Vidéo de la leçon: Multiplier et diviser les racines carrées Mathématiques • Deuxième préparatoire

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons multiplier les expressions radicales et simplifier les résultats. Les expressions radicales, rappelez-vous, sont des formes exactes de nombres qui impliquent des radicaux ou des signes racine, comme la racine de cinq ou sept racine carrée de trois et des trucs comme ça.

Notre première question est alors d’exprimer cinq racine de cinq fois la racine carrée de 45 dans sa forme la plus simple.

Maintenant, les radicaux dans leur forme la plus simple ont les radicandes, ces morceaux ici sous les signes racine, aussi petits qu’ils puissent être après avoir factorisé tous les facteurs carrés. Donc tout d’abord, on a cinq contre la racine de cinq ce qui signifie cinq fois la racine de cinq. Et ensuite, nous devons simplifier la racine carrée de 45. Et maintenant, nous allons essayer de trouver le plus grand facteur carré que nous pouvons trouver de 45. Et la technique de base pour ce faire est d’essayer de diviser par deux, puis par trois, puis par quatre, puis par cinq, et ainsi de suite. Et voyez si l’un des résultats que nous obtenons sont des nombres carrés. Et le premier qu’on rencontre aussi va être le plus grand facteur carré. Donc 45 divisé par deux ne fonctionne pas. 45 divisé par trois est 15. Mais ce n’est pas un nombre carré. 45 divisé par quatre ne va pas dans 45 exactement. 45 divisé par cinq est neuf. Et c’est un nombre carré. C’est donc notre plus grand facteur carré. Donc, je vais réécrire 45 comme neuf fois cinq.

Et maintenant, racine carrée de neuf fois cinq, nous allons diviser en racine de neuf fois racine de cinq. Et la raison de cela est que la racine carrée de neuf est trois. Neuf est un carré parfait, donc la racine carrée de neuf n’est que trois. Maintenant, avec la multiplication, peu importe dans quel ordre vous multipliez les choses ensemble. Vous allez obtenir le même résultat. Donc, je vais échanger la racine de cinq et trois au milieu et multiplier les choses ensemble dans cet ordre. Nous avons donc cinq fois trois est 15. Et la racine carrée de cinq fois la racine carrée de cinq est juste cinq. Et 15 fois cinq, c’est 75, donc la réponse est 75.

La question suivante est alors d’exprimer quatre racine de sept fois deux racine de 49 dans sa forme la plus simple.

Maintenant, deux ou trois choses quand nous regardons cela, le quatre contre la racine carrée de sept signifie quatre fois la racine carrée de sept. Et le deux juste contre la racine carrée de 49 signifie deux fois la racine carrée de 49. Mais aussi 49 est un carré parfait, donc la racine carrée de 49 est exactement sept. Nous pouvons donc réécrire ceci en tant que racine de quatre fois sept fois deux fois sept. Et encore une fois, avec la multiplication, peu importe dans quel ordre vous multipliez les choses ensemble. Vous allez obtenir la même réponse. Donc, je vais réorganiser cela à quatre fois deux fois sept fois racine de sept. Et quatre fois deux font huit et huit fois sept font 56. C’est donc 56 racine carrée de sept. Et si nous regardons sept, c’est - en termes de diviseurs, seulement un et sept sont des diviseurs. Donc, évidemment, un est un nombre carré. Mais si on factorise celui-là, ça ne va pas nous permettre de rendre ce radicande plus petit. Donc 56 racine carrée de sept est notre réponse.

Et la question suivante est, utilisez la propriété de distributivité de la multiplication pour développer cinq fois trois moins deux fois la racine carrée de cinq.

Maintenant, la propriété de distributivité de la multiplication nous dit que cela signifie que cinq fois trois moins cinq fois deux racine de cinq. Et cinq fois trois font 15. Et cinq fois deux racine de cinq, eh bien cela signifie cinq fois deux fois racine de cinq. Et cinq fois deux font 10, c’est donc 10 racine de cinq. Nous avons donc 15 moins 10 racine de cinq. Et cela ne simplifiera pas davantage, c’est notre réponse.

