Lesson Video: Probabilité expérimentale Mathematics

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Probabilité expérimentale

Dans cette vidéo, nous allons voir ce qu’est la probabilité expérimentale, et nous allons essayer d’utiliser des séries statistiques pour la calculer.

Commençons par nous rappeler que la probabilité est la possibilité ou la chance qu’un événement se produise. Par exemple, nous pourrions dire que la probabilité de pleuvoir demain est de 0.1, et que la probabilité d’obtenir cinq sur cette roulette est d’un quart. Les valeurs que nous avons données pour la probabilité seront toujours comprises entre zéro et un, et peuvent être écrites sous forme de fraction, de nombre décimal ou de pourcentage. Dans cette vidéo, nous allons parler de la probabilité expérimentale d’un événement. C’est ce qu’on appelle souvent la fréquence relative. Ici, nous faisons des estimations de la probabilité qu’un évènement se produise en nous basant sur les résultats d’un certain nombre d’expériences.

Imaginons que nous voulions trouver la probabilité expérimentale du lancement d’une pièce de monnaie, où nous obtenons pile ou face sur la pièce de monnaie. Nous pouvons établir un tableau pour enregistrer les résultats. Par exemple, si nous lançons la pièce de monnaie six fois et obtenons quatre faces et deux piles, nous pourrons enregistrer les résultats comme suit. Ici, la fréquence est le total dans chaque catégorie. Et notre valeur six nous donnerait le nombre total d’essais. En poursuivant l’expérience, nous pouvons obtenir huit faces, 12 piles et un total de 20 essais.

Dans une expérience beaucoup plus longue de 1000 essais, nous pourrions enregistrer les résultats suivants. Si nous voulions connaître la probabilité d’obtenir pile sur cette pièce de monnaie, nous pourrions utiliser la notation 𝑃 et ensuite pile entre parenthèses. Comme la fréquence des piles est de 518, nous l’inscrivons comme une fraction de 518 sur 1000, puisque notre fréquence totale est de 1000. Cette fraction peut être simplifiée davantage ou peut être écrite sous forme décimale, si nécessaire.

Nous pouvons maintenant voir la méthode générale pour trouver la probabilité expérimentale d’un événement, qui nous indique que la fréquence relative ou la probabilité expérimentale de l’événement E, où la probabilité de l’événement E est égale au nombre de fois que E se produit divisé par le nombre total d’essais. Avant de voir quelques questions, réfléchissons aux raisons pour lesquelles nous voudrions utiliser la probabilité expérimentale. Après tout, si nous regardons une pièce de monnaie et que nous voulions calculer la probabilité d’obtenir pile, alors nous pouvons utiliser le fait que puisque nous n’avons qu’une pile sur deux options possibles. Alors, la probabilité d’obtenir pile est sûrement égale à la moitié, ce qui est en fait la probabilité théorique d’obtenir pile sur une pièce de monnaie.

Donc, pour répondre à la question pourquoi nous utilisons une probabilité expérimentale, un scénario serait qu’il soit impossible de calculer la probabilité théorique, par exemple, si nous avions une pièce de monnaie biaisée ou un dé non équilibré. La probabilité expérimentale est largement utilisée dans la recherche, l’économie, la médecine et les sciences sociales. Dans ces cas, des enquêtes ou des expériences sont réalisées pour calculer la probabilité de certaines issues. En matière de probabilité expérimentale, nous devons nous assurer que nous disposons d’un échantillon suffisamment important pour donner les résultats les plus précis.

Maintenant, envisageons quelques questions sur la probabilité expérimentale.

Le tableau montre les résultats d’une enquête auprès de 20 étudiants pour savoir leur petit-déjeuner préféré. Quelle est la probabilité qu’un élève sélectionné au hasard préfère les œufs ?

Dans cette question, pour calculer la probabilité, nous allons calculer la probabilité expérimentale, qui est également appelée fréquence relative. Nous pouvons utiliser le calcul selon lequel la fréquence relative d’un événement E est égale au nombre de fois que E se produit divisé par le nombre total d’essais. Donc pour cette question, trouver la probabilité qu’un étudiant préfère les œufs, cela équivaut à trouver la fréquence relative d’un étudiant qui préfère les œufs et sera égale au nombre d’étudiants qui préfèrent les œufs sur le nombre total d’étudiants.

