Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment déterminer des suites arithmétiques étant données des informations sur leurs termes et les relations entre eux.
On rappelle qu’une suite arithmétique est une suite de nombres telle que la différence entre deux termes consécutifs quelconques de la suite est constante. On appelle cette différence constante la « raison ».
Si la suite a un nombre fini de termes, on l’appelle alors « suite arithmétique finie » ; sinon, on la qualifie simplement de « suite arithmétique ».
Par exemple, si le premier terme de la suite arithmétique est 100 et que la différence entre deux termes consécutifs quelconques de la suite est , on peut alors déterminer le terme suivant de la suite.
En notant le deuxième terme de la suite , la différence entre les deuxième et premier termes doit être . Par conséquent,
On peut continuer cette opération pour trouver un nombre infini de termes de la suite.
Cela revient à dire qu’on trouve le terme suivant de la suite en ajoutant la raison au terme précédent.
On peut également utiliser cette même démarche avec n’importe quelle suite arithmétique. Si on note le terme de rang d’une suite arithmétique et sa raison , de sorte que le premier terme de la suite est , on peut alors trouver une formule du terme de rang de cette suite arithmétique.
Comme la différence entre deux termes consécutifs quelconques doit être la raison , la différence entre les premier et deuxième termes de la suite doit être :
Réarranger cela nous donne
La même chose est correct si on prend la différence entre les deuxième et troisième termes :
On peut ensuite substituer dans l’expression de :
Autrement dit, pour construire le troisième terme de la suite arithmétique, on prend le premier terme et on ajoute deux fois la raison. Ce processus se poursuit pour tout nombre de termes, comme , en donnant l’expression suivante du terme de rang de la suite arithmétique :
Nous pouvons résumer cela comme suit.
Définition: Suites arithmétiques
Une suite arithmétique est une suite de nombres où la différence entre deux termes consécutifs quelconques est constante.
Le terme de rang d’une suite arithmétique de raison et de premier terme est donné par
Nous pouvons utiliser cette formule pour déterminer des informations sur les suites arithmétiques en utilisant les termes de la suite. Étudions quelques exemples pour déterminer une suite arithmétique à partir d’informations sur ses termes.
Exemple 1: Déterminer une suite arithmétique à partir de deux termes non consécutifs
Déterminez la suite finie sachant que , , et que le douzième terme en partant du dernier est .
Réponse
On souhaite trouver une expression d’une suite arithmétique finie en utilisant des informations sur ses termes. On rappelle qu’une suite arithmétique est une suite de nombres où la différence entre deux termes consécutifs quelconques est constante et s’appelle la raison.
Pour trouver une expression de cette suite arithmétique finie, on doit trouver le premier terme, le dernier terme et la raison de la suite. On commence par rappeler la formule du terme de rang d’une suite arithmétique de premier terme et de raison :
On sait que et , et on peut substituer dans cette formule :
On peut ensuite utiliser les valeurs de et :
Maintenant, on peut isoler :
On connaît maintenant le premier terme de cette suite arithmétique finie , et sa raison, . On a encore besoin de déterminer le dernier terme de cette suite arithmétique. Pour déterminer le dernier terme de cette suite, on utilise le fait que le douzième terme en partant du dernier est .
Pour trouver le dernier terme, on rappelle ce qu’on veut dire par le douzième terme en partant du dernier. Si on pose , le dernier terme, alors la suite arithmétique est donnée par
est le deuxième terme en partant du dernier, puisqu’il s’agit de l’avant-dernier terme.
est le troisième terme en partant du dernier ; on peut continuer ce processus pour voir que est le douzième terme en partant du dernier. Par conséquent,
Substituer les valeurs de , et nous donne
La suite a donc 15 termes et on peut trouver le dernier terme :
Par conséquent, le premier terme de la suite est , le dernier terme est , et la raison est , ce qui donne la suite .
Exemple 2: Déterminer une suite arithmétique à partir de sommes de ses termes
Déterminez la suite arithmétique pour laquelle la somme des premier et troisième termes est et la somme des troisième et quatrième termes est .
