Video Transcript
Dans cette vidéo, nous allons résoudre certains composés linéaires inégalités et donner à nos réponses dans une variété de formats, en utilisant des symboles d'inégalité, des figures de droite des nombres, des intervalles, et la notation des ensembles. Nous commencerons par des solutions entières positives plus simples et passerons à des exemples plus difficiles impliquant des solutions négatives et rationnelles, ou fractionnaires.
Tout d'abord, récapitulons rapidement la notation. Nous avons donc 𝑥 est strictement supérieur à trois, c'est une inégalité. La valeur de 𝑥 est strictement supérieure à trois, mais elle ne peut pas être égale à trois. Et nous pouvons représenter cela sur un diagramme linéaire, ou un graphique, en utilisant le cercle ouvert au-dessus des trois, car le 𝑥 ne peut pas être égal à trois. Mais 𝑥 peut prendre n'importe quelle valeur supérieure à trois, c'est donc cette région ici.
Nous pouvons également représenter cela en utilisant la notation d'intervalle. Ainsi, les parenthèses courbes représentent un intervalle fermé. Donc, cet intervalle descend à, mais ne comprend pas trois. À l'extrémité supérieure, nous allons à l'infini, mais nous avons toujours fermé cela avec une parenthèse, ou un crochet rond, plutôt qu'avec un crochet carré. Mais nous reviendrons sur les crochets dans un instant.
Et nous pouvons également le représenter en utilisant la notation d'ensemble. Nous avons donc l'ensemble des 𝑥, tels que 𝑥 est un membre des nombres réels où 𝑥 a une valeur supérieure à trois. Maintenant, vous avez peut-être vu d’autres méthodes de représentation et notation, mais c'est celui que nous allons utiliser dans cette vidéo.
Bon, regardons une autre inégalité, 𝑥 est inférieur ou égal à cinq. Ainsi, les valeurs valides de 𝑥, 𝑥 pourraient être égales à cinq, ou être quelque chose de plus petit que cela. Il pourrait donc s'agir de quatre virgules neuf récurrentes, ou ce pourrait être moins l'infini. Donc, sur une droite graduée, nous mettons un point solide au-dessus des cinq pour dire que cinq est inclus. Il peut être égal à cinq et / ou il peut être inférieur à cela, nous avons donc une grosse flèche pointant vers la gauche. Et dans le format d'intervalle, nous utilisons maintenant le crochet à droite des cinq et cela indique le fait que les cinq sont inclus dans cet intervalle. Et parce que nous descendons à moins l'infini, l'infini est toujours entouré de parenthèses rondes. Et en notation d'ensemble, c'est l'ensemble des 𝑥 tels que 𝑥 est réel et inférieur ou égal à cinq.
Alors maintenant, considérons cette situation où nous avons cette inéquation linéaire composée. Fondamentalement, nous disons que 𝑥 pourrait être supérieur à trois, mais il doit également être inférieur ou égal à cinq. Donc, nous combinons les deux ci-dessus, et nous pouvons représenter que de cette manière. Donc, trois est strictement inférieur à 𝑥 est inférieur ou égal à cinq. Donc 𝑥 peut être égal à cinq, mais il doit toujours être supérieur à trois tout le temps. Donc supérieur à trois, inférieur ou égal à cinq, cela signifie que nous permettons qu'il soit égal à cinq, alors mettez un point solide au-dessus des cinq. C'est un point ouvert au-dessus des trois, car il ne doit pas être égal à trois. Mais il peut y avoir n'importe quoi entre ces deux, alors nous les rejoignons avec une droite ici.
En utilisant la notation d'intervalle, trois et cinq sont à chaque extrémité de l'intervalle. Mais les cinq sont inclus dans l'intervalle, nous avons donc mis un crochet autour de cela. Et les trois ne sont pas inclus dans l'intervalle, nous avons donc mis une parenthèse ronde autour de cela. Et en notation d'ensemble, nous avons l’ensemble des 𝑥 tels que 𝑥 est réel et est compris entre trois mais - et inférieur ou égal à cinq.
