Vidéo de la leçon: Intégrales indéfinies et problèmes de valeur initiale Mathématiques • Enseignement supérieur

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Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment utiliser l’intégration pour déterminer des solutions particulières aux problèmes de valeur initiale impliquant des équations différentielles de la forme d𝑦 sur d𝑥 des égal à 𝑓 de 𝑥. Une équation différentielle est une équation qui contient des dérivées ou des différentielles. Ces différentielles sont de la forme 𝑦 prime égal à 𝑓 de 𝑥 ou d𝑦 sur d𝑥 égale une fonction de 𝑥. Nous commencerons par examiner comment les intégrales peuvent nous aider à déterminer une solution générale à ces équations avant de considérer ce que l’introduction d’une valeur initiale apporte à ces solutions.

Commençons par récapituler comment l’intégration peut nous aider avec les équations différentielles. Voici une équation différentielle simple. d𝑦 sur d𝑥 est égal à trois 𝑥 au carré plus quatre. En d’autres termes, il y a une fonction 𝑦 de 𝑥 qui, lorsque nous la dérivons par rapport à 𝑥, nous nous retrouvons avec sa dérivée égale à trois 𝑥 au carré plus quatre. Mais alors, nous rappelons que l’intégration et la dérivation sont des processus inverses l’un de l’autre. En d’autres termes, si nous intégrons cette fonction, sa dérivée par rapport à 𝑥, nous aboutirons à la solution générale de l’équation différentielle. On obtient la fonction d’origine 𝑦 impliquant une constante d’intégration 𝑐.

Dans ce cas, alors, 𝑦 va être égale à l’intégrale indéfinie de trois 𝑥 au carré plus quatre par rapport à 𝑥. Nous rappelons ensuite que pour intégrer des termes dans un polynôme, nous ajoutons un à la puissance, puis nous le divisons par ce nouveau nombre. En supposant que l’exposant n’est pas égal à moins un. Ainsi, l’intégrale de trois 𝑥 au carré est trois 𝑥 au cube divisé sur trois. Et l’intégrale de quatre est quatre fois 𝑥 à la puissance un divisé par un. Et bien sûr, puisque nous travaillons avec une intégrale indéfinie, nous avons cette constante d’intégration 𝑐. En simplifiant, nous voyons que 𝑦 est égal à 𝑥 cube plus quatre 𝑥 plus 𝑐.

C’est la solution générale à notre équation différentielle. Mais qu’en est-il de sa solution particulière ? En d’autres termes, comment calcule-t-on la valeur de 𝑐 ? Eh bien, nous avons besoin d’une valeur initiale. Regardons un problème simple de valeur initiale.

Déterminer une solution particulière pour l’équation différentielle suivante pour laquelle 𝑦 de zéro est égal à 12. d𝑦 sur d𝑥 est égal à huit 𝑥 plus trois.

Rappelez-vous, nous pouvons déterminer une solution générale de l’équation différentielle d𝑦 sur d𝑥 est égal à huit 𝑥 plus trois en effectuant d’abord le processus inverse de dérivation. Nous allons intégrer notre fonction pour d𝑦 sur d𝑥 par rapport à 𝑥. Donc 𝑦 est égale à l’intégrale indéfinie de d𝑦 sur d𝑥 par rapport à 𝑥. Ou 𝑦 est l’intégrale de huit 𝑥 plus trois par rapport à 𝑥. Nous rappelons ensuite que l’intégrale d’un terme polynôme de la forme 𝑎𝑥 à la puissance 𝑛, où 𝑎 et 𝑛 sont des constantes réelles et 𝑛 n’est pas égal à moins un, est 𝑎𝑥 à la puissance 𝑛 plus un sur 𝑛 plus un plus une constante d’intégration 𝑐.

Fondamentalement, nous ajoutons un à l’exposant, puis nous le divisons par ce nouveau nombre. Cela signifie que l’intégrale de huit 𝑥 est huit au carré sur deux. Ensuite, l’intégrale de trois est trois 𝑥. Et, bien sûr, puisque c’est une intégrale indéfinie, nous nous retrouvons avec cette constante d’intégration 𝑐. Nous avons donc obtenu la solution générale de notre équation différentielle : 𝑦 est égal à quatre 𝑥 carré plus trois 𝑥 plus 𝑐.