Maintenant, la question suivante est de simplifier trois racine carrée de trois fois deux plus cinq racine carrée de trois.

Donc, nous allons utiliser la propriété de distributivité de la multiplication pour calculer trois racine de trois fois deux. Puis nous allons ajouter trois racine carrée de trois fois cinq racine carrée de trois. Maintenant, réécrivons cela avec tous les signes de multiplication appropriés. Et échangeons un peu les choses, car peu importe l’ordre dans lequel vous multipliez les choses. Cela nous donne donc trois fois deux fois racine carrée de trois plus trois fois cinq fois racine carrée de trois fois racine carrée de trois. Eh bien, trois fois deux font six. Donc, ce morceau devient six fois racine carrée de trois ou juste six racine carrée de trois. Et trois fois cinq font 15. Et la racine carrée de trois fois la racine carrée de trois n’est que trois. Donc, cela nous donne six racine de trois plus 15 fois trois. Eh bien, 15 fois trois font 45. Il est donc important de noter l’ordre des opérations. Mais tout cela se simplifie à six racine de trois plus 45.

Maintenant, notre prochaine question est jonchée de signes négatifs. Donc, nous devons être vraiment très prudent.

Nous devons simplifier moins trois racine de deux fois moins quatre moins deux racine de deux.

Tout d’abord, je vais mettre des parenthèses autour des nombres négatifs. Juste pour nous assurer que nous savons qu’ils sont négatifs, et nous n’oublions pas le signe négatif. Puis, nous allons utiliser la propriété de distributivité de la multiplication pour calculer trois racine de deux fois moins moins quatre. Ensuite on va retirer moins trois racine de deux fois deux racine de deux. Maintenant, ce morceau ici signifie simplement moins trois fois racine de deux fois moins quatre. Et parce qu’ils sont multipliés ensemble, je peux les mettre dans l’ordre que je veux. De même, avec ces termes ici, je vais rassembler tous les termes radicaux et tous les autres termes ensemble.

Bon, décomposons ces choses et multiplions-les ensemble. J’ai donc moins trois fois moins quatre, ce qui donne plus 12. Et cela est multiplié par la racine de deux. Ensuite, nous avons moins trois fois deux, ce qui est moins six. Et la racine carrée de deux fois la racine carrée de deux, qui n’est que deux. Donc, cette expression globale à droite ici devient moins six fois deux, ce qui est moins 12. Nous nous sommes donc retrouvés avec 12 racine de deux à retirer moins 12. Eh bien, si nous retirons le moins 12, c’est la même chose que d’ajouter 12. Et la racine de deux ne se simplifiera plus davantage, c’est donc notre réponse, 12 racine de deux plus 12.

Ensuite, arrêtez-vous, nous devons simplifier deux ensembles de parenthèses multipliés ensemble, racine carrée de trois plus cinq et racine carrée de trois moins quatre. Et pour cela, nous allons multiplier chaque terme dans la première parenthèse de chaque terme dans la deuxième parenthèse comme cela. Cela nous donne donc racine carrée de trois fois racine carrée de trois. Puis nous avons obtenu racine de trois fois moins quatre. Donc, nous allons retirer racine carrée de trois fois quatre, que nous allons écrire quatre racine carrée de trois. Cela devient donc moins quatre racine carrée de trois. Ensuite, nous avons plus cinq fois racine de trois, donc c’est cinq racine de trois.

Et enfin, cinq fois moins quatre, ce qui donne moins 20. Et en regardant ceux-ci, nous avons racine carrée de trois fois racine carrée de trois. Eh bien, ce n’est que trois. Ensuite, nous avons moins quatre racine de trois. Puis nous ajoutons cinq racine de trois à cela. Donc ça va nous donner un plus racine de trois ou juste racine de trois, comme nous pourrions l’écrire. Et enfin, nous venons d’obtenir un moins 20 à la fin. Donc, en combinant des termes similaires, nous avons trois moins 20 est moins 17. Puis, nous avons juste un racine carrée de trois seul. La réponse est donc moins 17 plus racine carrée de trois. Et comme toutes ces questions, peu importe dans quel ordre vous écrivez ces termes. Donc, vous pourriez écrire racine carrée de trois moins 17. En fait, il y a un cas pour faire cela parce que nous n’effectuez pas souvent des calculs avec des signes négatifs comme ça. Donc, la racine carrée de trois moins 17 est une autre bonne réponse.