D'accord. Donc, c'est la notation, nous allons être à l’aide de nos questions. Allons de l'avant et examinons quelques questions.
Donc, nous avons obtenu trouver toutes les valeurs de 𝑥 qui vérifient l’inéquation composée de quarante-cinq moins 𝑥 est strictement supérieure à 𝑥 moins cinq est supérieur ou égal à neuf moins 𝑥. Donc, cela nous dit que ce morceau est plus grand que ce morceau, et ce morceau est, ce morceau ici, est supérieur ou égal à ce morceau. Donc, si longtemps si vous faites la même chose pour chacun d'eux, ce genre de pas, vous savez, grand, légèrement plus petit, légèrement plus petit, sera maintenu. Maintenant, nous devons être prudents cependant, si nous multiplions ou divisons tout par un nombre négatif, nous devons inverser les signes. On ne va pas regarder ça pour l'instant. Mais passons à travers et essayons d'obtenir 𝑥 de lui-même au milieu et essayons d'éliminer 𝑥 des extérieurs.
Maintenant, voyons d'abord que j'ai un 𝑥 - un moins 𝑥 ici, un moins 𝑥 ici, et j'ai aussi un 𝑥 ici. Donc, si j'ajoute 𝑥 à chacun d'eux, alors les inégalités seront maintenues. Et il éliminera le moins 𝑥 d'ici et ici, donc moins 𝑥, plus 𝑥 est va être nul. Donc, je vais ajouter 𝑥 à chacune de ces sections. Et quarante-cinq moins 𝑥 plus 𝑥 nous laisse juste avec quarante-cinq. C'est donc plus que. J'ai donc 𝑥 moins cinq, ajoutez un autre 𝑥, ça fera deux 𝑥 moins cinq. Et la dernière section, j'ai neuf moins 𝑥, ajoutez un 𝑥, qui est juste va me laisser avec neuf.
D'accord. Donc, je l’ai maintenant seulement eu 𝑥 dans la partie centrale, de sorte que c'est un peu de progrès. Mais j'ai deux 𝑥 et j'ai moins cinq. Donc, je vais ajouter cinq à chaque section suivante, pour éliminer le moins cinq dans le milieu peu. Donc quarante-cinq plus cinq nous donne cinquante, deux 𝑥 moins cinq plus cinq nous laissent juste deux 𝑥, et neuf plus cinq nous donnent quatorze. Alors maintenant, je veux juste avoir un 𝑥 au milieu, donc je peux tout à moitié. Si j'enlevais 𝑥 à chacun d'eux, eh bien, ici, j'annulerais le travail que j'ai fait ici, mais je finirais aussi par 𝑥 ici et ici. Donc, j’obtiens juste la moitié tout au long. Et la moitié de cinquante est vingt-cinq, et la moitié de deux 𝑥 est 𝑥, et la moitié de quatorze est sept. Donc ça marche vraiment, car imaginons que j'en avais deux 𝑥 et j'en avais quatorze. Nous disons que deux 𝑥 est supérieur ou égal à quatorze, nous disons donc que c'est plus grand, ou qu'il pourrait être égal à cela. Maintenant, si je le coupe en deux et que je le coupe en deux, parce que nous avons la moitié de la plus grande quantité et la moitié de la plus petite, ce rapport dont l'un est plus grand et lequel est plus petit sera toujours maintenu.