Revenons maintenant à la question. On nous dit que 𝑦 de zéro est égal à 12. En d’autres termes, en un point de l’équation 𝑦 est égal à 𝑓 de 𝑥, lorsque 𝑥 est égal à zéro, 𝑦 est égal à 12. Remplaçons ces valeurs dans notre équation et voyons ce qui arrive. Nous obtenons 12 est égal à quatre fois zéro carré plus trois fois zéro plus 𝑐. Eh bien, cette équation entière se simplifie en 12 est égal à 𝑐. Et c’est formidable, car nous connaissons maintenant la valeur de notre constante. Et nous pouvons donc dire que 𝑦 est égal à quatre 𝑥 carré plus de trois 𝑥 plus 12.

Ceci est connu comme la solution particulière. Et 𝑦 de zéro est égal à 12 est une valeur initiale. Ceux-ci sont parfois appelés les problèmes de valeur initiale car ils nous permettent de déterminer une solution particulière en nous donnant une sortie pour une valeur spécifique de 𝑥.

Regardons maintenant un autre exemple.

Déterminer la solution pour l’équation différentielle suivante où 𝑦 de zéro est égal à un. d𝑦 sur d𝑥 moins 𝑥 moins 𝑥 au carré est égal à zéro.

Dans cette question, nous avons une équation différentielle et une valeur initiale. Autrement dit, lorsque 𝑥 est égal à zéro, 𝑦 est égal à un. Maintenant, avant que nous puissions chercher à résoudre cette équation différentielle, nous allons devoir effectuer une étape intermédiaire. Nous allons réorganiser et faire de d𝑦 sur d𝑥 le sujet. Maintenant, ce n’est pas particulièrement difficile à réaliser. Nous ajoutons 𝑥 et 𝑥 au carré des deux côtés de notre équation différentielle pour constater que d𝑦 sur d𝑥 égal 𝑥 au carré plus 𝑥. Maintenant, rappelez-vous, nous pouvons déterminer une solution générale de l’équation différentielle d𝑦 sur d𝑥 égal 𝑥 carré plus 𝑥 en effectuant le processus inverse de la dérivation. Nous allons intégrer par rapport à 𝑥. Ainsi 𝑦 sera égale à l’intégrale de d𝑦 sur d𝑥 par rapport à 𝑥 ou l’intégrale de 𝑥 carré plus 𝑥 par rapport à 𝑥.

N’oubliez pas que pour intégrer un terme polynomial, nous ajoutons un à l’exposant, puis nous le divisons par cette nouvelle valeur. Donc, l’intégrale de 𝑥 carré est 𝑥 au cube sur trois. Nous voyons alors que l’intégrale de 𝑥 est 𝑥 au carré sur deux. Et puisque nous travaillons avec indéfinies Intégrales, nous savons que nous avons cette constante d’intégration 𝑐. Donc 𝑦 est égal à 𝑥 au cube sur trois plus 𝑥 carré sur deux plus 𝑐. Nous avons donc la solution générale à notre équation différentielle. Mais nous n’avons pas encore utilisé l’information selon laquelle 𝑦 de zéro est égal à un. Nous allons substituer 𝑥 égal à zéro et 𝑦 égal à un dans cette solution générale. Lorsque nous le faisons, nous voyons que un est égal à zéro au cube sur trois plus zéro au carré sur deux plus 𝑐. Et toute l’équation se simplifie en un égal 𝑐. Nous avons donc trouvé que 𝑐 est égal à un. Et la solution particulière à notre équation différentielle est 𝑦 est égal à 𝑥 au cube sur trois plus 𝑥 au carré sur deux plus un.

Maintenant, il est important de réaliser que nous pouvons également appliquer cette procédure à des exemples plus complexes.

Déterminez la fonction 𝑓, si 𝑓 prime de 𝑡 est égale à deux sec 𝑡 fois tan 𝑡 plus quatre sec 𝑡, lorsque 𝑡 est supérieur à moins 𝜋 sur deux et inférieur à 𝜋 sur deux et 𝑓 de moins 𝜋 sur trois est égal à moins deux.

Dans cette question, nous avons une équation différentielle. Rappelez-vous, ceci est une équation impliquant des dérivées. Ici, c’est 𝑓 prime de 𝑡. Et nous avons également une valeur initiale. Autrement dit, lorsque 𝑡 est égal à moins 𝜋 sur trois, 𝑓 de 𝑡 est égal à moins deux. Maintenant, nous cherchons à savoir ce que vaut la fonction 𝑓. Nous rappelons donc que l’intégration et la dérivation sont des processus inverses. Donc, notre fonction d’origine 𝑓 de 𝑡 sera l’intégrale de 𝑓 prime de 𝑡 par rapport à 𝑡. C’est l’intégrale de deux sec de 𝑡 fois tan 𝑡 plus quatre sec de 𝑡 par rapport à 𝑡.

