Question Video: Déterminer une suite arithmétique sous une certaine condition Mathématiques • Second Year of Secondary School

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Déterminez la suite arithmétique où la somme des premier et troisième termes est égale −142 et la somme des troisième et quatrième termes égale −151.

On utilise la lettre 𝑎 pour désigner le terme initial de toute suite arithmétique. La lettre 𝑑 désigne la raison. Il s’agit de la différence entre deux termes consécutifs de la suite. Ainsi, le deuxième terme de la suite est égal à 𝑎 plus 𝑑. En y ajoutant 𝑑, on obtient le troisième terme 𝑎 plus deux 𝑑. En continuant ce modèle, la formule du terme de rang 𝑛 est donc 𝑎 plus 𝑛 moins un fois 𝑑.

On nous dit dans cette question que la somme des premier et troisième termes est égale à moins 142. Cela implique que 𝑎 plus 𝑎 plus deux 𝑑 est égal à moins 142. En simplifiant, on obtient deux 𝑎 plus deux 𝑑 égale moins 142. Les deux côtés de cette équation peuvent être divisés par deux. Cependant, nous allons commencer par la deuxième équation de cette question.

La somme des troisième et quatrième termes est de moins 151. Cela indique que 𝑎 plus deux 𝑑 plus 𝑎 plus trois 𝑑 est égal à moins 151. Cela nous donne alors deux 𝑎 plus cinq 𝑑 est égal à moins 151. Nous avons maintenant un système à deux équations que nous pouvons résoudre pour trouver 𝑎 et 𝑑.

En soustrayant l’équation un à l’équation deux, les 𝑎 s'annulent. Cinq 𝑑 moins deux 𝑑 égale trois 𝑑. Soustraire moins 142 revient à ajouter 142 à moins 151. Ceci est égal à moins neuf. Si on divise les deux côtés de cette équation par trois, on obtient 𝑑 est égal à moins trois. Il nous reste maintenant à substituer cette valeur dans l'équation un ou l'équation deux afin de calculer 𝑎.

Lorsqu'on substitue dans l'équation un, on trouve deux 𝑎 plus deux multiplié par moins trois égale à moins 142. Cela se réduit en deux 𝑎 moins six est égal à moins 142. En ajoutant six aux deux côtés, on obtient deux 𝑎, qui est égal à moins 136. Pour finir, en divisant par deux, on trouve 𝑎 est égal à moins 68. Puisque le premier terme de notre suite arithmétique est moins 68 et que sa raison est moins trois, nous pouvons donc conclure que cette suite arithmétique a les valeurs moins 68, moins 71, moins 74, ainsi de suite.