Notre question suivante est donc sept plus racine de cinq fois sept moins racine de cinq.

Maintenant, il y a deux méthodes différentes pour approcher cela. Donc, nous les ferons toutes les deux, puis vous pouvez comparer entre les deux. La première méthode consiste à multiplier simplement chaque terme de la deuxième parenthèse par chaque terme de la première parenthèse. Et cela nous donne sept fois sept est 49. Sept fois moins racine de cinq est moins sept racine de cinq. Ensuite, racine de cinq fois sept, eh bien je vais faire l’inverse. Sept fois racine de cinq, donc c’est plus sept racine de cinq. Et enfin, racine de cinq fois moins racine de cinq. Eh bien, la racine carrée de cinq fois la racine carrée de cinq n’est que cinq. Et plus fois moins donne moins, donc ça va être moins cinq. Nous avons donc moins sept racine de cinq plus sept racine de cinq. Eh bien, ils vont s’annuler. Alors ça va laisser zéro au milieu. Il nous reste donc 49 moins cinq, soit 44.

Donc multiplier les parenthèses comme ça, ce n’est pas extrêmement difficile. Et il nous a donné notre réponse simple de 44. Mais revenons à la question. Si vous reconnaissez cette forme, c’est la différence de deux carrés. Si vous repensez à votre factorisation des fonctions du second degré, 𝑎 au carré moins 𝑏 au carré, donc un nombre carré moins un autre nombre carré peut être factorisé comme ceci. 𝑎 plus 𝑏 fois 𝑎 moins 𝑏. Et si nous posons 𝑎 égal à sept et 𝑏 égal à racine de cinq, cela nous donnerait sept plus racine de cinq fois sept moins racine de cinq, c’est ce que nous essayons de faire. Donc, c’est juste 𝑎 au carré moins 𝑏 au carré. En d’autres termes, sept au carré moins la racine de cinq au carré. Eh bien, sept au carré est 49, et racine de cinq fois racine de cinq n’est que cinq. Nous sommes donc passés directement à 49 moins cinq, soit 44.

Donc, tant que vous vous souvenez de la règle des deux carrés, et que vous gardez ce genre de choses en tête. Alors, cette sorte de questions peut vous donner moins d’efforts pour faire de cette façon ce que vous avez fait dans l’autre sens.

Maintenant, notre question suivante, simplifiez six racine carrée de sept moins quatre racine de deux fois six racine carrée de sept plus quatre racine de deux.

Et si nous regardons à l’intérieur de ces parenthèses, nous avons six racine de sept aux deux endroits. Et nous avons quatre racine de deux aux deux endroits. Donc, nous soustrayons dans l’un, en ajoutant dans l’autre. C’est comme la dernière question. Il s’agit d’une question sur la différence de deux carrés. Et cette fois, 𝑎 est six racine carrée de sept, et 𝑏 est quatre racine de deux. Nous pouvons donc réécrire ceci en six racine de sept au carré moins quatre racine de deux au carré. Et six fois la racine carrée de sept le tout au carré signifie six fois la racine carrée de sept fois six fois la racine carrée de sept. Et quatre racine de deux le tout au carré signifie quatre fois racine de deux fois quatre fois racine de deux. Et avec la multiplication, rappelez-vous, peu importe l’ordre dans lequel nous multiplions ces choses ensemble. Donc, je vais légèrement réorganiser cela.