C'est donc en quelque sorte notre première solution, vingt-cinq est strictement supérieur à 𝑥 est supérieur ou égal à sept. Maintenant, nous avons souvent tendance à écrire cela dans l'autre sens. Nous avons tendance à commencer par les plus petits nombres-les sur la gauche et le genre de notre chemin vers le haut, la cause alors que les droites avec les graphiques que nous allons tirer. Donc, je vais juste tourner qu'autour. Donc sept est inférieur ou égal à 𝑥 est strictement inférieur à vingt-cinq. Nous avons donc inversé le tout et nous avons également inversé chaque signe individuel. Donc, nous allons représenter que sur la droite graduée. Les valeurs critiques sont donc sept et vingt-cinq. Nous les avons donc mis sur cette droite graduée et maintenant nous devons essayer de travailler nos 𝑥. Eh bien, 𝑥 est supérieur ou égal à sept. Il est donc permis d'être égal à, nous avons donc un point solide. Et puis c'est plus grand que, donc c'est à droite de ça. Maintenant 𝑥 ne peut être égal à vingt-cinq ans, nous sommes donc va mettre un point a- ouvert au- dessus. Mais cela doit être inférieur à cela, alors nous allons à gauche de cela. Donc cette droite va rejoindre cette droite ici, et c'est notre intervalle.
Maintenant au format d'intervalle, sept et vingt-cinq sont les extrémités de l'intervalle. Maintenant, il n'est pas permis d'être égal à vingt-cinq, nous utilisons donc une parenthèse ronde pour cela. Et il est autorisé d'être égal à sept, nous utilisons donc un crochet pour représenter cela.
Et en notation d'ensemble, 𝑥 est l'ensemble où 𝑥 est réel et il est compris entre sept et vingt-cinq.
Donc, pour le numéro deux, trouvez toutes les valeurs de 𝑥 qui satisfont deux 𝑥 est strictement inférieur à cinq 𝑥 plus neuf est strictement inférieur à deux 𝑥 plus trente-neuf. Nous avons donc une autre inéquation linéaire composée à résoudre. Donc, nous allons prendre la même approche que précédemment, essayer d'obtenir 𝑥 lui-même au milieu. Maintenant, ce que nous pouvons voir, c'est que nous avons deux 𝑥 ici, nous avons cinq 𝑥 ici, nous avons deux 𝑥 ici. Donc, si nous enlevons deux 𝑥 de chacun de ceux-ci, et nous supprimons la même chose de chaque sorte que les inégalités sont encore va correspondre, alors que ce va éliminer 𝑥 de la gauche et de la droite. Et donc sur la gauche, nous avons deux 𝑥 moins deux 𝑥, eh bien ce est égal à zéro. Et c'est moins que. Mais cinq 𝑥 moins deux 𝑥 est trois 𝑥, et nous avons toujours obtenu notre plus neuf. Et deux 𝑥 moins deux 𝑥 est égal à zéro, ce qui nous laisse encore avec nos trente-neuf. Donc zéro est strictement inférieur à trois 𝑥 plus neuf est strictement inférieur à trente-neuf. Maintenant, nous voulons nous débarrasser - eh bien, nous voulons essayer d'obtenir le 𝑥 par lui-même, donc nous devons nous débarrasser du plus neuf et nous devons nous débarrasser des temps trois. Donc la première chose que je vais faire, c'est soustraire neuf de tout. Maintenant, zéro moins neuf est moins neuf, trois 𝑥 ta- moins- plus neuf moins neuf est à seulement trois 𝑥, puis trente-neuf moins neuf à seulement trente. Et enfin, nous avons trois fois 𝑥, donc nous voulons tout diviser par trois, donc nous n'avons qu'une seule fois 𝑥. Et un tiers de moins neuf est moins trois, un tiers de trois 𝑥 est juste un 𝑥 et un tiers de trente est dix. Donc moins trois est strictement inférieur à 𝑥 est strictement inférieur à dix. Voilà donc notre première réponse.