Nous utilisons ensuite le tableau pour déterminer qu’il y a 10 élèves qui préfèrent les œufs et 20 élèves au total. Même si l’on ne nous avait pas indiqué que les 20 élèves étaient interrogés, nous aurions pu calculer cette valeur en additionnant les valeurs de 10, deux et huit dans le tableau. Nous pouvons alors simplifier notre fraction 10 sur 20 en un demi. Ainsi, notre réponse finale en tant que nombre décimal pour la probabilité qu’un étudiant choisi au hasard préfère les œufs est de 0.5. Dans ce cas, notre fraction 10 sur 20, un demi, et la décimale 0.5 seraient des réponses également valables pour la probabilité.

Lors d’un festival, un jeu a mis les gens au défi de lancer une balle de baseball dans un pneu. Parmi les 68 premiers participants, trois personnes ont remporté le prix d’or, 12 le prix d’argent et 15 le prix de bronze. Quelle est la probabilité expérimentale de ne gagner aucun des trois prix ?

Commençons par sélectionner les d’information clés. Trois personnes ont gagné le prix d’or, 12 personnes ont gagné le prix d’argent et 15 personnes ont gagné le prix de bronze. Cependant, on nous dit que 68 personnes ont essayé le jeu. Et si nous additionnons les trois, 12 et 15 personnes qui ont gagné des prix, cela donne 30, ce qui signifie qu’il doit y avoir 38 personnes qui n’ont pas gagné de prix puisque 68 moins 30 nous donne 38.

Mais la question n’est pas simplement de savoir combien de personnes n’ont pas gagné de prix, mais plutôt de connaître la probabilité expérimentale. On peut rappeler que pour calculer la probabilité expérimentale d’un événement E. Celle-ci est égale au nombre de fois que E se produit divisé par le nombre total d’essais. Nous pouvons répondre à cette question en utilisant deux méthodes différentes possibles, mais chacune d’entre elles utilisera toujours la même formule.

Dans la première méthode, nous pouvons écrire que la probabilité de ne gagner aucun prix est égale au nombre de non gagnants divisé par le nombre de participants. Et donc, comme nous avons 38 personnes qui n’ont pas gagné de prix divisé par 68 personnes au total, ce serait la fraction 38 sur 68. Nous pouvons alors simplifier encore cette fraction pour donner 19 sur 34. Enregistrons cette valeur ici pour que, lorsque nous vidons l’écran et que nous essayons la deuxième méthode, nous puissions vérifier que les deux donneraient le même résultat.

Pour la deuxième méthode, nous allons utiliser la règle de la probabilité totale, qui nous dit que la somme de toutes les probabilités est égale à un. Dans la méthode que nous venons de voir, nous avons calculé la probabilité de ne gagner aucun prix. Dans la deuxième méthode, nous allons calculer la probabilité de gagner un prix et la soustraire de un. Donc, dans notre deuxième méthode, nous allons calculer la probabilité de gagner un prix, qui est égale au nombre de gagnants divisé par le nombre de participants.

En additionnant tous les gagnants, on obtient 30. Et comme nous avons encore 68 personnes, alors ce sera 30 sur 68. Nous pouvons alors simplifier pour obtenir la fraction 15 sur 34. Et maintenant, en utilisant notre règle de probabilité totale, la probabilité de ne pas gagner de prix est égale à un moins 15 sur 34, soit 19 sur 34, puisque nous pourrions écrire un comme la fraction 34 sur 34. Par conséquent, l’utilisation de l’une ou de l’autre méthode nous donnerait une probabilité expérimentale de ne gagner aucun prix de 19 sur 34.

Dans l’exemple suivant, nous allons voir comment nous pouvons appliquer la probabilité expérimentale d’un échantillon pour obtenir un résultat pour l’ensemble de la population.

Une usine de boissons gazeuses produit 1400 bouteilles par jour. L’usine a testé un échantillon de 400 unités et a constaté que six d’entre elles étaient défectueuses. En calculant la probabilité expérimentale qu’une bouteille soit défectueuse, déterminez le nombre de bouteilles défectueuses auquel on pourrait s’attendre dans une journée.

Nous avons donc ici une usine de boissons qui produit 1400 bouteilles par jour. On veut vérifier combien sont défectueuses, mais on ne vérifie pas chaque bouteille. Au lieu de cela, on prélève un échantillon de 400 bouteilles et on les vérifie, constatant que six de ces 400 bouteilles sont défectueuses. On nous demande ici de calculer la probabilité expérimentale qu’une bouteille soit défectueuse.