Réponse
On souhaite trouver une expression d’une suite arithmétique finie en utilisant des informations sur ses termes. On rappelle qu’une suite arithmétique est une suite de nombres où la différence entre deux termes consécutifs quelconques est constante et s’appelle la raison.
Le terme de rang d’une suite arithmétique de premier terme et de raison est donné par
La question indique que et . On peut utiliser la formule pour exprimer et en fonction de et :
Substituer l’expression de dans la première somme nous donne
On peut faire la même chose avec l’expression de :
On a deux équations linéaires à deux inconnues : on peut résoudre ce système en éliminant une variable. Réarranger la première équation nous donne
On la substitue ensuite dans la deuxième équation :
On peut alors utiliser cela pour déterminer la valeur de :
Par conséquent, le premier terme de la suite est et sa raison est , ce qui donne la suite .
Étudions maintenant un exemple où on nous donne la somme et le produit de termes distincts d’une suite arithmétique.
Exemple 3: Déterminer une suite arithmétique à partir d’une somme et d’un produit de ses termes
Déterminez la suite arithmétique pour laquelle et .
Réponse
Dans une suite arithmétique, la différence entre deux termes consécutifs quelconques est constante et s’appelle la raison.
On rappelle que le terme de rang d’une suite arithmétique de premier terme et de raison est donné par
On peut l’utiliser pour trouver des expressions des quatre termes donnés dans la question :
On peut alors substituer ces expressions dans les deux équations données.
D’abord,
Puis,
Par conséquent, on a deux équations à deux inconnues, on peut les résoudre en éliminant une variable. On commence par réarranger une équation pour trouver en fonction de :
On peut alors la substituer dans l’autre équation :
On peut alors remplacer par pour déterminer la valeur de :
Par conséquent, le premier terme de la suite est et sa raison est 2, ce qui donne la suite .
Dans le prochain exemple, on nous indique que deux termes d’une suite arithmétique sont opposés. Nous devons utiliser cette information et la valeur d’un autre terme de la suite pour trouver la suite.
Exemple 4: Déterminer une suite arithmétique à partir de relations entre ses termes
Déterminez la suite arithmétique pour laquelle et est l’opposé de .
Réponse
Dans une suite arithmétique, la différence entre deux termes consécutifs quelconques est constante et s’appelle la raison. On peut déterminer toute suite arithmétique à partir de son premier terme et de sa raison.
On rappelle que le terme de rang d’une suite arithmétique de premier terme et de raison est donné par
En remplaçant par dans cette formule, on peut l’utiliser pour trouver une expression de :
La question indique que , donc
On souhaite ensuite utiliser le fait que est l’opposé de . On rappelle que deux nombres sont opposés l’un de l’autre si leur somme est nulle. Par conséquent,
On peut trouver des expressions de ces termes en remplaçant par et dans la formule :
Comme ce sont des opposés, l’addition de ces expressions doit être égale à 0 :
On rappelle qu’on a déjà montré
Cela signifie qu’on a deux équations à deux inconnues, on peut les résoudre en soustrayant une équation à l’autre :
On peut alors trouver :
On peut l’utiliser pour trouver :
Par conséquent, le premier terme de la suite est et sa raison est 9, ce qui donne la suite .
Dans notre prochain exemple, on nous demande de trouver une suite arithmétique à partir d’informations sur ses termes énoncées plutôt qu’en notation mathématique.
Exemple 5: Déterminer une suite arithmétique sous une certaine condition
Déterminez la suite arithmétique dont le vingtième terme est 28, sachant que la somme de ses troisième et sixième termes est supérieure de 8 au neuvième terme.
Réponse
On souhaite trouver une suite arithmétique. Pour ce faire, on commence par rappeler que dans une suite arithmétique, la différence entre deux termes consécutifs quelconques est constante et s’appelle la raison. On sait aussi que dans une suite arithmétique de premier terme et de raison , le terme de rang peut être trouvé par la formule suivante :
La question indique que le vingtième terme est égal à 28, et on peut l’écrire en remplaçant par :
On peut aussi trouver des expressions des troisième, sixième et neuvième termes :
La question indique , on peut donc substituer ces expressions dans cette équation, ce qui donne
On rappelle qu’on a déjà montré
Cela signifie qu’on a un système de deux équations à deux inconnues. On peut le résoudre en éliminant une variable :
Par conséquent, . Substituer cela dans l’une des équations du système nous donne
Par conséquent, le premier terme de cette suite arithmétique est 9 et sa raison est 1. Il s’agit de la suite .