Maintenant, nous allons prendre ce format d'inégalité, et tracer notre droite graduée ou graphique. Nous examinons donc les valeurs de 𝑥 et les valeurs critiques sont moins trois et dix. Je vais juste mettre zéro au milieu de là, quelque part aussi. Maintenant 𝑥 est - doit être plus grand que moins trois, la plus grande extrémité du signe, du signe d'inégalité, est contre la 𝑥 et la plus petite extrémité est contre le moins trois. Donc 𝑥 est à droite de moins trois, il ne peut pas être égal à lui, nous avons donc un cercle ouvert au-dessus des moins trois. 𝑥 est strictement inférieur à dix, ne peut pas être égal à dix, c'est donc un cercle ouvert au-dessus des dix. Mais il est permis d'avoir n'importe quelle valeur entre ceux-ci. Voilà à quoi ressemblerait notre solution de droite graduée.
En tant qu'intervalle, eh bien les valeurs critiques sont à nouveau moins trois à une extrémité et dix à l'autre. Et dans les deux cas, nous ne sommes pas autorisés à atteindre ces valeurs, donc nous allons les joindre à ces parenthèses rondes.
Et puis en notation d'ensemble, nous avons l’ensemble des 𝑥 tels que 𝑥 est réel et il est entre trois et moins dix, sans compter les trois et moins dix. Donc, ces intervalles peuvent également aller dans la région négative.
Passons maintenant au monde des fractions.
Et donc nous devons trouver toutes les valeurs de 𝑥 qui satisfont les deux et deux tiers moins 𝑥 est inférieur ou égal à deux est inférieur ou égal à trois ans et demi moins 𝑥. Nous avons donc 𝑥 ici et ici, mais nous voulons 𝑥 ici, idéalement. Donc, je vais éliminer le 𝑥 des deux parties extérieures. Je vais juste ajouter 𝑥 à chaque section. Et deux et deux tiers moins 𝑥 plus 𝑥 ne représentent que deux et deux tiers, ce qui est inférieur ou égal à deux. Si j'ajoute 𝑥, appelons cela deux plus 𝑥, et si j'ajoute 𝑥 à la dernière section, trois et demi moins 𝑥 plus 𝑥 n'est que de trois ans et demi. Alors maintenant, je me suis débarrassé de mes 𝑥 de l'extérieur et j'ai mon 𝑥 au milieu. Tout ce que je dois faire est de soustraire ces deux de chacun d'eux et j'aurai juste 𝑥 seul au milieu. Donc, deux et deux tiers moins deux, c'est juste deux tiers, et deux plus 𝑥 moins deux, c'est juste 𝑥, et trois et demi, deux en moins est un et demi.
Il y a donc notre inéquation linéaire composée simplifiée et elle implique des fractions cette fois. Donc, en dessinant le graphique, nous pensons à nos valeurs 𝑥 et les valeurs critiques sont les deux tiers et un et demi. Et nous pourrions mettre zéro là-dessus, si nous voulons aussi. Et nous pourrions même en mettre une sorte ici, si nous le voulions, pas besoin de le faire. Nous sommes autorisés à être égaux aux deux tiers, donc ça va être un point solide. Nous sommes autorisés à être égaux à un et demi, donc ça va être un point solide. Et 𝑥 peut prendre toute valeur entre les deux, de sorte que ce que notre graphique est va ressembler.
Dans le format d'intervalle, les deux tiers et un et demi sont les deux extrémités de cet intervalle. Ces deux valeurs sont incluses, nous utilisons donc les crochets pour indiquer que nous les incluons.
Et puis en notation d'ensemble, nous avons l’ensemble des 𝑥 tels que 𝑥 est réel et 𝑥 est compris entre les deux tiers et un et demi. Et cela peut être égal aux deux tiers et un et demi.