Nous pouvons rappeler que la probabilité expérimentale d’un événement E est égale au nombre de fois que E se produit sur le nombre total d’essais. Dans cette question, pour déterminer la probabilité d’obtenir une bouteille défectueuse, nous calculons le nombre de bouteilles défectueuses sur le nombre total de bouteilles, qui sera de six sur 400, puisque nous avions six bouteilles défectueuses dans notre échantillon de 400. Nous prenons maintenant la probabilité d’obtenir une bouteille défectueuse dans notre échantillon et nous l’appliquons à la population plus large des 1400 bouteilles fabriquées à l’usine. Et donc, pour calculer le nombre de bouteilles défectueuses, nous prenons notre probabilité six sur 400 et nous la multiplions par 1400. Nous pourrions alors simplifier cette multiplication en 42 sur deux, ce qui nous donnerait une réponse finale selon laquelle 21 bouteilles seraient défectueuses chaque jour.

Dans l’exemple suivant, nous verrons comment une série statistique dans un tableau peut être utilisée pour trouver une probabilité expérimentale. Il faut faire particulièrement attention dans cette question pour sélectionner les valeurs appropriées.

Le tableau montre les préférences musicales d’un groupe d’hommes et de femmes. Calculez la fréquence relative d’une personne choisie au hasard qui est une femme qui préfère la musique country. Si nécessaire, arrondissez vos réponses au millième près. Calculez la fréquence relative d’une femme choisie au hasard qui préfère la musique rock. Si nécessaire, arrondissez vos réponses au millième près.

Commençons par regarder le tableau. Nous pouvons voir, par exemple, qu’il y a 13 femmes qui préfèrent la musique country et 24 femmes qui aiment le rock. Nous pourrions donc déduire qu’il doit y avoir 37 femmes dans ce groupe, puisque c’est la somme de 13 et 24. De même, pour calculer le nombre total d’hommes dans ce groupe, puisqu’il y en a huit qui aiment la country et 18 qui aiment le rock, alors il doit y avoir 26 hommes dans ce groupe. Nous pourrions également calculer le nombre de personnes qui aiment la musique country. Puisque 13 femmes et 8 hommes l’aiment, cela fait 21 personnes au total. De même, nous pouvons additionner la colonne du rock pour déduire que 42 personnes aiment le rock.

Nous pouvons ensuite calculer le nombre total de personnes dans le groupe en additionnant le total des hommes et le total des femmes, ou en additionnant le total de ceux qui aiment la country et le total de ceux qui aiment le rock. Nous pouvons donc voir que l’une ou l’autre de ces méthodes nous donne 63 personnes dans le groupe. Voyons donc notre première question pour calculer la fréquence relative.

Nous pouvons rappeler que pour trouver la fréquence relative d’un événement E, celle-ci est égale au nombre de fois que E se produit sur le nombre total d’essais. Donc, pour trouver la fréquence relative des femmes qui aiment la musique country, nous écrivons le nombre de femmes qui aiment la musique country sur le nombre total de personnes. Et donc, notre fréquence relative est égale à 13 sur 63. Et comme on nous demande d’écrire nos réponses au millième près, nous changeons cette fraction en un nombre décimal. Et en utilisant notre calculatrice, nous pouvons l’évaluer comme 0.206349 périodique. Arrondir au millième près signifie que nous vérifions notre quatrième chiffre décimal pour voir s’il est égal ou supérieur à cinq. Et sinon, notre réponse reste 0.206. Et voici notre réponse pour la première partie de la question.

Nous pouvons faire un peu d’espace pour répondre à la deuxième question. Ici on nous demande de trouver la fréquence relative d’une femme choisie au hasard qui préfère la musique rock. Donc, pour trouver cette fréquence relative, nous avons besoin du nombre de femmes qui aiment le rock. Et cette fois, nous l’écrivons sur le nombre total de femmes et non sur le nombre total de personnes, parce qu’on nous dit que nous sélectionnons parmi les femmes et non parmi le groupe de personnes. Et donc, notre fréquence relative en tant que fraction sera de 24 sur 37. En forme décimale, cela sera égal à 0.648 périodique. Comme nous voulons arrondir au millième près, nous pouvons considérer que cela est égal à 0.648648 et ainsi de suite. Il est donc un peu plus facile de vérifier notre quatrième chiffre décimal. Et comme ce chiffre est égal ou supérieur à cinq, notre valeur sera arrondie à 0.649. Nous avons donc notre réponse pour la deuxième partie de la question.

Et maintenant, résumons ce que nous avons appris dans cette vidéo. La probabilité expérimentale d’un événement E est une estimation de la probabilité de l’événement, la probabilité de E, basée sur les données d’un certain nombre d’essais ou d’expériences. La probabilité expérimentale ou fréquence relative est donnée par la fréquence relative de l’événement E égale le nombre de fois que E se produit sur le nombre total d’essais. Nous avons vu dans un de nos exemples qu’il peut être utile d’utiliser la règle de la probabilité totale, qui nous dit que la somme des probabilités de tous les résultats possibles est égale à un.