Maintenant, cela ne semble pas très agréable. Commençons par distribuer les parenthèses de notre intégrande. Lorsque nous le faisons, nous obtenons notre fonction 𝑓 de 𝑡 égale à l’intégrale de deux sec 𝑡 tan 𝑡 plus huit sec au carré 𝑡 par rapport à 𝑡. Nous pouvons simplifier un peu ceci en rappelant que l’intégrale de la somme de deux fonctions est égale à la somme de l’intégrale de chacune de ces fonctions. Ainsi 𝑓 de 𝑡 est égale à l’intégrale de deux sec 𝑡 tan 𝑡 par rapport à 𝑡 ainsi que l’intégrale de huit sec au carré 𝑡 par rapport à 𝑡.

Maintenant, ceux-ci pourraient avoir l’air vraiment méchant. Mais rappelons quelques dérivées. Nous savons que la dérivée de sec de 𝑡 par rapport à 𝑡 est tan 𝑡 sec de 𝑡. Et nous savons que la dérivée de tan 𝑡 par rapport à 𝑡 est sec au carré 𝑡. Cela signifie que la primitive de tan de 𝑡 sec de 𝑡 doit être sec de 𝑡. Et le sec au carré de primitive 𝑡 doit être tan 𝑡. Ainsi, l’intégrale de deux sec de 𝑡 tan 𝑡 doit être deux sec 𝑡. Et, bien sûr, c’est une intégrale indéfinie. Donc, nous allons ajouter une constante d’intégration 𝐴. Ensuite, l’intégrale de huit sec au carré 𝑡 doit être huit tan 𝑡. Et nous ajouterons une seconde constante d’intégration 𝐵. La combinaison de ces deux constantes d’intégration, nous voyons que 𝑓 de 𝑡 est égale à deux sec 𝑡 plus huit tan 𝑡 plus 𝐶.

C’est la solution générale à notre équation différentielle. Mais nous n’avons pas encore utilisé le fait que lorsque 𝑡 est égal à moins 𝜋 sur trois, notre fonction est égale à moins deux. Donc, nous allons remplacer ces valeurs. Et quand nous le faisons, nous obtenons moins deux égale à deux sec de moins 𝜋 sur trois plus huit tan moins 𝜋 sur trois plus 𝐶. Si nous rappelons que sec de 𝜋 sur moins trois est un sur cos de moins 𝜋 sur trois. Puis deux sec de moins 𝜋 sur trois doit être deux sur cos de moins 𝜋 sur trois, ce qui nous donne quatre. Alors huit tan de moins 𝜋 sur trois est moins huit racine trois. Donc moins deux est égal à quatre moins huit racine trois plus 𝐶.

Soustrayons quatre des deux côtés de cette équation et ajoutons huit racine trois aux deux côtés. Et nous voyons que 𝐶 est égal à huit racine trois moins six. Et nous avons obtenu la solution particulière à notre équation différentielle 𝑓 de 𝑡 est égale à deux sec 𝑡 plus huit tan 𝑡 plus huit racine trois moins six.

Maintenant, le vrai pouvoir de ce processus réside dans les exemples contextuels. Regardons-en un.

L’accélération, 𝑎 mètres par seconde carrée, d’une particule à l’instant 𝑡 secondes est donné par l’équation 𝑎 est égal à moins trois sinus de 4𝑡 pour 𝑡 est supérieur ou égal à zéro. La vitesse initiale de la particule est de trois mètres par seconde et son déplacement initial est moins deux mètres. Déterminer une équation pour le déplacement, 𝑠, de la particule à l’instant 𝑡 secondes.

Commençons par rappeler la relation entre accélération, vitesse et déplacement. Disons que nous avons une fonction pour le déplacement, 𝑠, en fonction de 𝑡. La vitesse d’un objet est son taux de variation du déplacement par rapport au temps. Et, bien sûr, lorsque nous considérons le taux de variation, nous pensons en fait aux dérivées. On peut donc dire que 𝑣 est égal à d𝑠 sur d𝑡. De même, l’accélération est définie comme le taux de variation de vitesse par rapport au temps. Donc, l’accélération est d𝑣 sur d𝑡. Et comme 𝑣 est elle-même la dérivée première de 𝑠 par rapport au temps, on peut dire que l’accélération peut aussi être appelée la dérivée seconde du déplacement par rapport au temps.