Dans le prochain exemple, nous allons voir comment utiliser des informations sur les signes des termes d’une suite pour la trouver.
Exemple 6: Déterminer une suite arithmétique à partir de relations entre les produits de ses termes
Déterminez la suite arithmétique sachant que , , et que tous les termes sont positifs.
Réponse
On souhaite exprimer une suite arithmétique en utilisant les informations données sur ses termes. On rappelle qu’une suite arithmétique est une suite de nombres où la différence entre deux termes consécutifs quelconques est constante et s’appelle la raison.
On sait aussi que le terme de rang d’une suite arithmétique de premier terme et de raison est donné par
On peut utiliser cela pour trouver des expressions de tous les termes utilisés dans les équations données par la question :
On substitue ces expressions dans chacune des équations.
D’abord,
Puis,
Développer les parenthèses et réduire nous donne
On peut substituer cette valeur de dans la première équation :
Maintenant, comme on sait que tous les termes de la suite sont positifs, on peut trouver en prenant la valeur positive de la racine carrée :
On peut alors le substituer dans l’équation pour déterminer la valeur de :
Par conséquent, le premier terme de cette suite arithmétique est 28 et sa raison est 3. Il s’agit de la suite .
Dans notre prochain exemple, nous allons trouver une suite arithmétique à partir d’informations sur ses termes sous la forme d’une relation de récurrence.
Exemple 7: Déterminer une suite arithmétique à partir d’un terme et d’une relation de récurrence
Déterminez la suite arithmétique sachant que et .
Réponse
On souhaite trouver une suite arithmétique. Pour ce faire, on commence par rappeler que dans une suite arithmétique, la différence entre deux termes consécutifs quelconques est la même et on l’appelle la raison. On sait aussi que pour une suite arithmétique de premier terme et de raison , le terme de rang peut être trouvé par la formule suivante :
On peut l’utiliser pour trouver une expression de et en fonction de , et :
Dans ce cas, ; cela nous donne
Puis,
On peut maintenant substituer ces expressions dans l’équation donnée dans la question :
Par conséquent, le premier terme de la suite est 13 et sa raison est 13, ce qui donne la suite .
Dans notre dernier exemple, nous allons trouver une suite arithmétique en résolvant un système d’équations.
Exemple 8: Déterminer une suite arithmétique sous une certaine condition
Déterminez la suite arithmétique pour laquelle et .
Réponse
On rappelle que dans une suite arithmétique, la différence entre deux termes consécutifs quelconques est constante. On peut déterminer toute suite arithmétique à l’aide de son premier terme et sa raison, où le terme de rang d’une suite arithmétique de premier terme et de raison est donné par
En utilisant cette formule, on peut construire des expressions de chacun des termes dans les équations données dans la question :
On peut alors substituer ces expressions dans les équations données dans la question.
D’abord,
Puis,
Cela nous donne deux équations à deux inconnues, on peut les résoudre en éliminant une variable. On peut réarranger la première équation :
On substitue ensuite cette expression de dans la deuxième équation :
Enfin, on substitue la valeur de dans l’une des équations pour trouver le premier terme de la suite :
Par conséquent, le premier terme de cette suite arithmétique est et sa raison est 9. Il s’agit de la suite .
Terminons par récapituler quelques points clés.
Points clés
- Une suite arithmétique est une suite pour laquelle la différence entre deux termes consécutifs est constante ; cette différence est appelée la raison.
- Le terme de rang d’une suite arithmétique de premier terme et de raison peut être trouvé en utilisant la formule
- On peut utiliser cette formule pour construire une expression de tout terme de la suite arithmétique en fonction du terme initial et de la raison. Si on peut créer deux équations avec ces variables, on peut alors les déterminer par un système d’équations.