Donc, le simple fait d’échanger l’ordre de multiplier certains de ces termes signifie que j’ai rassemblé les radicaux et le reste des nombres. J’ai donc six fois six fois racine carrée de sept fois racine carrée de sept et quatre fois quatre fois racine de deux fois racine de deux. Eh bien, six fois six font 36, et racine carrée de sept fois racine carrée de sept n’est que sept. J’ai donc 36 fois sept. Puis, quatre fois quatre font seize. Et racine de deux fois racine de deux vaut deux. Donc, cela se simplifie à 36 fois sept moins 16 fois deux. Maintenant, je suis sûr que vous connaissez tous votre table de 36 fois. Donc 36 fois sept, c’est 252 évidemment. Et 16 fois deux, c’est 32. Ensuite, 252 moins 32, cela nous donne notre réponse, 220.

Maintenant, notre question suivante, simplifiez la racine de cinq moins la racine de six le tout au carré.

Maintenant, soyez très prudent lorsque vous posez ce genre de questions. L’erreur la plus courante est que les gens regardent cela en particulier dans le cadre d’un examen et qu’ils pensent : « Oh, c’est la racine de cinq le tout au carré moins la racine de six le tout au carré. » Et donc ils finissent par calculer cinq moins six. Maintenant, c’est complètement faux. Vous devez toujours l’écrire en entier ; quelque chose au carré est une chose qui se multiplie par elle-même. Donc, racine de cinq moins racine de six le tout au carré est égal à la racine de cinq moins racine de six fois racine de cinq moins racine carrée de six. Et nous devons multiplier chaque terme dans la deuxième parenthèse par chaque terme dans la première parenthèse. C’est donc racine de cinq fois racine de cinq, puis nous avons racine de cinq fois moins racine de six. C’est moins la racine de cinq racine carrée de six. Puis nous avons moins la racine carrée de six fois la racine de cinq.

Eh bien, peu importe dans quel ordre vous les multipliez ensemble. Donc, je vais mettre cela en tant que racine de cinq fois racine de six. Et c’est négatif fois positif, donc c’est à nouveau négatif. Puis, nous avons moins racine de six fois moins racine de six fois ou négatif fois positif est positif. Donc, en regardant ces expressions, nous avons racine de cinq fois racine de cinq, ce qui n’est que cinq. Et nous avons racine carrée de six fois racine carrée de six, ce qui n’est que six. En fait, c’est plus six. Maintenant, racine de cinq fois racine de six est également la même que racine de cinq fois six. Nous l’avons donc vu auparavant lorsque nous avons factorisé et simplifié ces racines ou ces radicaux. Mais cela fonctionne aussi dans l’autre sens. Donc, la racine de cinq fois la racine de six est la racine de cinq fois six, et c’est la racine de 30. Nous avons donc moins racine de 30 moins une autre racine de 30.

Voyons maintenant les termes ; regrouper des termes similaires. Cinq plus six est 11 et moins racine de 30 moins une autre racine de 30 est moins deux racine de 30. Maintenant, regardons le contenu de ce radical, 30. Pensons aux facteurs de 30. Eh bien, 30 a beaucoup de facteurs. Mais en les regardant, un seul est un nombre carré. Et ça ne va pas nous aider dans cette situation à réduire la taille du nombre. Nous ne pouvons donc pas le factoriser davantage pour simplifier ce radical ou cette racine. Voici donc notre réponse, 11 moins deux racine de 30.

Passons donc à notre avant-dernière question.

Racine carrée de sept fois trois racine carrée de sept moins cinq moins deux fois quatre moins cinq racine carrée de sept.

Eh bien, on va utiliser la propriété de distributivité de la multiplication d’aborder cette question. Donc, en regardant d’abord les premières parenthèses, nous avons racine carrée de sept fois trois racine carrée de sept, ce qui est identique à racine carrée de sept fois trois fois racine carrée de sept. Ensuite, nous avons la racine carrée de sept fois moins cinq. Donc, nous enlevons la racine carrée de sept fois cinq qui est la même que cinq fois racine de sept. Ensuite, nous allons calculer deux fois moins quatre qui est moins huit. Donc, nous retirons huit. Et moins deux fois moins cinq racine carrée de sept. Eh bien, moins deux fois moins cinq est plus 10. Nous avons donc plus 10 racine de sept.