Maintenant, dans cette question, nous avons reçu une fonction d’accélération temporelle. Pour être en mesure de déterminer une fonction pour le déplacement, nous devrons faire le processus inverse pour la dérivation. Nous allons intégrer notre fonction d’accélération dans le temps. Cela nous donnera une fonction pour la vélocité. Ensuite, nous allons intégrer une fois de plus pour déterminer notre fonction de déplacement. Commençons donc par intégrer notre fonction d’accélération. Nous savons que 𝑣 doit être égal à l’intégrale de moins trois sinus quatre 𝑡 par rapport à 𝑡. Eh bien, rappelez-vous, nous pouvons éliminer tous les facteurs constants et nous concentrer sur l’intégration de la fonction par rapport à 𝑡. On peut donc dire que l’intégrale de moins trois sinus de quatre 𝑡 par rapport à 𝑡 est moins trois fois l’intégrale du sinus de quatre 𝑡 par rapport à 𝑡.

Ensuite, nous rappelons le résultat standard pour l’intégrale du sinus de 𝑎𝑥 par rapport 𝑥. Il est moins un sur 𝑎 cos 𝑎𝑥. Et ainsi, cela signifie que l’intégrale du sinus sur quatre 𝑡 doit être moins un quart de cos quatre 𝑡. Et, bien sûr, nous avons besoin de cette constante d’intégration. Je l’ai appelé 𝐴. En distribuant nos parenthèses, on voit donc que 𝑣 est égale à trois quarts cos de quatre 𝑡 plus 𝐵. Et la raison pour laquelle notre constante d’intégration est devenue 𝐵 est parce que nous avons développé. Nous l’avons multiplié par moins trois.

On nous dit que la vitesse initiale de la particule est de trois mètres par seconde. En d’autres termes, lorsque 𝑡 est égal à zéro, 𝑣 doit être égal à trois. Remplaçons donc ces valeurs dans notre fonction de vitesse. Cela nous donne trois égal trois quarts cos de zéro plus 𝐵. Et puisque le cos de zéro est un, on voit que trois est égal à trois quarts plus 𝐵. Pour résoudre en 𝐵, on retranche trois quarts des deux côtés de l’équation. Et nous constatons que 𝐵 est égal à neuf quarts. Et donc, nous avons constaté que la vitesse est égale à trois quarts cos de quatre 𝑡 plus neuf quarts.

Notre prochaine étape consiste à intégrer notre fonction de vitesse pour déterminer une fonction générale de déplacement. C’est l’intégrale indéfinie de trois quarts cos quatre 𝑡 plus neuf quarts par rapport à 𝑡. Cette fois-ci, nous rappelons que l’intégrale de cos de 𝑎𝑥 est un sur 𝑎 sinus de 𝑎𝑥. Ainsi, l’intégrale des trois quarts cos de quatre 𝑡 doit être trois quarts fois un quart sinus de quatre 𝑡. L’intégrale des neuf quarts est neuf quarts 𝑡. Nous avons donc une fonction générale pour le déplacement. Il est trois quarts fois un quart sinus de quatre 𝑡 plus neuf quarts 𝑡 plus, bien sûr, une constante d’intégration, 𝑐. Cela se simplifie en trois seizièmes sinus de quatre 𝑡 plus neuf quarts de 𝑡 plus 𝑐.

Il y a une information que nous n’avons pas encore utilisée. Le déplacement initial de la particule est moins deux mètres. Ainsi, lorsque 𝑡 est égal à zéro, non seulement la vitesse est de trois mètres par seconde, mais 𝑠 est égale à moins deux. Substituons ces valeurs dans notre équation. C’est moins deux égal trois seizièmes sinus de zéro et neuf quarts de zéro plus 𝑐. Et le sinus de zéro vaut zéro et les neuf quarts de zéro valent zéro. Nous voyons donc que moins deux est égal à 𝑐. Et donc, notre dernière étape consiste à remplacer 𝑐 par moins deux dans notre équation du déplacement. Et nous trouvons l’équation avec le déplacement 𝑠 de la particule à temps 𝑡 secondes est le sinus trois seizièmes de quatre 𝑡 plus neuf quarts 𝑡 moins deux.

Dans cette vidéo, nous avons vu que nous pouvons utiliser l’intégration pour déterminer des solutions générales aux équations différentielles. Nous avons également vu que nous pouvons utiliser les valeurs initiales pour évaluer la constante. Et cela s’appelle la solution particulière à l’équation différentielle.