Donc, juste un autre exemple, trouvez toutes les valeurs de 𝑥 qui satisfont les inégalités trois 𝑥 plus cinq est strictement inférieur à onze ou deux 𝑥 moins trois est supérieur ou égal à sept. Nous avons donc en fait deux régions distinctes ici et quand nous-quand nous traversons et nous les simplifions, nous le verrons en pratique. Donc, lorsque vous avez deux inégalités comme celle-ci, nous devons simplifier chacune individuellement. Parfois, vous pouvez les réintégrer dans une inégalité composée et parfois vous ne pouvez pas. Alors allons-y et faisons cela. Nous ferons d'abord celui de gauche. Nous avons trois 𝑥 plus cinq, c'est moins de onze. Donc, si j'en enlevais cinq des deux côtés, je me retrouverais avec seulement trois 𝑥 sur le côté gauche. Donc, trois 𝑥 est strictement inférieur à six. Maintenant, si je divise tout par trois, je sais que 𝑥 doit être inférieur à deux. Alors regardons l'autre inégalité maintenant. Donc, la première chose que nous allons faire est d’ajouter trois à deux côtés, pour se débarrasser de ce moins trois du côté gauche. Rappelez-vous maintenant, nous pouvons le faire, nous pouvons en ajouter trois au lieu d'en retirer cinq car il s'agit d'une inégalité complètement distincte. Donc, ajouter trois des deux côtés nous donne deux 𝑥 est supérieur ou égal à dix. Maintenant, la division par deux me dit que 𝑥 est supérieur ou égal à cinq. Donc 𝑥 peut être inférieur à deux ou supérieur ou égal à cinq. Donc, deux et cinq sont les valeurs critiques. 𝑥 peut être supérieur ou égal à cinq, il peut donc être égal à cinq ou supérieur à ; donc il peut être dans cette région ici. Et il ne peut pas être égal à deux mais il peut être inférieur à deux, nous avons donc cette région ici. Il s'agit donc d'une région non continue, nous devons donc représenter cela comme deux inégalités distinctes. Les valeurs acceptables pour 𝑥 sont donc inférieures à deux ou supérieures ou égales à cinq.
Maintenant, dans ce cas, en notation intervalle, nous avons effectivement eu à représenter deux intervalles différents et nous allons représenter l'union de ces deux intervalles. Donc, celui de gauche est tout, de l'infini jusqu'à deux. Et celui de droite est tout, de cinq à plus l'infini. Mais nous devons être prudents à ce sujet, que les deux et les cinq soient inclus ou non. J'ai donc écrit mes valeurs critiques et nous allons les unir ensemble. Les infinis y sont toujours entourés de parenthèses rondes. Maintenant, les deux ne sont pas inclus, nous devons donc y inclure la parenthèse ronde. Les cinq sont inclus, nous écrivons donc la parenthèse carrée, ou le crochet carré, autour des cinq. Voilà donc comment nous représenterions cela comme l'union de deux intervalles.
Maintenant, en notation d'ensemble, nous avons l’ensemble des 𝑥 tels que 𝑥 est réel et 𝑥 est strictement inférieur à deux ou 𝑥 est supérieur ou égal à cinq.
Alors, nous allons simplement résumer ce que nous avons fait des inéquations linéaires composées alors. Nous pouvons donc ajouter ou soustraire la même chose de chacun. Dans ce cas, nous avons ajouté 𝑥 à chacun, mais nous aurions pu en ajouter cinq à chacun. Tant que l’on ajoute ou retranche la même chose, alors ces inégalités vont être maintenues. Et nous avons également vu que nous pouvons doubler ou diviser par deux ou tripler ; nous pouvons multiplier ou diviser par le même pour chacun, et à nouveau maintenir ces inégalités. La chose à surveiller est bien, si vous multiplier ou diviser par un nombre négatif, alors vous allez devoir échanger les signes autour de sorte qu'elles pointent dans une direction différente. Et tout ce qui addition, soustraction, multiplication, division, vise à obtenir un seul 𝑥 lui-même dans la partie médiane de ce lin - de cette inéquation composée. Et enfin, vous pouvez utiliser un intervalle, un graphique, une droite graduée, un ensemble ou une notation d'inégalité, pour présenter votre réponse comme un choix entre différentes façons de présenter.