Bon, regardons par ici. Maintenant, dans ce premier terme ici, nous avons racine carrée de sept fois racine carrée de sept fois trois. Eh bien, racine carrée de sept fois racine carrée de sept est sept, et sept fois trois égale 21. Et nous ne pouvons pas simplifier le deuxième terme, donc moins cinq racine carrée de sept. Et nous avons moins huit. De même, nous ne pouvons pas simplifier le dernier terme. Maintenant, 21 moins huit est 13. Et moins cinq racine carrée de sept plus 10 racine carrée de sept est plus cinq racine carrée de sept. Et puisque sept n’a pas de facteurs carrés supérieurs à un, nous ne pouvons pas simplifier davantage. Donc 13 plus cinq racine carrée de sept est notre réponse.

Enfin, juste pour un peu de divertissement, essayons cette question assez délicate.

Simplifiez la racine carrée de 15 plus la racine carrée de 19 le tout au carré fois la racine carrée de 15 moins la racine carrée de 19 le tout au carré.

Maintenant, si vous avez fait attention tout au long de la vidéo, vous diriez probablement : « Oh, cela ressemble à une différence de deux carrés ! » Mais ce n’est pas tout à fait sous cette forme, n’est-ce pas ? Ainsi, la différence de deux carrés indique que 𝑎 au carré moins 𝑏 au carré est 𝑎 plus 𝑏 fois 𝑎 moins 𝑏. Et nous y sommes presque. Mais nous avons ce problème de ces deux carrés au-dessus des parenthèses ici. Donc, si nous faisons un peu de réarrangement, nous pourrons l’utiliser. Jetons donc un coup d’œil. Eh bien, racine de 15 plus racine de 19 le tout au carré est juste racine de 15 plus racine de 19 fois racine de 15 plus racine de 19. C’est donc les premières parenthèses traitées, et de même pour les secondes.

Et maintenant, nous avons quatre ensembles de parenthèses, tous multipliés ensemble. Et quand on multiplie les choses ensemble, peu importe dans quel ordre nous le faisons. Donc, je vais réorganiser ces derniers. Donc, je viens d’échanger l’ordre des deux ensembles de parenthèses du milieu. Et cela me laisse avec racine de 15 plus racine de 19 fois racine de 15 moins racine de 19 le tout fois racine de 15 plus racine de 19 fois racine de 15 moins racine de 19. Maintenant, chacun d’eux est la différence de format de deux carrés que nous recherchions. Donc, si 𝑎 est la racine de 15 et 𝑏 est la racine de 19, nous avons ce modèle ici. Et nous l’avons également ici. Et cela signifie que 𝑎 au carré est racine de 15 le tout au carré, ce qui est 15. Et 𝑏 au carré est racine de 19 le tout au carré, qui est 19. Et 𝑎 au carré moins 𝑏 au carré est 15 moins 19.

Alors revenons à notre question alors. Nous avons 𝑎 plus 𝑏 fois 𝑎 moins 𝑏 fois 𝑎 plus 𝑏 fois 𝑎 moins 𝑏. Et 𝑎 plus 𝑏 fois 𝑎 moins 𝑏 est le même que 𝑎 au carré moins 𝑏 au carré. Et comme nous venons de le dire, 𝑎 au carré moins 𝑏 au carré est de 15 moins 19. Et 15 moins 19 est moins quatre. Cela devient donc moins quatre fois moins quatre, ce qui est plus 16.

Donc, se souvenir de notre différence de deux carrés et faire un peu de réorganisation pour obtenir les choses dans le bon format pour cela nous a sauvé énormément de multiplication. Et nous avons obtenu une réponse très simple de 16 au lieu de toutes ces choses ici, avec lesquelles nous avons commencé au début de la question.

Bon, alors bonne chance avec la multiplication des expressions radicales.