur d’arrivée de six, mais elle nous donne aussi une valeur d’arrivée de 20. Cela signifie que la relation B n’a pas exactement une valeur d’arrivée. La relation B n’est donc pas une fonction, confirmant que la bonne réponse est la relation A.

Dans notre question suivante, nous allons examiner les couples. Comme vous pouvez le voir, cette question est très similaire à la précédente. Cependant, cette fois, nos données ont été écrites en couples.

Laquelle des relations suivantes représente une fonction ? Est-ce la relation A, quatre, 12 ; quatre, 15 ; cinq, 18 ; cinq, 21 ; et six, 24 ? Ou est-ce la relation B, quatre, 12 ; cinq, 15 ; six, 18 ; sept, 21 ; et huit, 24 ?

Nous rappelons que pour qu’une relation soit une fonction, chaque valeur 𝑥 ou valeur de départ doit avoir exactement une valeur 𝑦 ou valeur d’arrivée correspondante. Considérons d’abord la relation A. Nous devrions immédiatement remarquer ici que la valeur de départ ou valeur 𝑥 quatre apparaît deux fois. De même, la valeur 𝑥 cinq apparaît deux fois. La valeur 𝑥 égale quatre est connectée à la valeur 𝑦 égale 12 et à la valeur 𝑦 égale 15. La valeur 𝑥 égale cinq est connectée à la valeur 𝑦 égale 18 et à la valeur 𝑦 égale 21. Cela signifie que chaque valeur 𝑥 n’a pas exactement une valeur 𝑦. Cela signifie que la relation A n’est pas une fonction.

Dans la relation B en revanche, nous avons cinq valeurs 𝑥 uniques. Les nombres quatre, cinq, six, sept et huit. Ceux-ci sont respectivement connectés à une valeur 𝑦, les nombres 12, 15, 18, 21 et 24. Comme chaque valeur 𝑥 a exactement une valeur 𝑦, la bonne réponse est la relation B. Cela représente une fonction.

Dans notre avant-dernière question, nous devons déterminer quels ensembles de couples sont des fonctions.

Laquelle des relations indiquées par un ensemble de couples ci-dessous ne représente pas une fonction ? Est-ce (A) trois, 11 ; 11, 19 ; 27, 35 ; et 43, 43 ; (B) trois, 11 ; quatre, 11 ; cinq, 11 ; et six, 11 ; (C) moins huit, quatre ; moins neuf, quatre ; 10, quatre ; et 11, quatre ; Ou (D) trois, quatre ; 11, huit ; trois, 12 ; et 11, 11 ?

Nous rappelons qu’une fonction est une relation qui relie chaque valeur 𝑥 à exactement une valeur 𝑦. Cela signifie que dans une relation de couples, chaque valeur 𝑥 ne doit apparaître qu’une seule fois. Dans l’option (A), nous avons quatre valeurs 𝑥 distinctes ou uniques, les nombres trois, 11, 27 et 43. Cela signifie que l’option (A) est une fonction. L’option (B) a également quatre valeurs 𝑥 uniques, les nombres trois, quatre, cinq et six. Le fait que chacune des valeurs 𝑦 soit 11 n’a pas d’impact sur le fait qu’elle soit une fonction. Chaque valeur 𝑥 est connectée à exactement une valeur 𝑦. Par conséquent, (B) est aussi une fonction.

L’option (C) est une fonction pour la même raison. Nous avons quatre valeurs 𝑥, moins huit, moins neuf, 10 et 11, toutes reliées à la valeur 𝑦 égale quatre. Cela suggère que l’option (D) n’est pas une fonction. Nous savons que cela est vrai parce que la valeur de départ 𝑥 égale 3 est connectée à la valeur 𝑦 égale 4 et à la valeur 𝑦 égale 12. De même, la valeur 𝑥 égale 11 est connectée aux valeurs 𝑦 égale 8 et 𝑦 égale 11. L’option (D) n’est donc pas une fonction car chaque valeur 𝑥 n’est pas connectée à exactement une valeur 𝑦. La bonne réponse est l’option (D).

Notre dernière question met en œuvre des relations graphiques.

Laquelle des relations suivantes représente une fonction sachant que 𝑥 est la valeur de départ et 𝑦 est la valeur d’arrivée ?

Nous rappelons qu’une fonction est une relation où chaque valeur de départ a exactement une valeur d’arrivée. On nous dit que la valeur de départ est 𝑥 et la valeur d’arrivée est 𝑦. Par conséquent, chaque valeur 𝑥 doit avoir exactement une valeur 𝑦 correspondante. Sur notre premier graphique, nous pouvons voir que lorsque 𝑥 est égal à un, nous avons deux valeurs 𝑦, les valeurs moins un et un. De même, lorsque 𝑥 est égal à quatre, 𝑦 peut être égal à deux ou moins deux. Il en va de même lorsque 𝑥 égale neuf. Les couples neuf, moins trois et neuf, trois se trouvent tous deux sur le graphique. Cela signifie que le graphique (A) n’est pas une fonction car chaque valeur de départ ou valeur 𝑥 n’a pas exactement une valeur d’arrivée ou valeur 𝑦.

L’option (B), en revanche, est une fonction. Il s’agit en fait une fonction affine. Chaque valeur 𝑥 ou valeur de départ a exactement une valeur 𝑦 ou valeur d’arrivée. Par exemple, lorsque 𝑥 égale deux, 𝑦 égale huit et lorsque 𝑥 égale moins six, 𝑦 égale moins huit. Quelle que soit la valeur de 𝑥 que nous choisissions, il y aura exactement une valeur 𝑦. La bonne réponse est donc le graphique (B).

Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Nous avons découvert dans cette vidéo qu’une fonction est un type spécial de relation entre deux ensembles. Une relation est une fonction si (i) pour chaque élément de l’ensemble de départ, il y a une valeur d’arrivée et (ii) aucun élément de l’ensemble de départ n’est associé à plus d’un élément de l’ensemble d’arrivée. Cela peut être résumé en disant qu’une fonction est une relation où chaque objet de l’ensemble de départ est connecté à exactement un objet de l’ensemble d’arrivée. Nous avons vu dans cette vidéo que les fonctions peuvent être représentées sous forme de diagrammes, de couples, de tableaux ou de graphiques.